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2015秋高中数学 1.2函数的概念课件 (12)


2.2.2 对数函数及其性质
(第 一 课 时)

思考: 在我们研究指数函数时,曾经讨论过细胞分 裂问题(1个细胞一次分裂为2个细胞),某种细 胞分裂时,得到的细胞的个数 是分裂次数 的函数, 这个函数可以用指数函数 = 表示. 现在,我们来研究相反的问题,要想得到1万个, 10万个……细胞,1个细胞要经过经过多少次分裂?

经过分析,发现分裂次数 就是要 得到的细胞个数 的函数.根据对数的 定义,这个函数可以写成对数的形式 x ? log2 y 就是_____________ 如果用 表示x自变量, y表示函 y ? log2 x .这 数,这个函数就是__________ 个函数就是我们今天将要学习的新 对数函数 。 函数 ____________

1.对数函数的定义:
一般地,我们把函数 ( >0且 ≠1)叫做对数函数,其 中 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).

问题1:在函数的定义中,为什么要限定 a>0且 a≠1.
根据对数与指数式的关系,知 可化为 ,由指数的概 念,要使 有意义,必须规定 a>0且 a≠1. 问题2:为什么对数函数 y ? log a x (a >0且a ≠1)的 定义域是(0,+∞)?
y y ? log x a 可化为 x ? a ,不管 y取什么值,由指 因为
y 数函数的性质, a >0,所以 x ? (0, ??) .

2.对数函数的图象与性质: 指导学生通过列表、描点、连线作 与 的图象:
3

3

2.5

2.5
2

2
1.5

1.5

1
-1

1

1
-1

1

0.5

0.5

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

x y ? log2 x与 y ? log 1 问题3: 的图象有什么关系? 2 并且说明这两个函数的相同性质和不同性质. 相同性质:两图象都位于y轴右方,都经过点(1,0) y ? log ,这说明两函数的定义域都是(0,+∞),且当 y ? log2 x的图象是上升的曲线, x=1,y=0;不同性质: 图象是下降的曲线,这说明前者在(0,+∞)上是增 函数,后者在(0,+∞)上是减函数.

1 2

问题4:选取底数a >0,且 a≠1)的若干不同的值,在 同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象. 观察图象,你能发现它们有哪些特征吗?
4

y ? log 3 x
2

y ? log 4 x

5

y ? log 1 x
4

-2

y ? log 1 x
3

问题5:通过函数的图象,你能说出底数与函数图象 的关系吗?函数的图象有何特征,性质又如何?
-4

a>1

0<a<1

3

3

2.5

2.5

2

2


-1

1.5

1.5

1 0

1

1
1

1

0.5

0.5

-0 .5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0 .5

1

2

3

4

5

6

7

8



-1

-1

-1 .5

-1 .5

-2

-2

-2 .5

-2 .5

定义域: (0,+∞)

值域:R



过点(1,0) ,即当 x=1 时,y=0



x ? (0,1) 时 y ? 0
x ? (1,??) 时 y ? 0

x ? (0,1) 时

y ?0

x ? (1,??) 时 y ? 0

在(0,+∞)上是增函数

在(0,+∞)上是减函数

例1. 求下列函数的定义域: 2 2 y ? log ( 9 ? x ). y ? loga (4 ? x) ;(3) (1) a y ? loga x ;(2) 分析:此题主要利用对数函数 y ? loga x 的定义域 (0,+∞)求解. 解:(1) (2)

?x | x ? 0?

?x | x ? 4?

(3)

?x | ?3 ? x ? 3?

例2.比较下列各组数中两个值的大小: ) ⑴ log2 3.4, log2 8.5 ;⑵ log0.3 1.8, log0.3 2.7 ; ⑶ loga 5.1, loga 5.9(a ? 0, a ? 1 . (分析:组织学生求解、讨论、总结规律,用投影仪投 出答案及规律。) 解:(1) log2 3.4 ? log2 8.5

(2)log0.3 1.8 ? log0.3 2.7
小结1:两个同底数的对数比较大小的一般步骤 :①确定所要考查的对数函数; ②根据对数底数判断对数函数增减性; ③比较真数大小,然后利用对数函数的增减性判断 两对数值的大小.

⑶当 a ? 1 时, y ? loga x 在(0,+∞)上是增函数,于是 loga 5.1 ? loga 5.9 ;

当 0 ? a ? 1 时, y ? loga x 在(0,+∞)上是减函数,于是 loga 5.1 ? loga 5.9 .

小结2:分类讨论的思想. 对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小 于1.而已知条件并未指明,因此需要对底数a进行讨 论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌握.

课堂巩固:
1、求下列函数的定义域:

(1)y= log3 (1-x)

(2)y=

1 log2 x

1 (3)y= log 7 1 ? 3x

(4) y ? log3 x

解:(1) {x|x<1};

(2){x|x>0且x≠1};

2、函数 y ? loga ( x ? 1) ? 2

(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点(



3、已知函数 y ? loga ( x ? 1) (a ? 0, a ? 1) 的定义域与值域都是[0,1],求 a 的值。

4、让学生们每人各编一个关于对数函数的定义域的题和单调性的 题。(若课上时间不够,可转为课后作业)

问题六:请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知 识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?

1、学习了对数函数的定义、图像与性质; 2、用到了类比的思想方法;同时,更近一步熟悉了 研究函数的方法和步骤; 3、学习了用对数函数的图像与性质解对数典型题 的基本方法。

课后作业:
1.课本第 74 页,习题 2.2 中的 7,8,10; 2、继续完成课堂上自编的尚未解决的求定义域和单调性的题目; 3.已知 logm 7 < logn 7 <0,按大小顺序排列 m, n, 0, 1 4.已知 0< a <1, b>1, ab>1.

1 1 比较 log a ,log a b,log b 的大小 b b
.

5. 函数 y ? log a ( x ? 3)( a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点

1 1 (答案:3.0<n<m<1;4. loga b < log b < log a ) b b


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