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高中数学 第三章 推理与证明 归纳推理教案 北师大版选修1-2


3.1 归纳与类比 归纳推理
教材依据 “归纳推理”是北京师范大学出版社出版的普通中学课程标准实验教科书数学(选修 1- 2)第三章第一节的内容。 教学目标: 1.知识与技能目标:理解归纳推理的原理,并能运用解决一些简单的问题。 2.过程与方法目标:通过自主、合作与探究实现“一切以学生为中心”的理念。 3.情感、态度与价值观:感受数学的人文价值,提高学生的学习兴趣,使其

体会到数学学习 的美感。 教学重点:归纳推理的原理 教学难点:归纳推理的具体应用。 教法学法:自主、合作探究教学 教学准备:多媒体电脑、课件、空间多面体模型等 教学过程: 1.创设情景: 1.情景㈠:苹果落地的故事,正是基于这个发现,牛顿大胆地猜想,然后小心求证,终于 发现了伟大的“万有引力定理” 思考:整个过程对你有什么启发? 教师:“科学离不开生活,离不开观察,也离不开猜想和证明”。 2.情景㈡:陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中的伟大成就:任何一个大于 4 的偶数都 可以写成两个奇素数之和。 如:6=3+3,8=3+5,10=5+5, 12=5+7,14=7+7, 16=5+11,?,1000=29+971,1002 =139+863,?? 2.探求研究: 探究 1.学生根据自备的多面体进行观察,统计多面体的面数、顶点数和棱数; (学生实验 与教师课件演示结合) 探究 2.观察、猜想它们之间是否有稳定的数量关系? 探究 3.整理所得结论,并尝试证明;若得证,则改写成定理,否则修改猜想,进一步尝试

证明。

多面体 三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 教师指导,合作交流,归纳: 五棱柱 截角正方体 尖顶塔

面数(F) 4 5 5 6 6 8 7 7 9

顶点数(V) 4 5 6 6 8 6 10 10 9

棱数(E) 6 8 9 10 12 12 15 15 16

V棱柱 ? V棱台=2V棱锥-2 ,
E棱柱=E棱台 ? 3 E , 2 棱锥

F棱柱=F棱台=F棱锥+ 1,F+V-E=2 等等,其中“F+V-E=2”为“欧拉公式”。
3.概念讲解 结合情景问题和探究过程所得,教师引导学生完成归纳推理的概念及分析。 定义:根据一类事物的部分事物具有某种属性,推断该类事物的每一个都具有这种属性 的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 说明:⑴归纳推理的作用:发现新事实,获得新结论;(2)归纳推理的一般步骤:试验、 观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明;⑶归纳推理的结论不一定成立。 4.例题解析 例 1:在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? 解析:先由学生计算: a2 ? 归纳: an ?

2an n ? N * ? , 猜想这个数列的通项公式? ? an ? 2

2 1 2 2 2 , a3 ? ? , a4 ? , a5 ? 3 2 4 5 6

2 (n ? N * ) n ?1

说明 (学生完成) : ⑴有整数和分数时,往往将整数化为分数; ⑵当分子分母都在变化时, 往往统一分子(或分母),再寻找另一部分的变化规律.

例 2、 (拓展)问:如果面积是一定的,什么样的平面图形周长最小?试猜测结论。

教师:设定任务一:常见多边形面积一定时,计算其周长; 任务二:归纳、猜想一般性结论。

已有知 识矩形 面积一 定时正 方形周 推广 长最小

n 边形面 积一定 时 ( 为 1) ,正 n 观察 边 形周 长最小 计算

边形 最小 周长

3 4.56

4 4

6 3.72

8 3.64 归纳 猜想

面 积 一 定 时 , 圆 的 周 长 最小

5.分层练习: 1.由“铜、铁、铝、金等金属能导电”,你能归纳出什么结论? 2.观察下列式子,归纳结论:

13 ? 1 ? 12 , 13 ? 23 ? 9 ? (1 ? 2)2 , 13 ? 23 ? 33 ? 36 ? (1 ? 2 ? 3)2

13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 100 ? (1 ? 2 ? 3 ? 4)2 ??????
问: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ?
3 3 3 3

3.右图中 5 个图形及相应点的个数 的变化规律,试猜测第 n 个图形中有 点; 4.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, 且an ?1 ?
3 3 3

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

an (n ? N * ) ,试归纳这个数列的通项公式。 1 ? an
3 2

答案:1.金属导电;2. 1 ? 2 ? 3 ? ?? n ? (1 ? 2 ? 3 ???? ? n) ; 3. n ? n ? 1
2

;

4. an ?

1 (n ? N * ) . n

6.课时小结(师生共同) 1 什么是归纳推理? 2 归纳推理的一般步骤:试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明。 布置作业: (补充) :已知?an ?的前n项和Sn与an满足:Sn ? 1 ? nan,试归纳出其通项公式an . 拓展延伸: 1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯;

2.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征: ⑴火星也绕太阳运行,绕轴自转的行星; ⑵有大气层,在一年中也有季节变更; ⑶火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等; 科学家猜想;火星上也可能有生命存在。 说明:以上两练习使用的是类比推理。目的是知识上承上启下,把本节知识延伸,既拓 宽了学生视野,也为下一节“类比推理”的教学作了铺垫。 教后反思: ⑴要实现数学新知识的建构学习,教师要创设适当的情境,情境应符合实际.包括生活 场景的实际,数学教学内容的实际,学生知识状况的实际,学生思维发展的实际等等。 ⑵学生通过“经历”,“体会”,“感受”,最后形成概念的过程学习,充分体现了以 学生为本的现代教育观; 同时练习和作业的分层设计尽量满足多样化的学习需求做到因材施 教,促进全体的参与。 附:板书设计

创设情景 探求研究

归纳推理 概念讲解 例1 例2

分层练习 小结,作业 思考交流


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