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数列综合测试题(经典)含答案


数列综合测试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符号题目要求的。) S3 S2 1.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 - =1,则数列{an}的公差是( 3 2 1 A. 2 C.2 B.1 D.3 )

2.设等比数列{an}的

前 n 项和为 Sn,若 8a2+a5=0,则下列式子中数值不能确定的是 ( ) a5 A. a3 an+1 C. an S5 B. S3 Sn+1 D. Sn

1 3.(理)已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N*)且 a2+a4+a6=9,则 log (a5+a7+ 3 a9)的值是( A.-5 C.5 ) 1 B.- 5 1 D. 5

An 7n+45 an 4. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn, 且 = , 则使得 为 Bn n+3 bn 正偶数时,n 的值可以是( A.1 C.5 ) B.2 D.3 或 11

5.已知 a>0,b>0,A 为 a,b 的等差中项,正数 G 为 a,b 的等比中项,则 ab 与 AG 的大小关系是( A.ab=AG C.ab≤AG ) B.ab≥AG D.不能确定

a3+a4 1 6.各项都是正数的等比数列{an}的公比 q≠1,且 a2, a3,a1 成等差数列,则 的 2 a4+a5 值为( ) B. D. 5+1 2 5+1 5-1 或 2 2

1- 5 A. 2 C. 5-1 2

7. 数列{an}的通项公式为 an=2n-49, 当该数列的前 n 项和 Sn 达到最小时, n 等于( A.24 C.26 B.25 D.27

)

2 8. 数列{an}是等差数列, 公差 d≠0, 且 a2046+a1978-a2012 = 0, {bn}是等比数列, 且 b2012

=a2012,则 b2010· b2014=( A.0 C.4

) B.1 D.8

9.已知各项均为正数的等比数列{an}的首项 a1=3,前三项的和为 21,则 a3+a4+a5 =( ) A.33 C.84 B.72 D.189 )

10.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S3=a5,am=2011,则 m=( A.1004 C.1006 B.1005 D.1007

11.设{an}是由正数组成的等差数列,{bn}是由正数组成的等比数列,且 a1=b1,a2003 =b2003,则( ) B.a1002=b1002 D.a1002≤b1002

A.a1002>b1002 C.a1002≥b1002

12.已知数列{an}的通项公式为 an=6n-4,数列{bn}的通项公式为 bn=2n,则在数列 {an}的前 100 项中与数列{bn}中相同的项有( A.50 项 C.6 项 ) B.34 项 D.5 项 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 1 13.已知数列{an}满足:an+1=1- ,a1=2,记数列{an}的前 n 项之积为 Pn,则 P2011 an =________. 14.秋末冬初,流感盛行,荆门市某医院近 30 天每天入院治疗流感的人数依次构成数 列{an},已知 a1=1,a2=2,且 an+2-an=1+(-1)n (n∈N*),则该医院 30 天入院治疗流 感的人数共有________人. a3+a10 1 15. 已知等比数列{an}中, 各项都是正数, 且 a1,a3,2a2 成等差数列, 则 =________. 2 a1+a8 16.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比 数列,且从上到下所有公比相等,则 a+b+c 的值为________.

a c b 1 2 6

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.设数列{an}的前 n 项和为 S n =2n ,{bn}为等比数列,且 a1=b1,b2(a2 -a1) =b1。
2

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设 cn=

an , 求数列{cn}的前 n 项和 Tn. bn

18.设正数数列{ an }的前 n 项和 S n 满足 S n ?

1 (a n ? 1) 2 . 4

(I)求数列{ an }的通项公式; (II)设 bn ?

1 ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn a n ? a n ?1

1 19.已知数列{bn}前 n 项和为 Sn,且 b1=1,bn+1= Sn. 3 (1)求 b2,b3,b4 的值; (2)求{bn}的通项公式; (3)求 b2+b4+b6+…+b2n 的值.

20.已知函数 f ( x ) =

7x ? 5 ,数列 ?an ? 中,2an+1-2an+an+1an=0,a1=1,且 an≠0, 数列{bn}中, x ?1

bn=f(an-1) (1)求证:数列{

1 }是等差数列; an

(2)求数列{bn}的通项公式; (3)求数列{ bn }的前 n 项和 Sn.

21.数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n(n+1)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; b1 b2 b3 bn (2)若数列{bn}满足:an= + + +…+ n ,求数列{bn}的通项公式; 3+1 32+1 33+1 3 +1 anbn (3)令 cn= (n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 4

22.已知数列{ an }满足 a1

? 1 ,且 an ? 2an?1 ? 2n (n ? 2, 且n ? N * )

(1)求证:数列{

an }是等差数列; (2)求数列{ an }的通项公式; 2n Sn ? 2n ? 3 。 2n

(3)设数列{ an }的前 n 项之和 S n ,求证:

数列综合测试题答案

一 选择题

1-6CDADCC
二 填空题

7-12 ACCCCD

13__2__. 14____255____.15____ 3 ? 2 2 ____.16___22_____. 三.解答题 17. 解: (1)∵ 当 n=1 时 ,a1=S1=2; 当 n≥2 时,an=Sn -Sn-1=2n2 -2(n-1)2=4n-2. 故数列{an}的通项公式 an=4n-2,公差 d=4. 设{bn}的公比为 q,则 b1qd= b1,∵ d=4,∴ q= 即数列{ bn }的通项公式 bn= (2)∵c n ?

