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二元一次方程组与三元一次方程组的行列式解法


二元一次方程组与三元一次方程组的行列式解法
行列式的概念起源于解线性方程组,它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来 的.因此我们首先讨论解方程组的问题. 设有二元线性方程组

?a11 x ? a12 y ? b1 ? ?a 21 x ? a 22 y ? b2

(1)

用加减消元法容易求出未知量 x,

y 的值,当 a11a22 – a12a21≠0 时,有

b1 a 22 ? a12 b2 ? ?x ? a a ? a a ? 11 22 12 21 ? ? y ? a11b2 ? b1 a 21 ? a11 a 22 ? a12 a 21 ?

(2)

这就是一般二元线性方程组的公式解.但这个公式很不好记忆,应用时不方便,因此, 我们引进新的符号来表示(2)这个结果,这就是行列式的起源.我们称 4 个数组成的符号

a11

a12

a 21 a 22

? a11 a 22 ? a12 a 21

为二阶行列式. 它含有两行, 两列. 横的叫行, 纵的叫列. 行列式中的数叫做行列式的元素. 从 上式知,二阶行列式是这样两项的代数和:一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式 的主对角线)上两个元素的乘积,取正号;另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角 线)上两个元素的乘积,取负号. 根据定义,容易得知(2) 中的两个分子可分别写成

b1 a 22 ? a12 b2 ?
a11 a 21 a12 a 22

b1 b2

a12 a 22
b1 b2

, a11b2 ? b1 a 21 ?

a11 a 21

b1 b2
b1 b2



如果记 D ?

, Dx ?

a12 a 22

, Dy ?

a11 a 21

则当 D≠0 时,方程组(1) 的解(2)可以表示成

b1 x?

a12

b a 22 Dx ? 2 a11 a12 D a 21 a 22

a11 b1 D , y ? y ? a 21 b2 , a11 a12 D a 21 a 22

(3)

象这样用行列式来表示解,形式简便整齐,便于记忆. 首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的.分子中的 行列式,x 的分子是把系数行列式中的第 1 列换成(1)的常数项得到的,而 y 的分子则是把系 数行列式的第 2 列换成常数项而得到的.

1

例 1 用二阶行列式解线性方程组

?2 x ? 4 y ? 1 ? ? x ? 3y ? 2
解:这时 D ?
1 2

2 4 ? 2 ? 3 ? 4 ?1 ? 2 ? 0 , 1 3
2 4 ? 1 ? 3 ? 4 ? 2 ? ?5 , D y ? 1 3 1 2 ? 2 ? 2 ? 1? 1 ? 3 ,

Dx ?

因此,方程组的解是
x?

Dy Dx ?5, 3 ? y? ? , D 2 D 2

对于三元一次线性方程组

?a11 x ? a12 y ? a13 z ? b1 ? ?a 21 x ? a 22 y ? a 23 z ? b2 ?a x ? a y ? a z ? b 32 33 3 ? 31
作类似的讨论,我们引入三阶行列式的概念.我们称符号

(4)

a11 a 21 a31

a12 a 22 a32

a13 a 23 ? a11 a 22 a33 ? a12 a 23 a31 ? a13 a 21 a32 a33 ? a11 a 23 a32 ? a12 a 21 a33 ? a13 a 22 a31

(5)

为三阶行列式,它有三行三列,是六项的代数和.这六项的和也可用对角线法则来记忆:从 左上角到右下角三个元素的乘积取正号,从右上角到左下角三个元素的乘积取负号.
2 ?4 2 1 3 3 2 1 5

例2

? 2 ? 3 ? 5 ? 1 ? 1 ? 2 ? (?4) ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? (?4) ? 5 ? 2 ? 3 ? 1 ? ? 30 ? 2 ? 24 ? 12 ? 20 ? 6 ? 10

a11 D ? a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33

b1 D x ? b2 b3

a12 a 22 a32

a13

a11

b1 b2 b3

a13

a11

a12 a 22 a32

b1 b2 . b3

a 23 , D y ? a 21 a33 a31

a 23 , D z ? a 21 a33 a31

当 D≠0 时,(4)的解可简单地表示成

D Dx D , y? y , z? z D D D 它的结构与前面二元一次方程组的解类似.
x?

(6)

2

例 3 解线性方程组

?2 x ? y ? z ? 0 ? ?3 x ? 2 y ? 5 z ? 1 ?x ? 3 y ? 2z ? 4 ?
0 2 ?1 1 解: D ? 3 2 ? 5 ? 28 , D x ? 1 1 3 ?2 4
2 0 Dy ? 3 1 1 4
所以, x ?

?1 2 3 2

1 ? 5 ? 13 , ?2

1

?1 0 2 3 1 ? 21. 4

? 5 ? 47 , D z ? 3 1 ?2

D y 47 D 21 3 D x 13 , y? , z? z ? ? . ? ? D 28 4 D 28 D 28

a
例 4 已知 ? b

b 0 a 0 ? 0 ,问 a,b 应满足什么条件?(其中 a,b 均为实数). 0 1

1

a b 0 解: ? b a 0 ? a 2 ? b 2 , 若要 a2+b2=0, 则 a 与 b 须同时等于零. 因此, 当 a=0 且 b=0 1 0 1
时给定行列式等于零. 为了得到更为一般的线性方程组的求解公式,我们需要引入 n 阶行列式的概念,为此, 先介绍排列的有关知识.

思考题:
当 a、b 为何值时,行列式

D? a a2

a a2

b ? 0. b2

提示:

b ? ab(b ? a) b2

3


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