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国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第4届)无答案


国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第 4 届) 1. 找出具有下列各性质的最小正整数 n: 它的最后一位数字是 6, 如果把最后的 6 去掉 并放在最前面所得到的数是原来数的 4 倍. 2. 试找出满足下列不等式的所有实数 x: (3 ? x) ? ( x ?1) ? 1/ 2 . 3. 正方体 ABCDA'B'C'D'(ABCD、A'B'C'D'分别是上下底) .一点 x 沿着正方形 ABCD 的边界以方向 ABCDA 作匀速运动;一点 Y 以同样的速度沿着正方形 B'C'CB 的边界以 方向 B'C'CBB'运动.点 X、Y 在同一时刻分别从点 A、B'开始运动.求线断 XY 的中点 的轨迹. 4. 解方程 cos2x + cos22x + cos23x = 1. 5. 在圆 K 上有三个不同的点 A、B、C.试在 K 上再作出一点 D 使得这四点所形成的 四边形有一个内切圆. 6. 一个等腰三角形,设 R 为其外接圆半径,内切圆半径为 r,求证这两个圆的圆心的 距离是 ( R( R ? 2r )) . 7. 求证:正四面体有 5 个不同的球,每个球都与这六条边或其延长线相切; 反过来,如果一个四面体有 5 个这样的球,则它必然是正四面体. 1


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