当前位置:首页 >> 数学 >>

天津市南开中学2015年高考数学模拟试卷(文科)(解析版)


2015 年天津市南开中学高考数学模拟试卷(文科)
一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.请将答案填涂在答题卡上!) 1.复数 (其中 i 为虚数单位)的虚部等于( D.0 )

A.﹣i B.﹣1 C.1

2.设集合 A={x|x>2},若 m=l

nee(e 为自然对数底),则( A.?∈A B.m?A C.m∈A D.A?{x|x>m}



3.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果为(



A.7

B.6

C.5

D.4

4.在等差数列{an}中,若 a2+a3=4,a4+a5=6,则 a9+a10=( A.9 B.10 C.11 D.12



5.“a>3”是“函数 f(x)=ax+3 在(﹣1,2)上存在零点”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件



C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知向量 =(3,﹣2), =(x,y﹣1)且 ∥ ,若 x,y 均为正数,则 + 的最小值是(
第 1 页(共 24 页)



A.

B.

C.8

D.24

7.在如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别为(0,0,2),(2,2, 0),(1,2,1),(2,2,2),给出的编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视 图和俯视图分别为( )

A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和②

8.已知 F1,F2 分别为双曲线



=1(a>0,b>0)的左右焦点,如果双曲线上存在一点 P,使 )

得 F2 关于直线 PF1 的对称点恰在 y 轴上,则该双曲线的离心率 e 的取值范围为( A.e> B.1<e< C.e> D.1<e<

二.填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请将答案填在答题纸上!) 9.公共汽车在 8:00 到 8:20 内随机地到达某站,某人 8:15 到达该站,则他能等到公共汽车的概 率为 .

10.已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=2x?4y 的最大值为



11. C 的俯角分别为 75°, 30°, 如图, 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, 此时气球的高是 60m, 则河流的宽度 BC 等于 m.
第 2 页(共 24 页)

12.如图,P 为圆 O 外一点,由 P 引圆 O 的切线 PA 与圆 O 切于 A 点,引圆 O 的割线 PB 与圆 O 交于 C 点.已知 AB⊥AC,PA=2,PC=1,则圆 O 的面积为 .

13.已知

, ,则 =

,点 C 在∠AOB 内,∠AOC=45°,设 .

14.已知函数 f(x)= 围为 .

,若函数 y=f(x)﹣a|x|恰有 4 个零点,则实数 a 的取值范

三、解答题:(本答题共 6 小题,15 至 18 小题每题 13 分,19 至 20 小题每题 14 分,共 80 分.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.随机抽取某中学高三年级甲乙两班各 10 名同学,测量出他们的身高(单位:cm),获得身高 数据的茎叶图如图.其中甲班有一个数据被污损. (Ⅰ)若已知甲班同学身高平均数为 170cm,求污损处的数据; (Ⅱ)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的同学被 抽中的概率.

第 3 页(共 24 页)

16.已知函数 (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ) 将函数 y=f (x) 的图象向右平移

(其中 ω>0)的周期为 π.

个单位长度, 再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的 (纵 上的单调区间.

坐标不变)得到函数 y=g(x)的图象.求函数 g(x)在

17.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,BA=BD= F 分别是棱 AD,PC 的中点. (Ⅰ)证明 EF∥平面 PAB; (Ⅱ)若二面角 P﹣AD﹣B 为 60°, (i)证明平面 PBC⊥平面 ABCD; (ii)求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.

,AD=2,PA=PD=

,E,

18.已知各项均为正数的数列{an}满足 an+2+2 (Ⅰ)证明:数列{ (Ⅱ)设 bn= }是等差数列; 的前项 n 和为 Sn,求证:Sn<1.

=4an+1﹣an(n∈N*),且 a1=1,a2=4.

第 4 页(共 24 页)

19.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

=1(a>b>0)的离心率为 .

,过椭圆右焦点 F

作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 斜率为 0 时,|AB|+|CD|=3 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求由 A,B,C,D 四点构成的四边形的面积的取值范围.

20.已知函数 f(x)=lnx+

,g(x)=x﹣2m,其中 m∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.

(Ⅰ)当 m=1 时,求函数 f(x)的极小值; (Ⅱ)对?x∈[ ,1],是否存在 m∈( ,1),使得 f(x)>g(x)+1 成立?若存在,求出 m 的取 值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)设 F(x)=f(x)g(x),当 m∈( ,1)时,若函数 F(x)存在 a,b,c 三个零点,且 a <b<c,求证:0<a< <b<1<c.

第 5 页(共 24 页)

2015 年天津市南开中学高考数学模拟试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.请将答案填涂在答题卡上!) 1.复数 (其中 i 为虚数单位)的虚部等于( D.0 )

A.﹣i B.﹣1 C.1

【考点】复数代数形式的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】两个复数的商的乘方,等于被除数的乘方,除以除数的乘方. 【解答】解:由于 故选 B. 【点评】本题主要考查复数代数形式的混合运算,属于基础题. ,所以虚部为﹣1,

2.设集合 A={x|x>2},若 m=lnee(e 为自然对数底),则( A.?∈A B.m?A C.m∈A D.A?{x|x>m} 【考点】元素与集合关系的判断. 【专题】集合. 【分析】先求出 m 的值,从而判断出 m 属于结合 A. 【解答】解:∵m=elne=e, ∴m∈A, 故选:C. 【点评】本题考查了集合和运算的关系的判断,是一道基础题.



3.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果为(



第 6 页(共 24 页)

A.7

B.6

C.5

D.4

【考点】程序框图. 【专题】图表型;算法和程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,k 的值,当 S=2059 时,不满足条件 S< 100,退出循环,输出 k 的值为 4. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 k=0,S=0 满足条件 S<100,S=1,k=1 满足条件 S<100,S=1+2=3,k=2 满足条件 S<100,S=3+8=11,k=3 满足条件 S<100,S=11+2048=2059,k=4 不满足条件 S<100,退出循环,输出 k 的值为 4. 故选:D. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的 S,k 的值是解题的关 键,属于基本知识的考查.

4.在等差数列{an}中,若 a2+a3=4,a4+a5=6,则 a9+a10=( A.9 B.10 C.11 D.12



【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题. 【分析】设出此等差数列的公差为 d,利用等差数列的通项公式化简已知的两等式,得到关于 a1 与 d 的方程组,求出方程组的解得到 a1 与 d 的值,然后再利用等差数列的通项公式化简所求的式子, 将 a1 与 d 的值代入即可求出值.
第 7 页(共 24 页)

【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d, ∵a2+a3=(a1+d)+(a1+2d)=2a1+3d=4①, a4+a5=(a1+3d)+(a1+4d)=2a1+7d=6②, ∴②﹣①得:4d=2,解得:d= , 把 d= 代入①,解得:a1= , 则 a9+a10=(a1+8d)+(a1+9d)=2a1+17d=2× +17× =11. 故选 C 【点评】此题考查了等差数列的性质,以及等差数列的通项公式,熟练掌握性质及公式是解本题的 关键.

5.“a>3”是“函数 f(x)=ax+3 在(﹣1,2)上存在零点”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件



C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据 a>3 判断出:f(﹣1)=﹣a+3<0、f(2)=2a+3>0,得到充分性成立;再由函数的 零点存在性定理列出不等式求出 a 的范围,可得到必要性不成立. 【解答】解:①充分性:当 a>3 时,f(﹣1)=﹣a+3<0、f(2)=2a+3>0, 所以函数 f(x)=ax+3 在(﹣1,2)上存在零点”,成立; ②因为函数 f(x)=ax+3 在(﹣1,2)上存在零点, 所以 f(﹣1)f(2)<0,则(﹣a+3)(2a+3)<0, 即(a﹣3)(2a+3)>0,解得 a>3 或 a< ,不成立,

综上可得,“a>3”是“函数 f(x)=ax+3 在(﹣1,2)上存在零点”是充分不必要条件, 故选:A. 【点评】本题考查了充要条件的判断,以及函数的零点存在性定理的应用,属于中档题.

6.已知向量 =(3,﹣2), =(x,y﹣1)且 ∥ ,若 x,y 均为正数,则 + 的最小值是(



第 8 页(共 24 页)

A.

B.

C.8

D.24

【考点】基本不等式;平面向量共线(平行)的坐标表示. 【专题】不等式的解法及应用;平面向量及应用. 【分析】利用向量共线定理可得 2x+3y=3,再利用“乘 1 法”和基本不等式即可得出. 【解答】解:∵ ∴ + = 2x=3y= 时取等号. ∴ + 的最小值是 8. 故选:C. 【点评】本题考查了向量共线定理、“乘 1 法”和基本不等式,属于中档题. ,∴﹣2x﹣3(y﹣1)=0,化为 2x+3y=3, = =8,当且仅当

7.在如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别为(0,0,2),(2,2, 0),(1,2,1),(2,2,2),给出的编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视 图和俯视图分别为( )

A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和② 【考点】简单空间图形的三视图. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】在坐标系中,标出已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得结论. 【解答】解:在坐标系中,标出 已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②, 故选:D.

第 9 页(共 24 页)

【点评】本题考查三视图的画法,做到心中有图形,考查空间想象能力,是基础题.

8.已知 F1,F2 分别为双曲线



=1(a>0,b>0)的左右焦点,如果双曲线上存在一点 P,使 )

得 F2 关于直线 PF1 的对称点恰在 y 轴上,则该双曲线的离心率 e 的取值范围为( A.e> B.1<e< C.e> D.1<e<

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】运用对称性,可得 MF1=F1F2=2c,设直线 PF1:y= (x+c),代入双曲线方程,得到 x

的二次方程,方程有两个异号实数根,则有 3b2﹣a2>0,再由 a,b,c 的关系,及离心率公式,即 可得到范围. 【解答】解:设点 F2(c,0), 由于 F2 关于直线 PF1 的对称点恰在 y 轴上,不妨设 M 在正半轴上, 由对称性可得,MF1=F1F2=2c, 则 MO= 设直线 PF1:y= = c,∠MF1F2=60°,∠PF1F2=30°,

(x+c),

代入双曲线方程,可得,(3b2﹣a2)x2﹣2ca2x﹣a2c2﹣3a2b2=0, 则方程有两个异号实数根, 则有 3b2﹣a2>0,即有 3b2=3c2﹣3a2>a2,即 c> 则有 e= > 故选 A.
第 10 页(共 24 页)

a,



【点评】本题考查双曲线的性质和方程,考查对称性的运用,考查直线方程和双曲线方程,联立消 去 y,运用韦达定理,考查运算能力,属于中档题和易错题.

二.填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请将答案填在答题纸上!) 9.公共汽车在 8:00 到 8:20 内随机地到达某站,某人 8:15 到达该站,则他能等到公共汽车的概 率为 .

【考点】几何概型. 【专题】概率与统计. 【分析】由已知中公共汽车在 8:00 到 8:20 内随机地到达某站,某人 8:15 到达该站,我们可以 分别求出所有基本事件对应的时间总长度和事件“他能等到公共汽车”对应的时间总长度,代入几何 概型公式可得答案. 【解答】解:∵公共汽车在 8:00 到 8:20 内随机地到达某站, 故所有基本事件对应的时间总长度 LΩ=20 某人 8:15 到达该站, 记“他能等到公共汽车”为事件 A 则 LA=5 故 P(A)= 故答案为 . 【点评】本题考查的知识点是几何概型,几何概型分长度类,面积类,角度类,体积类,解答的关 键是根据已知计算出所有基本事件对应的几何量和满足条件的基本事件对应的几何量 ;

10.已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=2x?4y 的最大值为 32 .

【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】由 z=2x?4y 得 z=2x+2y,设 m=x+2y,作出不等式组对应的平面区域,利用 m 的几何意义, 即可得到结论. 【解答】解:z=2x?4y 得 z=2x+2y,设 m=x+2y,
第 11 页(共 24 页)

得 y=﹣ x+ m, 平移直线 y=﹣ x+ m 由图象可知当直线 y=﹣ x+ m 经过点 A 时, 直线 y=﹣ x+ m 的截距最大,

由 即 A(3,1),

,解得



此时 m 最大为 m=3+2=5, 此时 z 最大为 z=2x+2y=25=32, 故答案为:32

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用图象平行以及指数函数的运算法则,利用数形结合是 解决线性规划问题中的基本方法.

11. C 的俯角分别为 75°, 30°, 如图, 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, 此时气球的高是 60m, 则河流的宽度 BC 等于 120( ﹣1) m.

【考点】解三角形的实际应用. 【专题】应用题;解三角形. 【分析】由题意画出图形,由两角差的正切求出 15°的正切值,然后通过求解两个直角三角形得到 DC 和 DB 的长度,作差后可得答案.
第 12 页(共 24 页)

【解答】解:如图,

由图可知,∠DAB=15°, ∵tan15°=tan(45°﹣30°)= 在 Rt△ ADB 中,又 AD=60, ∴DB=AD?tan15°=60×(2﹣ )=120﹣60 . =2﹣ .

在 Rt△ ADC 中,∠DAC=60°,AD=60, ∴DC=AD?tan60°=60 ∴BC=DC﹣DB=60 . ﹣(120﹣60 )=120( ﹣1)(m).

∴河流的宽度 BC 等于 120( 故答案为:120( ﹣1).

﹣1)m.

【点评】本题给出实际应用问题,求河流在 B、C 两地的宽度,着重考查了三角函数的定义、正余 弦定理解三角形的知识,属于中档题.

12.如图,P 为圆 O 外一点,由 P 引圆 O 的切线 PA 与圆 O 切于 A 点,引圆 O 的割线 PB 与圆 O 交于 C 点.已知 AB⊥AC,PA=2,PC=1,则圆 O 的面积为 .

【考点】直线与圆的位置关系;与圆有关的比例线段. 【专题】计算题. 【分析】利用切割线定理求出 PB,推出 BC,求出圆的半径,得到圆的面积. 【解答】解:由题意可知 PB 经过圆的圆心,所以 BC 是圆的直径, 由切割线定理的可得 PC?PB=PA2,所以 PB=4,BC=3, 所以圆的半径为: ,
第 13 页(共 24 页)

所以圆 O 的面积为: 故答案为: .



【点评】本题考查切割线定理与圆的面积的求法与应用,考查计算能力.

13.已知

, ,则 =

,点 C 在∠AOB 内,∠AOC=45°,设 .

【考点】向量的线性运算性质及几何意义. 【专题】计算题. 【分析】将向量 沿 与 方向利用平行四边形原则进行分解,建立平面直角坐标系,便于计算.

【解答】如图所示,建立直角坐标系.

则 ∴

=(1,0), =m +n n), =1

=(0,

),

=(m, ∴tan45°= ∴ = 故选 B .

【点评】对一个向量根据平面向量基本定理进行分解,关键是要根据平行四边形法则,找出向量在 基底两个向量方向上的分量.

14.已知函数 f(x)= 围为 (0,2) . 【考点】分段函数的应用.

,若函数 y=f(x)﹣a|x|恰有 4 个零点,则实数 a 的取值范

第 14 页(共 24 页)

【专题】函数的性质及应用. 【分析】由 y=f(x)﹣a|x|=0 得 f(x)=a|x|,分别作出函数 f(x)和 y=a|x|的图象,利用数形结合即 可得到结论. 【解答】解:由 y=f(x)﹣a|x|=0 得 f(x)=a|x|, 作出函数 y=f(x),y=a|x|的图象, 当 a=0 时,两个函数的交点有 3 个,不满足条件, 当 a<0 时,两个函数的交点最多有 2 个,不满足条件, 当 a>时,当 x≤0 时,两个函数一定有 2 个交点, 要使两个函数有 4 个交点,则只需要当 x>0 时,两个函数有 2 个交点即可, 当 a≥2 时,此时 y=a|x|与 f(x)有三个交点, ∴要使 y=a|x|与 f(x)有 4 个交点, 则 0<a<2, 故答案为:(0,2)

【点评】本题主要考查函数零点个数的应用,利用数形结合是解决本题的关键,综合性较强,难度 较大.

三、解答题:(本答题共 6 小题,15 至 18 小题每题 13 分,19 至 20 小题每题 14 分,共 80 分.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.随机抽取某中学高三年级甲乙两班各 10 名同学,测量出他们的身高(单位:cm),获得身高 数据的茎叶图如图.其中甲班有一个数据被污损.
第 15 页(共 24 页)

(Ⅰ)若已知甲班同学身高平均数为 170cm,求污损处的数据; (Ⅱ)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的同学被 抽中的概率.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;茎叶图. 【专题】概率与统计. 【分析】(Ⅰ)设污损处的数据为 a,根据甲班同学身高平均数为 170cm,求污损处的数据; (Ⅱ)设“身高为 176 cm 的同学被抽中”的事件为 A,列举出从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身 高不低于 173cm 的同学的基本事件个数, 及事件 A 包含的基本事件个数, 进而可得身高为 176cm 的 同学被抽中的概率. 【解答】解:(Ⅰ)设污损处的数据, ∵甲班同学身高平均数为 170cm, ∴ = (158+162+163+168+168+170+171+179+a+182)=170 …

解得 a=179 所以污损处是 9.… (Ⅱ)设“身高为 176 cm 的同学被抽中”的事件为 A, 从乙班 10 名同学中抽取两名身高不低于 173 cm 的同学有:{181,173},{181,176},{181,178}, {181,179},{179,173},{179,176},{179,178},{178,173},{178,176},{176,173}共 10 个基本事件,… 而事件 A 含有 4 个基本事件,… ∴P(A)= = …

【点评】本题考查的知识点是茎叶图,列举出计算基本事件及事件发生的概率,难度不大,属于基 础题.

16.已知函数 (Ⅰ)求 ω 的值;

(其中 ω>0)的周期为 π.

第 16 页(共 24 页)

(Ⅱ) 将函数 y=f (x) 的图象向右平移

个单位长度, 再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的 (纵 上的单调区间.

坐标不变)得到函数 y=g(x)的图象.求函数 g(x)在

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化简 f(x)的解析式为 2sin(2ωx+ 为 =π,求得 ω 的值. ).令 2kπ﹣ ≤4x )+ ,再根据它的周期

(Ⅱ)根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得 g(x)=2sin(4x﹣ ﹣ ≤2kπ+ ,k∈z,求得 x 的范围,再根据 x∈

,可得函数的增区间. =sin2ωx+2

【解答】解:(Ⅰ)∵函数 ? =2[ sin2ωx+ ∴ω=1. (Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移 可得函数 y=2sin[2(x﹣ )+ 个单位长度, )的图象. ﹣ cos2ωx]=2sin(2ωx+ ),(其中 ω>0)的周期为 =π,

]=2sin(2x﹣

再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的 (纵坐标不变)得到函数 y=g(x)=2sin(4x﹣ 象. 令 2kπ﹣ 求得 ﹣ ≤4x﹣ ≤x≤ ≤2kπ+ + . ,可得函数的增区间为 . ,k∈z,

)的图

再根据 x∈

【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换,正弦函数的单调性和周期性,函数 y=Asin(ωx+φ)的 图象变换规律,属于中档题.

17.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,BA=BD= F 分别是棱 AD,PC 的中点. (Ⅰ)证明 EF∥平面 PAB;
第 17 页(共 24 页)

,AD=2,PA=PD=

,E,

(Ⅱ)若二面角 P﹣AD﹣B 为 60°, (i)证明平面 PBC⊥平面 ABCD; (ii)求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定;直线与平面所 成的角. 【专题】空间角;空间向量及应用;立体几何. 【分析】(Ⅰ)要证明 EF∥平面 PAB,可以先证明平面 EFH∥平面 PAB,而要证明面面平行则可 用面面平行的判定定理来证; (Ⅱ)(i)要证明平面 PBC⊥平面 ABCD,可用面面垂直的判定定理,即只需证 PB⊥平面 ABCD 即可; (ii)由(i)知,BD,BA,BP 两两垂直,建立空间直角坐标系 B﹣DAP,得到直线 EF 的方向向量 与平面 PBC 法向量,其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值. 【解答】解:(Ⅰ)证明:连结 AC,AC∩BD=H, ∵底面 ABCD 是平行四边形,∴H 为 BD 中点, ∵E 是棱 AD 的中点.∴在△ ABD 中,EH∥AB, 又∵AB?平面 PAB,EH?平面 PAD,∴EH∥平面 PAB. 同理可证,FH∥平面 PAB. 又∵EH∩FH=H,∴平面 EFH∥平面 PAB, ∵EF?平面 EFH,∴EF∥平面 PAB;

第 18 页(共 24 页)

(Ⅱ)(i)如图,连结 PE,BE. ∵BA=BD= ,AD=2,PA=PD= ,∴BE=1,PE=2.

又∵E 为 AD 的中点,∴BE⊥AD,PE⊥AD, ∴∠PEB 即为二面角 P﹣AD﹣B 的平面角,即∠PEB=60°,∴PB= ∵△PBD 中,BD2+PB2=PD2,∴PB⊥BD,同理 PB⊥BA, ∴PB⊥平面 ABD, ∵PB?平面 PBC,∴平面 PAB⊥平面 ABCD; (ii)由(i)知,PB⊥BD,PB⊥BA, ∵BA=BD= ,AD=2,∴BD⊥BA, .

