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专题判断函数零点个数的方法(讲学稿)


二轮复习小专题:判断函数零点个数的方法
一方法总结:判断函数零点个数常见方法:
(1) 直接法:届方程 f(x)=0,方程有几个解,函数 f(x)就有几个零点; (2) 图像法:画出函数 f(x)的图象,函数 f(x)的图象与 x 轴的交点个数,即为函数 f(x) 的零点个数; (3) 将 函 数 f(x) 拆 成 两 个 常 见 函 数 h(x) 和 g(x

) 的 差 , 从 而

f ( x) ? 0 ? h( x) ? g ( x) ? 0 ? h( x) ? g ( x), 则 函 数 的 零 点 个 数 即 为 y=h(x) 与
y=g(x)的图象的交点个数; (4) 二次函数的零点问题,通过相应的二次方程的判别式 ? 来判断。

二考题回顾:

0,0 ? x ? 1 (2015 江苏高考) 已知函数 f ( x) ?| ln x | ,g ( x) ? ? , 则方程 | f ( x) ? g ( x) |? 1 ? 2 ?| x ? 4 | ?2, x ? 1

实根的个数为



三例题精析:
例 1:关于 x 的方程 x ? mx ? 1 ? 0 在区间(0,1)上有唯一实根,则实数 m 的范围
2

【变式】若函数 f ( x) ? (m ?1) x ? 2(m ? 1) x ?1 的图象与 x 轴只有一个交点,则实数 m 的
2

取值集合是

例题 2: 已知函数 f ( x) ?

1 3 k ?1 2 1 x ? x , g ( x) ? ? kx, 若函数 f(x)与 g(x)的图象有三个不同 3 2 3

的交点,求实数 k 的取值范围

例题 3:已知函数 f ( x) ? ? m 的取值范围是

?log 2 ( x ? 1), x ? o
2 ?? x ? 2 x, x ? 0,

若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 3 个零点,则实数



? 2? x ? 1, x ? 0, 【变式】已知函数 f ( x ) ? ? 若方程 f ( x) ? x ? a 有且仅有两个不相等的实数 ? f ( x ? 1), x ? 0
根,则 a 的取值范围

2 ? ? x ? 5x ? 4 , x ? 0 例题 4:已知函数 f ( x) ? ? ,若函数 y ? f ( x) ? a x 恰有四个零点,则 2 x ? 2 , x ? 0 ? ?

实数 a 的取值范围

例题 5:若关于 x 的方程 x x ? a ? a 有三个不同的实数根,则 a 的取值范围为


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