当前位置:首页 >> 数学 >>

浙江省2016届高三数学专题复习 专题三 数列过关提升 理


专题三





专题过关·提升卷 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题 1.设{an}是公比为 q 的等比数列,则“q>1”是数列“{an}为递增数列”的( A.充分不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a5=8,S3=6,则 a9 等于( A.32 C.16 B.24 D.8
2

)

)

3.已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1,a3 是方程 x -10x+9=0 的 两个根,则 S6 等于( A.120 C.364 ) B.254 D.128

4.在各项均为正数的等比数列{an}中,若 am+1·am-1=2am(m≥2),数列{an}的前 n 项积为 Tn, 若 log2T2m-1=9,则 m 的值为( A.4 C.6 ) B.5 D.7

5.(2015·太原诊断)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=3 ( ) B.-1 D.3

n+1

+a(n∈N ),则实数 a 的值是

*

A.-3 C.1

6.(2015·绍兴鲁迅中学模拟)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a2=10,S4=36,则过 点 P(n,an)和 Q(n+2,an+2)(n∈N )的直线的一个方向向量是(
*

)

? 1 ? A.?- ,-2? ? 2 ?

B.(-1,-1)

1

? 1 ? C.?- ,-1? ? 2 ?

? 1? D.?2, ? ? 2?
*

7.(2015·长沙模拟)数列{an}满足 a1=1,且对任意的 m,n∈N 都有 am+n=am+an+mn,则 1 1 1 + + +?+ 等于(

1

a1

a2 a3

a2 012

) B. D. 4 018 2 012 2 009 2 010
?

4 024 A. 2 013 2 010 C. 2 011

8.(2015·郑州质检)设数列{an}是首项为 1,公比为 q(q≠-1)的等比数列,若?

1 ? ?是 ?an+an+1?

?1 1? ?1 1? ? 1 + 1 ?+? 1 + 1 ?=( 等差数列,则? + ?+? + ?+?+? ? ? ? ?a2 a3? ?a3 a4? ?a2 013 a2 014? ?a2 014 a2 015?
A.2 012 C.4 024 B.2 013 D.4 026

)

第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题 9.各项为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4=5S2,a2=2 且 Sk=31,则正整数 k 的值为________.

n 1 ?1? * 10.(2015·衡水联考)已知数列{an}满足 a1=1,且 an= an-1+? ? (n≥2,且 n∈N ),则数 3 ?3?
列{an}的通项公式为________. 11.(2015·天津七校联考)已知正项等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an,使 1 4 得 aman=4a1,则 + 的最小值为________.

m n

12.(2015·陕西高考)中位数为 1 010 的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,则该数列 的首项为________. 13.(2015·乐清联考)若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e ,则 ln a1+ln
5

a2+?+ln a20=________.
?1? * 14.(2015·江苏高考)设数列{an}满足 a1=1,且 an+1-an=n+1(n∈N ),则数列? ?前 10 ?an?

项的和为________. 15.(2015·菏泽调研)西非埃博拉病毒导致 2 500 多人死亡,引起国际社会广泛关注,为防 止疫情蔓延,西非各国政府在世界卫生组织、国际社会援助下全力抗击埃博拉疫情,预计某
2

首都医院近 30 天内每天因治愈出院的人数依次构成数列{an},已知 a1=3,a2=2,且满足

an+2-an=1+(-1)n,则该医院 30 天内因治愈埃博拉病毒出院的患者共有________人.

三、解答题 16.(2015·大庆质检)已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 S7=77,且 a1,a3,a11 成等比数 列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

17.(2015·金华模拟)已知等比数列{an}满足:an>0,a1=5,Sn 为其前 n 项和,且 20S1,S3, 7S2 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式;
?1? (2)设 bn=log5a2+log5a4+?+log5a2n+2,求数列? ?的前 n 项和 Tn. ?bn?

