当前位置:首页 >> 其它课程 >>

大一上学期(第一学期)高数期末考试题


1. 设f ( x ) ? cos x( x ? sin x ), 则在x ? 0处有(
(A) f ?(0) ? 2 (B) f ?(0) ? 1 (C) f ?(0) ? 0

  ).

(D) f ( x ) 不可导.

1? x ,? ( x ) ? 3 ? 33 x,则当x ? 1时(   ) 1? x 2. . ? ( x)与? ( x) 是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B) ? ( x)与? ( x) 是等价 (A) 设? ( x ) ?
无穷小; (C) ? ( x) 是比 ? ( x) 高阶的无穷小; (D) ? ( x) 是比 ? ( x) 高阶的无穷小.

3.



F ( x) ? ? (2t ? x) f (t )dt
0

x

, 其 中 f ( x ) 在 区 间 上 (?1,1) 二 阶 可 导 且

f ?( x ) ? 0 ,则(

).

(A)函数 F ( x) 必在 x ? 0 处取得极大值; (B)函数 F ( x) 必在 x ? 0 处取得极小值; (C)函数 F ( x) 在 x ? 0 处没有极值,但点 (0, F (0)) 为曲线 y ? F ( x) 的拐点; (D)函数 F ( x) 在 x ? 0 处没有极值,点 (0, F (0)) 也不是曲线 y ? F ( x) 的拐点。

4.

设f ( x )是连续函数,且 f ( x ) ? x ? 2? f (t )dt , 则 f ( x ) ? (
0

1

)

x2 (A) 2

x2 ?2 (B) 2 (C) x ? 1 (D) x ? 2 .
2

5. 6. 7.

lim(1 ? 3 x ) sin x ?
x ?0

.

已知

cos x 是 f ( x ) 的一个原函数 , x
.

则? f ( x ) ?

cos x dx ? x

n??
1 2

lim

?
n

(cos 2

?
n

? cos 2
dx ?

2? n ?1 ? ? ? cos 2 ?) ? n n

.

8. 9.

1 - 2

?

x 2 arcsin x ? 1 1 ? x2

.

设函数

y ? y( x ) 由方程 e

x? y

? sin( xy ) ? 1 确定,求 y?( x ) 以及 y?(0) .

1 ? x7 求? dx. x (1 ? x 7 ) 10. ? xe ? x,  x ? 0 1 ? 设f ( x ) ? ?  求 ? f ( x )dx . ?3 ? 2 x ? x 2, 0 ? x ? 1 ? 11.

12.

设函数

f (x ) 连续,

g ( x ) ? ? f ( xt )dt
0

1

,且

lim
x ?0

f ( x) ?A x , A 为常数.



g?( x ) 并讨论 g?( x ) 在 x ? 0 处的连续性.

13. 14.

求微分方程

xy? ? 2 y ? x ln x 满足

y (1) ? ?

1 9 的解.

四、 解答题(本大题 10 分) 已知上半平面内一曲线 y ? y( x )

( x ? 0) , 过点 (0,1) , 且曲线上任一点 M ( x 0 , y 0 )

处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、 y 轴、直线 x ? x0 所围成面积的 2 倍与该点 纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题 10 分)

15.

过坐标原点作曲线 y ? ln x 的切线, 该切线与曲线 y ? ln x 及 x 轴围成平面图 形 D. (1) 求 D 的面积 A;(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题(本大题有 2 小题,每小题 4 分,共 8 分)

16.

0,1 设 函 数 f ( x ) 在 ? ? 上 连 续 且 单 调 递 减 , 证 明 对 任 意 的 q ? [0, 1] ,

? f ( x ) d x ? q ? f ( x )dx
0 0

q

1

.

17. 设函数 f ( x ) 在 ?0, ? ? 上连续,且

?
0

?

f ( x) d x ? 0


?
0

?

f ( x ) cos x dx ? 0
.

证明:在 ?0, ? ? 内至少存在两个不同的点 ? 1 , ? 2 ,使

f (? 1 ) ? f (? 2 ) ? 0. (提示:

F ( x) ?


?
0

x

f ( x )dx
) 4、C

1、D 2、A 3、C
6

e 5. 9. 解:方程两边求导

1 cos x 2  ( ) ?c x . 6. 2 .7.

? 2.
0

?
8.

3

.

e x ? y ( 1? y? ) c oxy( xy? ( y ? ) ? s )?

e x ? y ? y cos( xy ) e x ? y ? x cos( xy ) x ? 0, y ? 0 , y?(0) ? ?1 y ?( x ) ? ?
7 7 x6 10. 解: u ? x    dx ? du

原式 ?

1 (1 ? u) 1 1 2 ? u(1 ? u)du ? 7 ? ( u ? u ? 1 )du 7 1 ? (ln | u | ?2ln | u ? 1 |) ? c 7 1 2 ? ln | x 7 | ? ln | 1 ? x 7 | ? C 7 7
1 ?3

11.