∴BD,BA,BP 两两垂直, 以 B 为坐标原点,分别以 BD,BA,BP 为 X,Y,Z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 B﹣DAP, 则有 A(0, ∴ =( ,0),B(0,0,0),C( ,0), =(0,0, , ,﹣ ), ,0),D( ,0,0),P(0,0, ),

,﹣

设平面 PBC 的法向量为

第 19 页(共 24 页)



,∴

,令 x=1,则 y=1,z=0,

故 =(1,1,0), ∵E,F 分别是棱 AD,PC 的中点, ∴E( ∴ , ,0),F( , ), ,﹣ , ),

=(0,



=

=

=﹣



即直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为



【点评】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法,要求熟练掌握相关 的判定定理.

18.已知各项均为正数的数列{an}满足 an+2+2 (Ⅰ)证明:数列{ (Ⅱ)设 bn= }是等差数列; 的前项 n 和为 Sn,求证:Sn<1.

=4an+1﹣an(n∈N*),且 a1=1,a2=4.

【考点】数列递推式;等差关系的确定. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】(Ⅰ)通过已知条件,利用配方法推出等差数列的等差中项形式,判断数列是等差数列. (Ⅱ)求出数列{an}的通项公式,然后利用裂项法求解 Sn,即可推出所证明的不等式. 【解答】解:(Ⅰ)∵ ∴ ∴ ∴ 是首项为 , ,公差为 的等差数列. , , 且 an>0,

(Ⅱ)由(Ⅰ)得




第 20 页(共 24 页)





=



【点评】本题考查数列的递推关系式的应用,数列的求和以及数列是等差数列的判定,考查计算能 力以及转化思想的应用.

19.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

=1(a>b>0)的离心率为 .

,过椭圆右焦点 F

作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 斜率为 0 时,|AB|+|CD|=3 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求由 A,B,C,D 四点构成的四边形的面积的取值范围.

【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(Ⅰ)利用椭圆的离心率,以及,|AB|+|CD|=3 .求出 a、b,即可求椭圆的方程;

(Ⅱ)①当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在,直接求出面积. ②当两弦斜率均存在且不为 0 时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),且设直线 AB 的方程为 y=k(x ﹣1),与椭圆方程联立,利用韦达定理以及弦长公式,求出 AB,CD 即可求解面积的表达式,通 过基本不等式求出面积的最值. 【解答】解:(Ⅰ)由题意知, ∴ 所以 c=1.所以椭圆的方程为 , . ,则 ,

(Ⅱ)①当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在,
第 21 页(共 24 页)

由题意知



②当两弦斜率均存在且不为 0 时,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 且设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1), 则直线 CD 的方程为 .

将直线 AB 的方程代入椭圆方程中,并整理得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0, 所以 .

同理,



所以

=



∵ ∴ 综合①与②可知,

当且仅当 k=±1 时取等号

【点评】本题考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系的应用,弦长公式的求法以及基本不等 式的应用,是综合性比较强的题目.

20.已知函数 f(x)=lnx+

,g(x)=x﹣2m,其中 m∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.

(Ⅰ)当 m=1 时,求函数 f(x)的极小值; (Ⅱ)对?x∈[ ,1],是否存在 m∈( ,1),使得 f(x)>g(x)+1 成立?若存在,求出 m 的取 值范围;若不存在,请说明理由;

第 22 页(共 24 页)

(Ⅲ)设 F(x)=f(x)g(x),当 m∈( ,1)时,若函数 F(x)存在 a,b,c 三个零点,且 a <b<c,求证:0<a< <b<1<c. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】计算题;证明题;导数的综合应用. 【分析】(Ⅰ)m=1 时,f(x)=lnx+ 导数求极小值; ( II)令 h(x)=f(x)﹣g(x)﹣1=lnx+ ﹣x+2m﹣1,x∈[ ,1],m∈( ,1),则 h(x)>0 ,x>0;从而求导可得 f′(x)= ﹣ = ;从而由

对 x∈[ ,1]恒成立,求导 h′(x)= ﹣

﹣1=

,x∈[ ,1],从而可判断 h(x)在

[ ,1]上单减.从而化为最值问题. ( III)化简 F(x)=f(x)g(x)=(lnx+ )(x﹣2m),易知 x=2m 为函数 F(x)的一个零点, 的零点情况即可.