18.(2015·山东高考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 2Sn=3 +3. (1)求{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 anbn=log3an,求{bn}的前 n 项和 Tn.

n

3

19.(2015·杭州外国语学校模拟)已知数列{bn}满足 Sn+bn=

n+13
2

,其中 Sn 为数列{bn}的前

n 项和.
? 1? (1)求证:数列?bn- ?是等比数列,并求数列{bn}的通项公式; 2? ?

12k * (2)如果对任意 n∈N ,不等式 ≥2n-7 恒成立,求实数 k 的取值范围. 12+n-2Sn

20.设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 bn=1-2Sn;将函数 y=sin π x 在区间(0,+∞)内的 全部零点按从小到大的顺序排成数列{an}. (1)求{bn}与{an}的通项公式; (2)设 cn=an·bn(n∈N ),Tn 为数列{cn}的前 n 项和.若 a -2a>4Tn 恒成立,试求实数 a 的取 值范围.
* 2

专题过关·提升卷 1.D [当 a1<0,q>1 时,数列{an}是递减数列.当{an}为递增数列时,a1<0,0<q<1 或 a1>0,

q>1.因此, “q>1”是{an}为递增数列的既不充分也不必要条件.]
2.C [设等差数列{an}的公差为 d,首项为 a1,因为 a5=8,S3=6,
4

?a1+4d=8, ? 所以? 解得 a1=0,d=2. ? ?3a1+3d=6,

所以 a9=a1+8d=8×2=16.] 3.C [因为 a1,a3 是方程 x -10x+9=0 的两个根,所以? 1-3 所以 a1=1,a3=9,所以 q=3,S6= =364.] 1-3 4.B [由等比数列的性质,am+1·am-1=am, ∴am=2am(am≠0),从而 am=2, 因此 T2m-1=a1·a2·a3·?·a2m-1=am 所以 log2T2m-1=log22 5.A [由 Sn=3
n+1
2m-1 2m-1 2 2 6 2

? ?a1+a3=10, ?a1·a3=9, ?

又{an}是递增数列,

=2

2m-1



=2m-1=9,则 m=5.]
n

+a,则 Sn-1=3 +a.
n
*

∴an=Sn-Sn-1=2·3 (n≥2,n∈N ). ∵a1=S1=9+a, 又数列{an}为等比数列, 因此 a1 应满足 an=2·3 ,即 a1=6. 所以 9+a=6,∴a=-3.] 6.A [设等差数列{an}的公差为 d,由题意得:
? ? ?2a1+d=10, ?a1=3, ? 解之得? ?4a1+6d=36, ?d=4. ? ?
n

∴an=a1+(n-1)d=4n-1. 则 P(n,4n-1),Q(n+2,4n+7),


因此过点 P、Q 的直线的一个方向向量坐标PQ=(2,8).
→ ? 1 ? ∴与PQ共线的一个方向向量为?- ,-2?.] ? 2 ?

7.A [令 m=1 得 an+1=an+n+1,即 an+1-an=n+1, 于是 a2-a1=2,a3-a2=3,?,an-an-1=n, 上述 n-1 个式子相加得 an-a1=2+3+?+n, 所以 an=1+2+3+?+n= 1 因此 =

n(n+1)
2



an

1 ? 2 ?1 =2? - ?, n(n+1) ?n n+1?
5

1 1 1 1 所以 + + +?+

a1 a2 a3

a2 012

1 1 ? ? 1 1 1 - =2?1- + - +?+ 2 012 2 013? ? 2 2 3 ? =2?1-

? ?

1 ? 4 024 .] ?= 2 013? 2 013
?

8.D [因为?

1

?an+an+1?

? ?是等差数列,则

1

a1+a2 a3+a4 a2+a3



1



2



又{an}是首项为 1,公比为 q(q≠-1)的等比数列, ∴ 1 1 1 + 2 ? q=1, 3=2· 1+q q +q q+q2

所以数列{an}是首项为 1,公比为 1 的常数列,则 an=1.

