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08高考理科数学中档题训练(十)


太仓市实验高级中学 08 届高三理科数学 中档题训练(十)班级

姓名

学号

高三理科数学中档题训练(十)
1.已知 A 是曲线 ρ =3cosθ 上任意一点,求点 A 到直线 ρ cosθ =1 距离的最大值 和最小值. 解:将极坐标方程转化成直角坐标方程:ρ =3cosθ 即:x +y =3x, (x-


2 2

3 2 2 9 ) +y = 2 4

ρ cosθ =1 即 x=1

直线与圆相交。所求最大值为 2, 最小值为 0。 2.某物体做直线运动,运动方程为 x ? 4t 2 ? m? ,设外界阻力与速度成正比,且速度 等于 10 m / s 时,阻力为 2N,求物体从 x ? 0 到 x ? 2 时,阻力所做的功 W. 分析:利用导数求出物体的速度关于 x 的函数,得力 F ? x ? , 然后根据定积分的物 理意义 W ?
'

? F ? x ? ? dx 求解。
2 0

解: v ? x ? 8t ? 4 x .? F ? x ? ? 4k x .? 2 ? 10k ,? k ? 所以阻力所做的功 W ? ?

1 4 ,? F ? x ? ? x. 5 5

4 8 16 x ? dx ? ? 23 ? ? 2 ?J ? 0 5 15 15 点评:物体在变力 F 作用下,沿与 F 相同方向从 x ? a 移动到 x ? b ,则力 F 所作

?

2

的功为 W ?

? F ? x ? ? dx .
b a

3.某人在水池中养了 10 条金鱼,其中 4 条为白色,6 条为红色,他每天随机地从 水池中取出 3 条放入水箱中进行观察,观察后又把这 3 条放回水池中,连续 5 天 的观察. (1)问一天中,他取出两种颜色鱼的概率是多少? (2)设随机变量 X 是取出两种颜色鱼的天数,求 X 的概率分布. 解: (1)取出两种鱼有两种可能,即 1 条白色鱼,2 条红色鱼;或.2 条白色鱼,1
1 2 条红色鱼。取出 1 条白色鱼,2 条红色鱼的方法数为 C4C6 ;取出 2 条白色鱼,1 2 1 条红色鱼的方法数为 C4 C6 。而从 10 条鱼中取出 3 条鱼的方法数为 C10 。
1 2 2 1 C4C6 ? C4 C6 4 = ; 3 C10 5

3

故所求的概率为: (2) X 0

1

2

3

4

5

-1-

太仓市实验高级中学 08 届高三理科数学 中档题训练(十)班级

姓名

学号

P

1 3125

20 3125

160 3125

640 3125

1280 3125

1024 3125

可以化简为 X P 0 1 2 3 4 5

1 3125
2

4 625

32 625

128 625

256 3125

1024 3125

4. 设 A、B 是抛物线 y=2x 上两点,求证:AB 的垂直平分线 l 经过抛物线焦点的充 要条件是线段 AB 的中点落在 y 轴上. 证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点落在 y 轴上即 x1+x2=0; ∵抛物线 y=2x 的焦点 F (0, ) 充分性:当 AB 的中点落在 y 轴上即 x1+x2=0 时,y1=y2,A、B 关于 y 轴对称,直 线 l 即为 y 轴,经过抛物线的焦点。 必要性: (1)直线 l 的斜率不存在且经过 F (0, ) 时,直线 l 即为 y 轴,A、B 关于 y 轴对称,
2

1 8

1 8

AB 的中点落在 y 轴上。
(2)直线 l 经过 F (0, ) 且斜率存在,设斜率为 k(显然 k≠0) ,截距为 即直线 l :y=kx+

1 8

1 , 8

1 由已知得: 8

y1 ? y2 1 ? 2( x1 ? x2 ) ? ? ≠0 x1 ? x2 k
即 l 的斜率存在时,AB 的中点不可能落在 y 轴上即题设 A、B 点不存在。 综上所述, l 经过抛物线焦点的充要条件是线段 AB 的中点落在 y 轴上。

1 1 1 1 ? ?? ? ?2 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ? ? n 1 1 1 1 ? ?? ? 证明: ? 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ? ? n 1 1 1 < 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 2 2 2 1 =2- n?1 2
5. 证明不等式: ? <2
-2-


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