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3.1.5空间向量运算的坐标表示9


3.1.5 空间向量运算的 坐标表示

平面向量运算的坐标表示: 设a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 )则 a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ) ; a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ) ; (?a1 , ?a2 ) ; ?a ? a1b1 ? a2 b2 a ?b ? ;

>【温故知新】

a ?

a ?a
a ?b a b

?
?

a ? a2 a1b1 ? a2 b2
2 1 2

;
2

cos a , b ?

a ? a2
2 1

2

b ? b2
2 1

;

a // b ? a ? ?b (? ? R) ?a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 (? ? R); a ? b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a2b2 ? 0

【新知探究】
平面向量运算的坐标表示: 空间向量运算的坐标表示:

设a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 )则

设a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 )则


a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ); 类 a ? b ?(a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 );

?a ? (?a1 , ?a2 ) ;
a ? b ? a1b1 ? a2b2 ;

推 广 ?a ?

a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;
(?a1 , ?a2 , ?a3 ) ;

a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ;

设a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 )则

平面向量运算的坐标表示: 空间向量运算的坐标表示:

【新知探究】
a ? ; 类 ?


a ? ?

a ?a 2 2 a1 ? a2

设a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 )则

a ?b

a ?a a12 ? a22 ? a32;
a ?b

cos a , b ? a b a1b1 ? a2 b2
2 1 2 2 1 2

推 cos a , b ? 广

a b a1b1 ? a2 b2 ? a3b3

? a ? a2 b ? b2 ; ? a12 ? a22 ? a32 b12 ? b22 ? b32; a // b ? a ? ?b (? ? R) a // b ? a ? ?b (? ? R) ; ?a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 (? ? R) ; ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 ? a1b1 ? a2b2 ? 0 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0

【新知探究】
空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、
B( x2 , y2 , z2 ),则

AB ?

( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )

2 2 2 ( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( z ? z ) 2 1 2 1 2 1 ?| AB |? AB ? AB ?

d AB ?| AB |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )
2 2

2

【应用举例】 例1.已知 a ? (2, ?3,5), b ? (?3,1, ?4)
求a ? b, a ? b,8a, a ? b, a ? (2a ? b)
解:

a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? (?1, ?2,1) a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? (5, ?4,9) 8a ? 8(2, ?3,5) ? (16, ?24, 40) a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? 2 ? (?3) ? (?3) ?1 ? 5 ? (?4) ? ?29 a ? (2a ? b) ? (2, ?3,5) ? (1, ?5,6) ? 2 ?1 ? (?3) ? (?5) ? 5 ? 6 ? 47

【应用举例】
练习 ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) , C (0,0,2) , ⑴已知 (1,-1,2) 则顶点 D 的坐标为 ______________; ⑵ Rt △ ABC 中, ?BAC ? 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , 2 C ( x,0,1) ,则 x ? ____;

? 3 ? ? 1 ? B(1,1, 0), E1 ? 1, ,1 ? , D(0, 0, 0), F1 ? 0, , 1? ? 4 ? ? 4 ? 1 ? ? 3 ? ? D BE1 ? ? 1 , , 1 ? ? (1 , 1 , 0) ? ? 0 , ? , 1 ? , C O y 4 ? ? 4 ? ? A B ? 1 ? ? 1 ? DF1 ?? 0 , ,1 ?? (0 , 0 , 0)? ? 0 , ,1 ? . x 4 对向量计算或证明。 ?(3) ? ? 4 ? 17 17 15 ? 1? 1 , | DF1 |? . BE1 ? DF1 ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? , | BE1 |? 4 4 1615 ? 4? 4 15 BE1 ? DF1 15 ? 16 ? cos ? BE1 , DF1 ?? ? ? . cos ? E B , DF ?? ______ 17 1 1 17 17 17 | BE1 | ? | DF1 | ? 4 15 4 因此,BE1与DF1所成角的余弦值是 . 17

解:设正方体的棱长为 1,分别以 DA 、DC 、 DD1 为单位正交基底建立空间直角坐标系 (2)把点、向量坐标化, Oxyz ,则 A
1

例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点,求: BE1与DF1所成角的余弦值 . (1) 建立直角坐标系, z
D1 F1 E1 B1

【应用举例】

C1

又A, E , D, F1不共线,所以AE∥DF1. A B 变式2: F是AA1的一个四等分点, x 求证:BF⊥DF1. 1? 1? ? ? 证明:B(1,1, 0), F ? 1, 0, ? , 所以 BF ? ? 0,1 ,? ? 4? 4? ? ? ? 1 ? 1? ? 1 ? 又 DF1 ? ? 0 , ,1 ?, 所以BF ? DF1 ? ? 0, 1, - ? ? ? 0,, 1? ? 0 ? ? 4 ? 4? ? 4 ? ? 因此BF ? DF1 , 即BF⊥DF1.

? 1 ? ? 1 ? 证明:A(1, 0, 0), E ? 1, ,1 ? ,所以 AE ? ? 0, , 1 ? ? 4 ? ? 4 ? ? 1 ? 又 DF1 ? ? 0 , ,1 ?, 所以AE ? DF1 , F ? 4 ?