解: ?

f ( x )dx ? ? xe ? x dx ? ?
?3

0

1

0

2 x ? x 2 dx

? ? xd (?e ? x ) ? ?
?3

0

1

0

1 ? ( x ? 1)2 dx

? ? ? xe ? x ? e ? x ? ? ? ? cos 2 ? d?   x ? 1 ? sin ? ) (令 ? ?
0 ?3 ? 2

0

?

?
4

? 2e 3 ? 1

12. 解:由 f (0) ? 0 ,知 g(0) ? 0 。
1 xt ? u

g ( x ) ? ? f ( xt )dt ?
0
x

? f ( u)du
0

x

x

(x ? 0 )

g ?( x ) ?

xf ( x ) ? ? f ( u)du x
x 0 0 2

( x ? 0)

g?(0) ? lim
x ?0

? f (u)du
x
2

? lim
x ?0 x

f ( x) A ? 2x 2 ? A? A A ? 2 2 , g?( x ) 在 x ? 0 处连续。

lim g ?( x ) ? lim
x ?0 x ?0

xf ( x ) ? ? f ( u)du x
0 2

dy 2 ? y ? ln x 13. 解: dx x

y?e
?

?

? x dx

2

(? e

? x dx

2

ln xdx ? C )

1 1 x ln x ? x ? Cx ?2 3 9 1 1 1 y( 1 ) ? C ? 0 y ? x ln x ? x ? , 3 9 9 ,
14. 解:由已知且

y? ? 2 ? y d x ? y
0

x



将此方程关于 x 求导得 y ?? ? 2 y ? y ?
2 特征方程: r ? r ? 2 ? 0 解出特征根: r1 ? ?1,

r2 ? 2.

其通解为

y ? C1e ? x ? C 2 e 2 x

代入初始条件 y(0) ? y ?(0) ? 1 ,得 故所求曲线方程为:

C1 ?

2 1 , C2 ? 3 3

y?

2 ?x 1 2x e ? e 3 3
y ? ln x 0 ? 1 ( x ? x0 ) x0

15. 解: (1)根据题意,先设切点为 ( x 0 , ln x 0 ) ,切线方程: 由于切线过原点,解出 x 0 ? e ,从而切线方程为:

y?

1 x e

则平面图形面积

(2)三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为 V1,则 曲线 与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线 x = e 一周所得旋转体体积为 V2

D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题(本大题有 2 小题,每小题 4 分,共 12 分) 16. 证明:

故有: 证毕。

17. 证:构造辅助函数: 。其满足在 上连续,在 上可导。 ,且 可导。 ,且

由题设,有 ,

有 ,由积分中值定理,存在 ,使 即

综上可知 .在区间 上分别应用罗尔定理,知存在 理,知存在 和 ,使 及 ,即 .


相关文章:
大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案_其它考试_资格考试/认证_教育专区。仅供学习研究,切勿他用高等数学 I (大一第一学期期末考试题及答案) 1. 当 x ?...
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一(第一学期)高数期末考试题及答案_理学_高等教育_教育专区。东西不错大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 ...
大一上学期高数期末考试题
大一上学期高数期末考试题_理学_高等教育_教育专区。大一上学期高数期末考试卷一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1. 设f ( x...
大一上学期(第一学期)高数期末考试题试题2
大一上学期(第一学期)高数期末考试题试题2_理学_高等教育_教育专区。高等数学 I 1. 当 x ? x0 时, ? ? x ? , ? ? x ? 都是无穷小,则当 x ? x...
大一上学期(第一学期)高数期末考试题[1]
大一上学期(第一学期)高数期末考试题[1]_其它课程_高中教育_教育专区。大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 ...
大一上学期(第一学期)高数期末考试题1
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 1. 设 f ( x ) = cos x ( x + sin x ), 则在 x = 0 处有 ( (B) f ′(0) = 1 (C) f ′(0)...
...-2014大一上学期(第一学期)高数期末考试题
南京师范大学2013-2014大一上学期(第一学期)高数期末考试题_教育学_高等教育_教育专区。南京师范大学 2013-2014 大一上学期高数期末考试及解答 (根据试卷整理) 一、...
18-大一上学期(第一学期)高数期末考试题
18-大一上学期(第一学期)高数期末考试题_理学_高等教育_教育专区。大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) ...
大一上学期(第一学期)高数期末考试题
大一上学期(第一学期)高数期末考试题_工学_高等教育_教育专区。高等数学 I (大一第一学期期末考试题及答案) ? x ,? x 1. 当 x ? x0 时, ? ? ? ?...
大一上学期(第一学期)高数期末考试题1
大一上学期(第一学期)高数期末考试题1_理学_高等教育_教育专区。大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有 4 小题 每小题 4 分, 共 16 分) 本...
更多相关标签: