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2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练10 数列求和 理


训练 10
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

数列求和

(时间:45 分钟 满分:75 分)

1.(2012·山东省实验中学一诊)已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等 比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N ,则 S10 的值为 ( A.-110 C.90 B.-90 D.110 ).
*

2.(2012·宝鸡二模)已知等差数列{an}的前三项依次为 a-1,a+1,2a+3,则此数列的通 项公式 an 等于 ( A.2n-3 C.2n-5 B.2n+1 D.2n+3 ).

1 1 1 1 3.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,…的前 n 项和 Sn 为 2 4 8 16 ( 1 2 A.n +1- n-1 2 1 2 C.n +1- n 2 4.已知数列{an}的通项公式是 an= 1 2 B.n +2- n 2 1 2 D.n +2- n-1 2 1 ).

n+ n+1

,若前 n 项和为 10,则项数 n 为 ( ).

A.11 C.120

B.99 D.121

5.(2012·福州一模)已知{an}满足 a1=1,且 an+1= (n∈N ),则数列{an}的通项公式 3an+1 为( ). B.an=n +2
2

an

*

1 A.an= 3n-2

C.an=3n-2

?1,n=1 ? D.an=? 1 ?3n-3,n≥2 ?

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6. (2012·枣庄一检)若数列{an}的前 n 项和 Sn=n -10n, 则此数列的通项公式为________.
2

1

7.若

1+3+5+…+? 2x-1? * =110(x∈N ),则 x=________. 1 1 1 + +…+ 1·2 2·3 x? x+1?

1 8.(2011·北京)在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=-4,则公比 q=________;|a1|+|a2| 2 +…+|an|=________. 三、解答题(本题共 3 小题,共 35 分) 9. 分)(2012·泰安二模)已知等差数列{an}的公差 d≠0, (11 它的前 n 项和为 Sn, S5=35, 若 且 a2,a7,a22 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式;
?1? (2)设数列? ?的前 n 项和为 Tn,求 Tn. ?Sn?

10.(12 分)(2012·济宁一模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 An,且满足 a1+a5=6,A9= 63;数列{bn}的前 n 项和为 Bn,且满足 Bn=2bn-1(n∈N ). (1)求数列{an},{bn}的通项公式 an,bn; (2)设 cn=an·bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 11.(12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意的正整数 n,都有 an=5Sn+1 成立,记 bn 4+an * = (n∈N ). 1-an (1)求数列{bn}的通项公式; (2)记 cn=b2n-b2n-1(n∈N ),设数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求证:对任意正整数 n 都有
* *

Tn< ;
(3)设数列{bn}的前 n 项和为 Rn.已知正实数 λ 满足:对任意正整数 n,Rn≤λ n 恒成立, 求 λ 的最小值. 参考答案 训练 10 数列求和 1.D [a7 是 a3 与 a9 的等比中项,公差为-2,所以 a7=a3·a9,所以 a7=(a7+8)(a7-4), 9 所以 a7=8,所以 a1=20,所以 S10=10×20+10× ×(-2)=110.故选 D.] 2 2.A [由题意知:2(a+1)=(a-1)+2a+3,解得:a=0, ∴a1=-1,d=2,∴an=-1+2(n-1)=2n-3.] 1 1 1 1 1 3.C [Sn=1 +3 +5 +7 +…+(2n-1) n 2 4 8 16 2
2 2

3 2

2

4.C = 1

[ ∵ an

n+ n+1

= n+1- n ,∴ Sn = a1 + a2 +…+ an =( 2-1)+( 3- 2)+…+

( n+1- n)= n+1-1.令 n+1-1=10,得 n=120.] 5.A [由题可知,an+1=

an 1 3an+1 1 1 1 * (n∈N ),两边取倒数可得, = = +3,即 - 3an+1 an+1 an an an+1 an an

?1? 1 =3,所以数列? ?是首项为 1,公差为 3 的等差数列,其通项公式为 =3n-2,所以数 ?an?

1 列{an}的通项公式为 an= .] 3n-2 6.解析 当 n=1 时,a1=S1=1-10=-9;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n -10n-[(n-1) -10(n-1)]=2n-11.易知 a1=-9 也适合上式.综上,an=2n-11. 答案 an=2n-11 ? 1+2x-1? 7.解析 原式分子为 1+3+5+…+(2x-1)= 2 原式分母为: 1 1 + +…+ 1·2 2·3 x? 1
2 2

x

=x ,

2

x+1?

1 1 1 1 1 x =1- + - +…+ - = , 2 2 3 x x+1 x+1 故原式为:

x2 2 =x +x=110,解得 x=10. x

x+1
答案 10 1 8.解析 ∵{an}为等比数列,且 a1= ,a4=-4, 2

a4 1 3 n-1 ∴q = =-8,∴q=-2,∴an= ·(-2) , a1 2
1 n ? 1-2 ? 2 n-2 ∴|an|=2 ,∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= 1-2 答案 -2 2
n-1

1 n 1 n-1 = (2 -1)=2 - . 2 2

1 - 2

9.解 (1)∵数列{an}是等差数列,

3

5×4 由 S5=5a1+ d=35. 2 ∴a1+2d=7.① 由 a2,a7,a22 成等比数列,∴a7=a2·a22, ∴(a1+6d) =(a1+d)(a1+21d)(d≠0), ∴2a1-3d=0.② 解①②得:a1=3,d=2,∴an=2n+1. (2)由(1)知,Sn=3n+ 1 ∴ = 1 = n +2n n?
2 2 2

n? n-1?
2

·2=n +2n.

2

Sn

1 1 1 1 = ( - ). n+2? 2 n n+2

9? 10.解 (1)∵A9=63,∴A9=

a1+a9?
2 4

=9a5=63,∴a5=7. =2.

由 a1+a5=6,得 a1=-1,∴d= ∴an=2n-3.∵Bn=2bn-1,① ∴Bn-1=2bn-1-1(n≥2),②

a5-a1

由①-②得 bn=2bn-2bn-1,∴bn=2bn-1(n≥2). 又 b1=2b1-1,∴b1=1. ∴数列{bn}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, ∴bn=b1·q
n-1

=2

n-1

.
n-1

(2)cn=an·bn=(2n-3)·2



Sn=c1+c2+c3+…+cn
=-1×1+1×2+3×2 +5×2 +…+(2n-5)·2
2 3 4 2 3

n-2

+(2n-3)·2
n-1

n-1

,①
n

∴2Sn=-1×2+1×2 +3×2 +5×2 +…+(2n-5)·2
2 3

+(2n-3)·2 ,②
n -1

①②两式相减得- Sn =-1+2×2+2×2 +2×2 +…+2×2 2(2+2 +2 +…+2 2? =-1+2×
n
2 3

-(2n -3)·2 =-1+

n

n-1

)-(2n-3)·2

n

1-2 ? n -(2n-3)·2 1-2

n-1

=(5-2n)·2 -5. ∴Sn=(2n-5)·2 +5.
4
n

1 11.(1)解 当 n=1 时,a1=5a1+1,∴a1=- , 4 又∵an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1, 1 ∴an+1-an=5an+1,即 an+1=- an. 4 1 ∴数列{an}成等比数列,其首项 a1=- , 4

1 1n 公比 q=- ,∴an=- ,∴bn= 4 4 5 (2)证明 由(1)知 bn=4+ , n ? -4? -1 5 5 ∴cn=b2n-b2n-1= 2n + 2n-1 4 -1 4 +1

.

25×16 25×16 25×16 25 = = < n n n 2 n n 2= n, ? 16 -1? ? 16 +4? ? 16 ? +3×16 -4 ? 16 ? 16 13 4 又 b1=3,b2= ,∴c1= . 3 3 3 当 n=1 时,T1< ; 2 4 1 1 1 当 n≥2 时,Tn< +25×( 2+ 3+…+ n) 3 16 16 16

n

n

n

4 = +25× 3 69 3 = < . 48 2

1 2 16 4 < +25× 3 1 1- 16

5 (3)解 由(1)知 bn=4+ . n ? -4? -1 一方面,已知 Rn≤λ n 恒成立,取 n 为大于 1 的奇数时, 设 n=2k+1(k∈N ),则 Rn=b1+b2+…+b2k+1 =4n+5×(- =4n+5×[- 1 1 1 1 + 2 - 3 +…- 2k+1 ) 4 +1 4 -1 4 +1 4 +1
1 *

1 1 1 1 1 +( 2 - 3 )+…+( 2k - 2k+1 )]>4n-1. 1 4 +1 4 -1 4 +1 4 -1 4 +1

5

∴λ n≥Rn>4n-1,即(λ -4)n>-1 对一切大于 1 的奇数 n 恒成立.∴λ ≥4,否则, (λ -4)n>-1 只对满足 n< 1 的正奇数 n 成立,矛盾. 4-λ

另一方面,当 λ =4 时,对一切的正整数 n 都有 Rn≤4n 恒成立.事实上,对任意的正整 数 k,有

b2k-1+b2k=8+

5 ? -4?

2k-1

+ -1 ?

5 -4?
k
2k

-1

5 20 15×16 -40 =8+ k - k =8- <8. k k 16 -1 16 +4 ? 16 -1? ? 16 +4? ∴当 n 为偶数时,设 n=2m(m∈N ), 则 Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-1+b2m)<8m=4n; 当 n 为奇数时,设 n=2m-1(m∈N ), 则 Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-3+b2m-2)+b2m-1<8(m-1)+4=8m-4=4n. ∴对一切的正整数 n,都有 Rn≤4n. 综上所述,正实数 λ 的最小值为 4.
* *

6


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