例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点, z 变式1: E是A1B1的一个四等分点, D F C 求证:AE∥DF1. A E B E
1 1 1 1 1

【应用举例】

1

D

O

C

y

例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点, z D F C 变式3: G是BB1的一个四等分点, E B H为AA1上的一点,若GH⊥DF1, A 试确定H点的位置. 1? ? H 解:设H点坐标为(1, 0, a ),又G ? 1,1, ? , D 4? ? G Cy O 1? ? 所以 GH ? ? 0, ?1 ,a ? ? A B 4? ? x ? 1 ? 又 DF1 ? ? 0 , ,1 ?, 且GH ? DF1 ? 4 ? 1 1 所以GH ? DF1 ? 0 - ? a ? ? 0 4 4 1 解得a ? , 2 即当H为AA1 的中点时,能使GH⊥DF1.
1 1 1 1 1 1

【应用举例】

E , F 分别是 BB1 , D1 B1 例 3 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 中点,求证: EF ? DA1
证明:如图,不妨设正方体的棱长为 1, 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz , 1 1 1 则 E (1 , 1 , ) , F ( , , 1) 2 2 2 1 1 1 所以 EF ? ( ? , ? , ) , 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) , D(0 , 0 , 0) ,

所以 DA1 ? (1, 0 , 1) 1 1 1 所以 EF ? DA1 ? ( ? , ? , ) ? (1 , 0 , 1) ? 0 , 2 2 2 因此 EF ? DA1 ,即 EF ? DA1

(09广东理)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,点E 是正方形BCC1B1的中心,点F、G分别是棱 C1D1, AA1的中 点.设点E1,G1分别是点 E,G在平面DCC1D1内的正投影 z F (2)证明:直线FG1⊥平面 FEE1 ; (3)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值. (2)证明:分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位 E G

【尝试高考】

G1 (0,0,1),F ? 0,1,2? , E1 (0,2,1), E ?1,2,1? ? FG1 ? ? 0 , ?1, ? 1? , FE ? ?1 ,1, ? 1? , x FE1 ? ? 0 ,1, ? 1?, ? FG1 ? FE ? 0 ? 1 ? 1 ? 0, FG1 ? FE1 ? 0 ? 1 ? 1 ? 0 ? FG1 ? FE,FG1 ? FE1 又FE FE1 ? F ? FG1 ? 面FEE1

正交基底建立空间直角坐标系 Oxyz ,则

1

G
O

E

1

y

(09广东理)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,点E 是正方形BCC1B1的中心,点F、G分别是棱 C1D1, AA1的中 点.设点E1,G1分别是点 E,G在平面DCC1D1内的正投影 z F (2)证明:直线FG1⊥平面 FEE1 ; (3)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值.

【尝试高考】

(3)解: E1G1 ? ? 0 , ?2, 0 ?, EA ? ?1 , ?2, ? 1? ,

? E1G1 ? EA ? 0 ? 1 ? ? ?2 ? ? ? ?2 ? ? 0 ? ? ?1? ? 4 ,

G1
G
O

E

E1

| E1G1 |? 2 , | EA |? 6 .

y

6 ? cos ? E1G1 , EA ?? ? ? .x | E1G1 | ? | EA | 2 ? 6 3

E1G1 ? EA

4

6 2 3 ? sin ? E1G1 , EA ?? 1 ? ( ) ? 3 3

3 因此,E1G1与EA所成角的正弦值是 . 3

?1?与a ? ?2,?1,2?共线, 且满足a ? z ? ?18的z ??? 4,2,?4? ? 1 8 ? ? , ,3 ? ?2?A?1,2,1?, B?? 1,3,4?, AP ? 2PB, 则OP ?? ? 3 3 ? ?3?三点A?1,5,?2?, B?2,4,1?, C ? p,3, q ?共线,则
p? 3 q?

练习1、

4

练习 2: ⑴已知 A( 0, 2, 3)、B(? 2,1,6), C(1, ?1,5) , 7 3 则 △ ABC 的面积 S=_____.
2

⑵ a ? ( x, 2,1) , b ? (?3, x 2 , ?5) 且 a 与 b 的夹角为 5 钝角,则 x 的取值范围为 ( ? 1, ) . 2 ⑶正方体 A1 B1C1 D1 ─ABCD 的棱长为 2, E 、F 分别是 C1C 、 D1 A1 的中点 , 求点 A 到直线 EF 的 距离.

【课堂小结】
今天你学到了什么呢? 1.基本知识: (1)向量的加减、数乘和数量积运算的坐标 表示; (2)两个向量的夹角公式和垂直、平行判定 的坐标表示。 用向量坐标法计算或证明几何问题 2.思想方法: (1) 建立直角坐标系, (2)把点、向量坐标化, (3)对向量计算或证明。
作业:1.课本 P98 A 组第 8、 10 题 2.素能综合检测(二十四)


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