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等差数列求和公式课件(演示)


泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建,她 宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界七大奇迹之一。陵 寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆 宝石镶饰而成,共有100层(见上图),奢靡之程度,可见一斑。你知道这个图案一共耗 费了多少宝石吗?

情景
1+2+3+4+…+97+98+99+100=? 高斯答: 1+2+3+4+…+97+98+99+100=
1+100=101 2+ 99=101 3+ 97=101 … 50+ 51=101 …
高斯(1777---1855), 德国数学家、物理学家和天 文学家。他和牛顿、阿基米 德,被誉为有史以来的三大 数学家。有“数学王子”之 称。

5050

101×50=5050

实际上高斯解决了求等差数列

1,2,3,4,…n,…
前100项的和的问题
如何求等差数列

1,2,3,4,…n,… 前n项的和?
定义 一般的,我们称

a1+a2+a3+…+an
为数列{an}的前n项和,用Sn 表示,即

Sn =a1+a2+a3+…+an

求等差数列 1,2,3,…n,…前n项的和?

sn = 1 + 2 + 3 + …+(n-1 )+ n +)sn = n +( n-1 )+(n-2)+… + 2 + 1
∴2 sn =(n+ 1)+ (n+ 1) +…+(n+ 1)
—— 倒序相加法 n ? (n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2

=n(n+1)

思考:这种方法能否推广到求一般等 差数列前n项求和呢?

探究发现
S

倒序相加法

如何求等差数列?an ?的前n项和Sn ?

n

+) S n = a n + a n -1 + a n -2 + … + a 2 + a 1 2S n = ( a 1 + a n ) + ( a 2 + a n -1 ) +…+ ( a n + a 1 ) =n ( a 1 + a n ) 故等差数列的前 n 项求和公式:

= a 1 + a 2 + a 3 + … + a n -1 + a n

n(a1 ? an ) an ? a1 ? (n ? 1)d n ( n ? 1 ) Sn ? S n ? na1 ? d 2 2

方法2:等差数列{ an }a1, a2 , a3 ,…, an ,…的公差为d.

S n ? a1 ? ( a1 ? d ) ? ? ? [ a1 ? ( n ? 1) d ]
S n ? a n ? ( a n ? d ) ? ? ? [ a n ? ( n ? 1) d ]

2 S n ? n( a1 ? an )
an ? a1 ? ( n ? 1) d

n( a1 ? an ) Sn ? 2
n( n ? 1) S n ? na1 ? d 2

观察公式的形式,回忆我们所学过的知识,你 是否发现了什么?它的形式是不是跟我们学过 的梯形面积公式相同?

学以致用
例1: 2000年11月14日教育部下发了《关于小学 “校校通”工程的通知.某市据此提出了实施 “校校通”工程的总目标:从2001年起用10年的 时间,在全市中小学建成不同标准的校园网. 据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费 为500万元. 为了保证工程的顺利实施,计划 每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么 从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工 程的总投入是多少?
总结:实际问题,建立数学模型,利用数学的观点 解决问题,然后再回归问题实际

解:根据题意,从2001-2010年,该市每年投入 “校校通”工程的经费都比上一年增加50万元,所 以,可以建立一个等差数列{ an },表示从2001 年起各年投入的资金,其中, a1 =500,d=50 那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为

S

10

10 ?(10 ? 1) ? 10 ? 500 ? ? 50 ? 7250(万元) 2

答:从2001-2010年,该市在“校校通”工程中 的总投入是7250万元.

练习:根据下列各题中的条件,求 an ? 的前n项和 S n 相应的等差数列 ?

a1 ? ?4, a8 ? ?18, n ? 8
答案 : S8

? ?88

根据条件,选择公式

公式应用

例2
已知等差数列{an}前10项的和是310, 前20项的和是1220.由这些条件能确 定这个等差数列的前n项和的公式吗?

列方程组,解方程

解:由题意知

S10 ? 310, S20 ? 1220

n(n ? 1) d 将它们代入公式 Sn ? na1 ? 2

得到方程组,

? 10a1 ? 45d ? 310 ? ?20a1 ? 190d ? 1220

解这个方程组,得到: a1 ? 4, d ? 6 所以 Sn ? 4 n ?

n ?(n ? 1)
2

? 6 ? 3n 2 ? n

练习:已知一个等差数列前5项和是 25,第六项是11,求此等差数列前n 项和公式

答案 : S n

? n

2

根据条件,选择公式

等差数列前n项和公式的推导: 倒序相加法
等差数列前n项和公式的应用:

五 个 元 素 : a1,a n,n,d , S n “知 三 求 二 ”
数学思想: 类比思想、方程思想、 数学建模思想,整体思想

课后作业
必做题:课本P46习题[A组]2、6题 选做题: (1)请你把其它不同推导等差数列的前n项和 的公式方法写出来。 (2)根据习题2.3第6题,自己再设计一个题目 (提示:根据条件上的变化,或利用等差数列 的性质等)并自己解答 预习:本节后半部分知识


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