从而函数 F(x)的最大的零点 c>1,再讨论 f(x)lnx+ 【解答】解:(Ⅰ)m=1 时,f(x)=lnx+ ,x>0;

∴f′(x)= ﹣

=



由 f′(x)>0,解得 x> ;由 f′(x)<0,解得 0<x< ; ∴f(x)在(0, )上单调递减,( ,+∞)上单调递增. ∴f 极小值(x)=f( )=ln +1=1﹣ln2. ( II)令 h(x)=f(x)﹣g(x)﹣1=lnx+ 由题意,h(x)>0 对 x∈[ ,1]恒成立, ﹣x+2m﹣1,x∈[ ,1],m∈( ,1),

∵h′(x)= ﹣

﹣1=

,x∈[ ,1],

∵m∈( ,1), ∴在二次函数 y=﹣2x2+2x﹣m 中,△ =4﹣8m<0,
第 23 页(共 24 页)

∴y=﹣2x2+2x﹣m<0 恒成立; ∴h′(x)<0 对 x∈[ ,1]恒成立, ∴h(x)在[ ,1]上单减. ∴hmin(x)=h(1)= m﹣2>0, 即 m> . 故存在 m∈( ,1),使 f(x)>g(x)+1 对?x∈[ ,1]恒成立. ( III)证明:F(x)=f(x)g(x)=(lnx+ 易知 x=2m 为函数 F(x)的一个零点, ∵m> , ∴2m>1, 因此据题意知,函数 F(x)的最大的零点 c>1, 下面讨论 f(x)lnx+ 的零点情况, )(x﹣2m),

∵f′(x)= ﹣

=



易知函数 f(x)在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增. 由题知 f(x)必有两个零点, ∴f 极小值(x)=f( )=ln +1<0,解得 0<m< , ∴ <m< ,即 me∈( ,2). ∴f(1)=ln1+ = >0,f( )=﹣1+ 又 f(e﹣10)= ?e10﹣10>0. ∴0<e﹣10<a< <b<1<c. ∴0<a< <b<1<c. 【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题,同时利用了构造函数的方法,属于难题. <0.

第 24 页(共 24 页)


相关文章:
天津市南开中学2015届高考数学热身试卷(文科)(Word版含...
的 * 天津市南开中学 2015高考数学热身试卷(文科)版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com 参考答案与试题解析 一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 ...
天津市南开中学2015届高考数学热身试卷(文科)
{an}的一 * 天津市南开中学 2015高考数学热身试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出...
天津市南开中学2015届高考数学热身试卷(理科)
天津市南开中学 2015高考数学热身试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题(...本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环 的...
天津市南开中学2015届高考数学热身试卷(文科)
{an}的一 * 天津市南开中学 2015高考数学热身试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出...
...中学高三(下)第五次月考数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年天津市南开中学高三(下)第五次月考数学试卷(文科)(解析版)_...宜春校级模拟)执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( ) A.7 B.9 C.10 ...
...中学高三(下)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)
2014-2015年天津市南开中学高三(下)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2014-2015年天津市南开中学高三 (下) 第一次月考数学...
...南开中学高三(上)一诊模拟数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年重庆市南开中学高三(上)一诊模拟数学试卷(文科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2015—2016 学年重庆市南开中学高三 (上) 一诊模拟数学试卷 (...
天津市南开中学2015届高三下学期校模数学(文)试题
天津市南开中学2015届高三下学期校模数学()试题_数学_高中教育_教育专区。天津南开中学 2015 届高三文科数学模拟试卷 天津市南开中学 2015 届高三校模拟考试...
天津市南开中学2015届高考化学模拟试卷【解析版】(3)
___. 2015 年天津市南开中学高考化学模拟试卷(3)一、选择题(每小题有 1 个正确答案,每小题 6 分,共 36 分) 1.化学与社会、生活密切相关,对下列现象或事...
天津市南开中学2015年高考数学统练试卷(理科)(7)
2015 年天津市南开中学高考数学统练试卷(理科) (7)参考答案与试题解析 一、...(0,+∞)上的单调性和奇偶性,模拟 g(x)的图象,而不 等式 f(x)>0 等价...
更多相关标签:
天津市南开医院 | 天津市南开区 | 天津市南开中学 | 天津市南开区教育局 | 天津市南开区人民法院 | 天津市南开区房管局 | 天津市南开区搬家公司 | 天津市南开区邮编 |