1 ?1? - .∴ bn=b1qn 1=2×? ? 4 ?4?

n ?1

=

2 4 n ?1

,

2 4 n ?1



a n 4n ? 2 ? ? (2n ? 1)4 n ?1 2 bn 4 n ?1
-1

∴ Tn=1+3· 41+5· 42+· · · · · · +(2n-1)4n

∴ 4Tn=1· 4+3· 42+5· 43+· · · · · · +(2n-1)4n 两式相减得 3Tn=-1-2(41+42+43+· · · · · · +4n 1)+(2n-1)4n= [( 6n ? 5) 4 ? 5]


1 3

n

∴ Tn= [( 6n ? 5) 4 ? 5]
n

1 9

18.解: (Ⅰ )当 n ? 1 时, a1 ? S1 ?

1 (a1 ? 1) 2 ,∴ a1 ? 1 . 4


∵ Sn ? ∴ S n ?1

1 (a n ? 1) 2 , 4 1 ? (a n ?1 ? 1) 2 4

(n ? 2) .



① -② ,得 a n ? S n ? S n ?1 ?

1 1 (a n ? 1) 2 ? (a n ?1 ? 1) 2 , 4 4

整理得, (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 , ∵ an ? 0 ∴ an ? an?1 ? 0 .

∴ an ? an?1 ? 2 ? 0 ,即 an ? an?1 ? 2(n ? 2) . 故数列 {an } 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列.

∴ an ? 2n ? 1 . (Ⅱ )∵ bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an ? an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

?

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? . 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 4 1 1 16 (1)b2= S1= b1= ,b3= S2= (b1+b2)= ,b4= S3= (b1+b2+b3)= . 3 3 3 3 3 9 3 3 27 1
n

19. [解析]

?b =3S (2)? 1 ?b =3S
n+1 n

① ②

n-1

1 4 ①-②解 bn+1-bn= bn,∴bn+1= bn, 3 3 1 1 ?4?n-2 ∵b2= ,∴bn= · 3 3 ?3? (n≥2)

1 ?n=1? ? ? ∴bn=?1 ?4?n-2 . · ? n ≥ 2 ? ? ?3 ?3? 4?2 1 (3)b2,b4,b6…b2n 是首项为 ,公比? 3? 的等比数列, ? 3 1 4 [1-? ?2n] 3 3 ∴b2+b4+b6+…+b2n= 4?2 1-? ?3? 3 4 = [( )2n-1]. 7 3
20.解: (1)2an+1-2an+an+1an=0

∵ an≠0,

两边同除 an+1an

1 a n ?1

?

1 1 ? an 2
1 1 }是首项为 1,公差为 的等差数列 2 an

∴ 数列{

(2)∵

n ?1 1 1 = ? (n ? 1)d ? 2 a n a1

1? n , (n ? N ) n ?1 1? n ∵ bn=f(an-1)=f( )=-n+6 (n∈ N) n ?1
∴ an-1= (3) -n+6 (n≤6, n∈ N) n-6 (n>6, n∈ N)

bn =

n( b1 ? 6 ? n) 2
∴ Sn=

?

n(11? n) 2

(n≤6, n∈ N)

S6 ?

(n ? 6)( b7 ? bn ) 2

?

n 2 ? 11n ? 60 (n>6, n∈ N) 2

21.[解析]

(1)当 n=1 时,a1=S1=2,

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n,知 a1=2 满足该式 ∴数列{an}的通项公式为 an=2n. b1 b2 b3 bn (2)an= + + +…+ n (n≥1)① 3+1 32+1 33+1 3 +1 bn+1 b1 b2 b3 bn ∴an+1= + 2 + 3 +…+ n + n+1 ② 3+1 3 +1 3 +1 3 +1 3 +1 ②-①得, bn+1 + =a + -a =2,bn+1=2(3n 1+1), + 3n 1+1 n 1 n

故 bn=2(3n+1)(n∈N*). (3)cn= anbn =n(3n+1)=n· 3n+n, 4

∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=(1×3+2×32+3×33+…+n×3n)+(1+2+…+n) 令 Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n,① 则 3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n 1②


3?1-3n? + + ①-②得,-2Hn=3+32+33+…+3n-n×3n 1= -n×3n 1 1-3 ?2n-1?×3n 1+3 ∴Hn= , 4


∴数列{cn}的前 n 项和 ?2n-1?×3n 1+3 n?n+1? Tn= + 4 2


22 解.(1)? a n

? 2a n ?1 ? 2 n ( n ? 2, 且n ? N * )

a n a n ?1 a a ?1 ? n ?1 ? 1, 即 n ? n ? 1(n ? 2, 且n ? N * ) n n n ?1 2 2 2 2 a 1 ? 数列{a n }是等差数列, 公差为d ? 1, 首项 1 ? , n 2 2 a 1 1 1 (2)由(1)得 n ? ? (n ? 1)d ? ? (n ? 1) ? 1 ? n ? , n 2 2 2 2 1 ? a n ? (n ? ) ? 2 n 2 1 3 5 1 (3) ? S n ? ? 21 ? ? 2 2 ? ? 2 3 ? ? ? (n ? ) ? 2 n.......... ....( 1) 2 2 2 2 1 3 5 1 ? 2 S n ? ? 2 2 ? ? 2 3 ? ? 2 4 ? ? ? (n ? ) ? 2 n ?1.......... ......(2) 2 2 2 2 ?
(1) ? (2)得 1 1 ? S n ? 1 ? 2 2 ? 23 ? ? ? (n ? ) ? 2 n ?1 ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ? (n ? ) ? 2 n ?1 ? 1 2 2

?

2(1 ? 2 n ) 1 ? (n ? ) ? 2 n ?1 ? 1 ? (3 ? 2n) ? 2 n ? 3. 1? 2 2 Sn S n ? (2n ? 3) ? 2 n ? 3 ? (2 ? 3) ? 2 n ,? n ? 2n ? 3 2


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