?1 1? ?1 1? ? 1 + 1 ?=4 026.] 故? + ?+? + ?+?+? ? ?a2 a3? ?a3 a4? ?a2 014 a2 015?
9.5 [由 S4=5S2,得 a3+a4=4(a1+a2), ∴q (a1+a2)=4(a1+a2),由于 a1+a2≠0,则 q=2. 又 a2=2a1=2.知 a1=1. 1·(1-2 ) ∴Sk= =31,解得 k=5.] 1-2 10.an=
k
2

n+2
3
n n

n 1 ?1? n n-1 [由 an= an-1+? ? ,得 3 an=3 an-1+1(n≥2). 3 ?3?

∴数列{3 an}是以 3 为首项,公差为 1 的等差数列. 因此 3 an=3+(n-1)×1=n+2,所以 an= 3 11. 2
n

n+2
3
n

.]

[设正项等比数列{an}的公比为 q(q>0).
2

由 a7=a6+2a5,得 q -q-2=0,则 q=2. 又 am·an=4a1,即 am·an=16a1, ∴a1·2
2 2

m-1

·2

n-1

=16a1,2

2

m+n-2

=16.

1 则 m+n=6,即 (m+n)=1. 6 1 4 1 ?1 4? 1? n 4m? 故 + = (m+n)? + ?= ?5+ + ? m n 6 ?m n? 6? m n ? 1? ≥ ?5+2 6? 3 n 4m? 1 · ?= (5+4)= , 2 m n? 6

当且仅当 n=2m,即 m=2,n=4 时,上式等号成立. 1 4 3 因此 + 的最小值为 .] m n 2

6

12.5 [设数列的首项为 a1,由等差数列与中位数定义,则 a1+2 015=2×1 010,∴a1= 5.] 13.50 [∵a10a11+a9a12=2a1a20=2e , ∴a1·a20=e , 则 ln a1+ln a2+?+ln a20=ln(a1·a2·?·a20)= ln(a1·a20) =ln e =50.] 20 14. 11 [∵a1=1,an+1-an=n+1(n∈N ),
* 10 50 5 5

∴a2-a1=2,a3-a2=3,?,an-an-1=n(n≥2), 将上面 n-1 个式子相加,得 an-a1=2+3+?+n. ∴an=1+2+3+?+n= 又 a1=1 适合上式, 因此 an=

n(n+1)
2

(n≥2),

n(n+1)
2 2

(n∈N ), 1 ? ?1 =2? - ?, ?n n+1?

*

1 令 bn= =

an n(n+1)

故 S10=b1+b2+b3+?+b10

?? 1? ?1 1? ? 1 1 ?? 20 =2??1- ?+? - ?+?+? - ??= .] ?? 2? ?2 3? ?10 11?? 11
15.285 [由 an+2-an=1+(-1) ,知, 当 n 为奇数时,an+2-an=0;当 n 为偶数时,an+2-an=2. 所以数列 a1,a3,a5,?,a29 为常数列;a2,a4,a6,?,a30 是公差为 2 的等差数列.又 a1 =3,a2=2, 因此 S30=15×3+
n

a2+a30
2

2+30 ×15=45+ ×15=285.] 2

16.解 (1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0), 由 S7=7a4=77,得 a4=11, ∴a1+3d=11,① 因为 a1,a3,a11 成等比数列, 所以 a3=a1a11,整理得 2d =3a1d,又因 d≠0. 所以 2d=3a1② 联立①,②解得 a1=2,d=3. 所以{an}的通项公式 an=3n-1.
7
2 2

(2)因为 bn=2an, 所以 bn=2
3n-1

1 n = ·8 , 2

所以数列{bn}是以 4 为首项,8 为公比的等比数列, 由等比数列前 n 项和公式得,

Tn=

4(1-8 ) 2 -4 = . 1-8 7

n

3n+2

17.解 (1)设数列{an}的公比为 q(q>0). ∵20S1,S3,7S2 成等差数列, ∴2S3=20S1+7S2. 则 2(a1+a1q+a1q )=20a1+7(a1+a1q). 5 2 化简得 2q -5q-25=0,解得 q=5 或 q=- . 2 5 由 q>0.舍去 q=- . 2 所以数列{an}的通项公式 an=a1q (2)由(1)知,a2n+2=5
2n+2 2

n-1

=5 .

n

,则 log5a2n+2=2n+2.

