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公开课问题就是答案之数列第一问


20.【2014·全国卷Ⅰ(理 17) 】已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为常数. (Ⅰ)证明: an? 2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由. 【解析】 :(Ⅰ)由题设 an an?1 ? ? Sn ?1, an?1an?2 ? ? S

n?1 ?1 ,两式相减

an?1 ? an?2 ? an ? ? ?an?1 ,由于 an ? 0 ,所以 an?2 ? an ? ?

…………6 分

(Ⅱ)由题设 a1 =1, a1a2 ? ? S1 ?1 ,可得 a2 ? ?1 ? 1 ,由(Ⅰ)知 a3 ? ? ? 1 假设{ an }为等差数列,则 a1 , a2 , a3 成等差数列,∴ a1 ? a3 ? 2a2 ,解得 ? ? 4 ; 证明 ? ? 4 时,{ an }为等差数列:由 an?2 ? an ? 4 知 数列奇数项构成的数列 ?a2 m?1? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列 a2m?1 ? 4m ? 3 令 n ? 2m ? 1, 则 m ?

n ?1 ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m ? 1) 2

数列偶数项构成的数列 ?a2m? 是首项为 3,公差为 4 的等差数列 a2m ? 4m ? 1 令 n ? 2m, 则 m ?

n ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m) 2
*

∴ an ? 2n ? 1( n ? N ) , an?1 ? an ? 2 因此,存在存在 ? ? 4 ,使得{ an }为等差数列. ………12 分

22.【2014·全国卷Ⅱ(理 17) 】已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1 . (Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

【解析】 (1)

? a1 = 1, an+1 = 3an +1.n ∈ N * . 1 1 1 ∴ a n+1 + = 3an +1+ = 3(an + ). 2 2 2 1 1 3 ∴{an + }是首项为a1 + = , 公比为3的等比数列。 2 2 2
(2)由(1)知 an ?

1 3n 3n -1 1 2 ? ,故 an ? , ? n , 2 2 2 an 3 -1

1 1 2 1 ? 1 ,当 n ? 1 时, ? n ? n -1 ; a1 an 3 -1 3

1 n 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 所以 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? n -1 ? 3 ? ( 1- n ) ? , 1 a1 a2 a3 an 3 3 3 2 3 2 13 1故

1 1 1 1 3 ? ? ??? ? a1 a2 a3 an 2

24.【2014·全国大纲卷(文 17) 】数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设 bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 【解析】 (1)由 an+2=2an+1-an+2 得 an+2- an+1=an+1-an+2,即 bn+1=bn+2,又 b1=a2-a1=1. 所以{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列; (1) 由(1)得 bn=1+2(n-1) ,即 an+1-an=2n-1.于是

? (ak ?1 ? ak ) ? ? (2k ?1)
k ?1 k ?1

n

n

于是 an-a1=n2-2n,即 an=n2-2n +1+a1.又 a1=1,所以{an}的通项公式为 an=n2-2n +2. 27.【2014·安徽卷(文 18) 】数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, nan?1 ? (n ? 1)an ? n(n ? 1), n ? N * .
an ? (Ⅰ)证明:数列 ? ? ? 是等差数列; ?n?

(Ⅱ)设 bn ? 3n ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 【解析】 (Ⅰ)证:由已知可得 所以 {

an ?1 an a a ? ? 1 ,即 n ?1 ? n ? 1 n ?1 n n ?1 n

an a } 是以 1 ? 1 为首项,1 为公差的等差数列。 1 n a (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 n ? 1 ? ( n ? 1) ?1 ? n ,所以 an ? n2 ,从而 bn ? n ? 3n n
1 2 Sn ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? ? 3 3 ? 3?? n ? n

3 ②



3Sn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3? 34 ? ?? (n-1 ) ? 3n ? n ? 3n+1
①-②得:

?2Sn ? 31 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ? n ? 3n +1 3 ? (1 ? 3n ) ? n ? 3n +1 1? 3 (1 ? 2n) ? 3n +1 ? 3 ? 2 ?

(2n ? 1) ? 3n +1 ? 3 所以 Sn ? 4
31. 【2014· 北京卷 (文 15) 】 已知 ?an ? 是等差数列, 满足 a1 ? 3,a4 ? 12 , 数列 ?bn ? 满足 b1 ? 4 ,b4 ? 20 , 且 ?bn ? an ? 是等比数列.

(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和. 【解析】 (I)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由题意得: d ? 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 3n(n ? 1, 2,L ) , 设等比数列 ?bn ? an ? 的公比为 q ,由题意得: q ?
3

a4 ? a1 12 ? 3 ? ? 3, 3 3

b4 ? a4 20 ? 12 ? ? 8 ,解得 q ? 2 . b1 ? a1 4?3

所以 bn ? an ? (b1 ? a1 )qn?1 ? 2n?1 ,从而 bn ? 3n ? 2n?1 (n ? 1, 2,L ) . (II)由(1)知, bn ? 3n ? 2n?1 (n ? 1, 2,L ) , 数列 ?3n? 的前 n 项和为

3 1 ? 2n n(n ? 1) ,数列 ?2n ?1? 的前 n 项和为 1? ? 2n ? 1 , 2 1? 2 3 n(n ? 1) ? 2n ? 1 . 2
( ) , 满足 .

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和为

34. 【2014· 辽宁卷 (理 17) 】 已知首项都是 1 的两个数列 (1) 令 ,求数列 的通项公式; (2) 若 ,求数列 的前 n 项和 . ,

【解析】 (1)因为 所以
an ?1 an ? ? 2, cn ?1 ? cn ? 2 bn ?1 bn

所以数列 {cn } 是以首项 c1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列,故 cn ? 2n ? 1. (2)由 bn ? 3n ?1 知 an ? cnbn ? (2n ? 1)3n?1 于是数列 前 n 项和 Sn ? 1? 30 ? 3 ? 31 ? ? ? (2 n ?1) ?3 n?1

3Sn ? 1 ? 31 ? 3 ? 32 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n

相减得 ?2Sn ? 1 ? 2 ? (31 ? 32 ? ? 3n?1 ) ? (2n ? 1) ? 3n ? 2 ? (2n ? 2) ? 3n 所以 Sn ? (n ? 1) ? 3n ? 1. 7.(15 年 广 东 文 科 ) 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , n ? ? ? . 已 知 a1 ? 1 , a2 ?

?1? 求 a4 的值;

4 S n ? 2 ? 5S n ? 8S n ?1 ? S n ?1 .
1 ? an ? 为等比数列; 2 ?

3 5 , a3 ? , 且 当 n ? 2 时 , 2 4

? 2 ? 证明: ? ?an ?1 ?

? ? 3? 求数列 ?an ? 的通项公式.

7 ?1? 【答案】 (1) ; (2)证明见解析; (3) an ? ? 2n ? 1? ? ? ? 8 ?2?

n ?1



考点: 1 、 等比数列的定义;2、等比数列的通项公式;3、等差数列的通项公式. (18) (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? (n ? n)? 3 .
2 n

(Ⅰ)求 lim (18)解: (I) lim

a a1 a2 an ? 2 ?…? n >3n . ; (Ⅱ)证明: 2 2 n ?? S 1 2 n n

an S ? S n? ? lim n n?? S n?? Sn n

? lim(1 ?
n??

S n?1 ) Sn
…………4 分

? 1 ? lim

S n ?1 , n ?? S n

lim

S n?1 n ?1 1 1 ? lim ? ? , n?? S n?? n ? 1 3 3 n
an 2 ? . Sn 3
a1 ? S ` ? 6 ? 3; 12
…………6 分

所以 lim
n ??

(II)当 n=1 时, 当 n ? 1 时,

a1 ? 2 a ? 2 ??? 2 2 1 2 n2 ? S ?S S1 S 2 ? S1 ? ? ? ? n 2 n ?1 2 2 1 2 n

1 1 1 1 1 1 1 ? ( 2 ? 2 ) ? S1 ? ( 2 ? 2 ) ? S 2 ? ? ? ( ? 2 ) ? S n?1 ? 2 ? S n 2 1 2 2 3 (n ? 1) n n
? Sn n2
…………10 分

n2 ? n n ? 3 ? 3n. 2 n
所以,当 n ? 1 时,

a a1 a 2 ? 2 ?? ? n ? 3 n. 2 2 1 2 n

…………12 分


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