因此 bn=log5a2+log5a4+?+log5a2n+2 =2+4+?+2(n+1)=(n+1)(n+2). 1 ∴ =

bn

1 1 1 = - , (n+1)(n+2) n+1 n+2

1 1 1 ∴Tn= + +?+

b1 b2

bn

?1 1? ?1 1? ? 1 - 1 ? =? - ?+? - ?+?+? ? ?2 3? ?3 4? ?n+1 n+2?
1 1 n = - = . 2 n+2 2(n+2) 18.解 (1)∵2Sn=3 +3,① ∴当 n=1 时,2a1=2S1=3+3,∴a1=3. 当 n≥2 时,2Sn-1=3
n-1 n

+3.②
n n-1

则①-②得 2an=2Sn-2Sn-1=3 -3
? ?3,n=1, 所以 an=? n-1 ?3 ,n≥2. ?

,则 an=3

n- 1

.

1 (2)因为 anbn=log3an,所以 b1= , 3 当 n≥2 时,bn=3
1-n

log33

n-1

=(n-1)·3

1-n

.
8

1 所以 T1=b1= ; 3 1 -1 -2 1-n 当 n≥2 时,Tn=b1+b2+b3+?+bn= +[1×3 +2×3 +?+(n-1)×3 ], 3 所以 3Tn=1+[1×3 +2×3 +?+(n-1)×3
0 -1 2-n

],

2 0 -1 -2 2-n 1-n 两式相减,得 2Tn= +(3 +3 +3 +?+3 )-(n-1)×3 3 2 1-3 1-n = + -1 -(n-1)×3 3 1-3 13 6n+3 13 6n+3 = - - n ,所以 Tn= n, 6 2×3 12 4×3 13 6n+3 经检验,n=1 时也适合.综上可得 Tn= - n. 12 4×3 19.解 (1)对于任意 n∈N ,Sn+bn=
* 1-n

n+13
2



Sn+1+bn+1=

(n+1)+13 ② 2

1 1 ②-①得 bn+1= bn+ , 2 4 1? 1 1? 所以 bn+1- = ?bn- ? 2? 2 2? 14 7 又由①式知,S1+b1= ,即 b1= . 2 2
? 1? 1 1 所以数列?bn- ?是首项为 b1- =3,公比为 的等比数列, 2? 2 2 ?

bn- =3×? ? 2

1 2

?1? ? ?

n-1

n-1 1 ?1? ,bn=3×? ? + . 2 ?2?

n- 1 1 ?1? (2)因为 bn=3×? ? + 2 ?2?

? 1? 3?1- n? 1 1 1 n ? 2 ? n ? 1? n ? ? 所以 Sn=3?1+ + 2+?+ n-1?+ = + =6?1- n?+ . 2 ? 2 1 2 ? 2 2 ? 2? 2 1- 2
12k 2n-7 * 因为不等式 ≥2n-7,化简得 k≥ n ,对任意 n∈N 恒成立, 12+n-2Sn 2 2n-7 2(n+1)-7 2n-7 9-2n 设 cn= n ,则 cn+1-cn= - n = n+1 , n+1 2 2 2 2 当 n≥5 时,cn+1≤cn,cn 为单调递减数列, 当 1≤n<5 时,cn+1>cn,cn 为单调递增数列, 1 3 3 =c4<c5= ,所以,n=5 时,cn 取得最大值 , 16 32 32
9

2n-7 3 * 所以,要使 k≥ n 对任意 n∈N 恒成立,k≥ . 2 32 20.解 (1)由 bn=1-2Sn,令 n=1, 1 则 b1=1-2S1=1-2b1,∴b1= . 3 又当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1, ∴bn-bn-1=(1-2Sn)-(1-2Sn-1)=-2bn. 因此 3bn=bn-1(n≥2,n∈N ), 1 1 ∴数列{bn}是首项 b1= ,公比为 q= 的等比数列. 3 3 所以 bn=b1q
n-1
*

1 = n. 3
*

令 y=sin π x=0,x∈(0,+∞),得π x=nπ (n∈N ), ∴x=n(n∈N ),它在区间(0,+∞)内的取值构成以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列. 于是数列{an}的通项公式 a n=n. (2)由(1)知,cn=an·bn= n, 3 1 2 3 n 则 Tn= + 2+ 3+?+ n① 3 3 3 3 1 1 2 n-1 n 所以 Tn= 2+ 3+?+ n + n+1② 3 3 3 3 3 1? 2 1 1 1 n 1? n 3 1 n 3 由①-②,得 Tn= + 2+?+ n- n+1= ?1- n?- n+1,于是 Tn= - n-1- n< , 3 3 3 3 3 3 2? 4 4·3 2·3 4 ? 3 要使 a -2a>4Tn 恒成立, 则 a -2a≥3.解之得 a≥3 或 a≤-1, 所以实数 a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).
2 2 *

n

10


相关文章:
浙江省2016届高三数学专题复习 专题三 数列模拟演练 理
浙江省2016届高三数学专题复习 专题三 数列模拟演练 _数学_高中教育_教育专区。专题三 数 列 经典模拟·演练卷 一、选择题 1.(2015·济南模拟)设{an}是公差...
浙江省2016届高三数学专题复习 专题一 函数、不等式及...
浙江省2016届高三数学专题复习 专题一 函数、不等式及其应用过关提升 _数学_...( A.y=-x 3 B.y=2 |x| C.y=-lg|x| D.y=e -e x -x 3.设 ...
浙江省2016届高三数学专题复习 专题七 计数原理与概率...
浙江省2016届高三数学专题复习 专题七 计数原理与...推理证明与数学归纳法过关提升 _数学_高中教育_...( A.1+i C.-1+i 3.若数列{an}是等差数列,...
...(理)二轮专题复习演练:专题三+第2讲+数列过关提升(...
2016届高考数学()二轮专题复习演练:专题三+第2讲+数列过关提升(人教版含答案)(浙江专用)_初三数学_数学_初中教育_教育专区。专题三 数 列 专题过关·提升卷 ...
【合集】浙江省2016届高三数学(文)专题复习:专题三 数列
【合集】浙江省2016届高三数学(文)专题复习:专题三 数列_数学_高中教育_教育...3 专题过关· 提升卷......
【合集】浙江省2016届高三数学(文)专题复习:专题三 数列
【合集】浙江省2016届高三数学(文)专题复习:专题三 数列_高三数学_数学_高中教育...(真题体验+模拟演练+过关提升) 专题三 数 目录 真题体验· 引领卷... 【合...
2016届高三数学(文)专题复习检测:专题三 数列 过关提升
2016届高三数学(文)专题复习检测:专题三 数列 过关提升_高三数学_数学_高中教育_教育专区。专题三 数 列 专题过关· 提升卷 (时间:120 分钟 满分:160 分) 一...
【合集】新课标2016届高三数学(理)专题复习:专题三 数列
【合集】新课标2016届高三数学()专题复习:专题三 数列_数学_高中教育_教育...4 专题过关· 提升卷......
【合集】新课标2016届高三数学(理)专题复习:专题三 数列
【合集】新课标2016届高三数学()专题复习:专题三 数列_高三数学_数学_高中...4 专题过关· 提升卷......
浙江省2016届高三数学专题复习 专题四 立体几何与空间...
浙江省2016届高三数学专题复习 专题四 立体几何与空间向量过关提升 _数学_高中教育_教育专区。专题四 立体几何与空间向量专题过关?提升卷 第Ⅰ卷(选择题) 一、...
更多相关标签: