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高中数学选修1-1全册习题(答案详解)


目录:数学选修 1-1
第一章 常用逻辑用语 [基础训练 A 组] 第一章 常用逻辑用语 [综合训练 B 组] 第一章 常用逻辑用语 [提高训练 C 组] 第二章 第二章 第二章 圆锥曲线 圆锥曲线 圆锥曲线 [基础训练 A 组] [综合训练 B 组] [提高训练 C 组]

第三章 导数及其应用 [基础训练 A 组] 第三章 导数及其应用 [综合训

练 B 组] 第三章 导数及其应用 [提高训练 C 组]

(数学选修 1-1)第一章

常用逻辑用语

[基础训练 A 组] 一、选择题
1.下列语句中是命题的是( ) B. sin 450 ? 1

A.周期函数的和是周期函数吗? C. x 2 ? 2 x ? 1 ? 0

D.梯形是不是平面图形呢?

2.在命题“若抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的开口向下,则 ? x | ax 2 ? bx ? c ? 0? ? ? ”的逆命题、否命题、 逆否命题中结论成立的是( A.都真 B.都假 ) C.否命题真 D.逆否命题真 ②a ? b ? 0是 )
1 1 ? 的充要条件. a b

3.有下述说法:① a ? b ? 0 是 a 2 ? b 2 的充要条件.

③ a ? b ? 0 是 a 3 ? b3 的充要条件.则其中正确的说法有( A. 0 个 B. 1 个 ) C. 2 个

D. 3 个

4.下列说法中正确的是(

A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B.“ a ? b ”与“ a ? c ? b ? c ”不等价 C.“ a 2 ? b2 ? 0 ,则 a , b 全为 0 ”的逆否命题是“若 a , b 全不为 0 , 则 a 2 ? b2 ? 0 ” D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 5.若 A : a ? R, a ? 1 , B : x 的二次方程 x2 ? (a ? 1) x ? a ? 2 ? 0 的一个根大于零,另一根小于零,则 A 是 B 的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.充分不必要条件 C.充要条件

6.已知条件 p : x ? 1 ? 2 ,条件 q : 5x ? 6 ? x2 ,则 ? p 是 ? q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

1

C.充要条件 二、填空题

D.既不充分也不必要条件

1.命题:“若 a ? b 不为零,则 a , b 都不为零”的逆否命题是
b 2. A : x1 , x2 是方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实数根; B : x1 ? x2 ? ? ,则 A 是 B 的 a

。 条件。

3.用“充分、必要、充要”填空: ① p ? q 为真命题是 p ? q 为真命题的_____________________条件; ② ? p 为假命题是 p ? q 为真命题的_____________________条件; ③ A : x ? 2 ? 3 , B : x2 ? 4 x ? 15 ? 0 , 则 A 是 B 的___________条件。 4.命题“ ax2 ? 2ax ? 3 ? 0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是_______。 5.“ a ? b ? Z ”是“ x2 ? ax ? b ? 0 有且仅有整数解”的__________条件。 三、解答题 1.对于下述命题 p ,写出“ ? p ”形式的命题,并判断“ p ”与“ ? p ”的真假: (1) p : 91? ( A ? B) (其中全集 U ? N * , A ? ?x | x是质数? , B ? ?x | x是正奇数? ). (2) p : 有一个素数是偶数;. (3) p : 任意正整数都是质数或合数; (4) p : 三角形有且仅有一个外接圆.

2.已知命题 p : 4 ? x ? 6, q : x 2 ? 2x ? 1 ? a 2 ? 0(a ? 0), 若非 p 是 q 的充分不必要条件,求 a 的取值 范围。

3.若 a 2 ? b2 ? c2 ,求证: a, b, c 不可能都是奇数。

2

4.求证:关于 x 的一元二次不等式 ax2 ? ax ? 1 ? 0 对于一切实数 x 都成立的充要条件是 0 ? a ? 4

3

(数学选修 1-1)第一章

常用逻辑用语

[综合训练 B 组] 一、选择题
1.若命题“ p ? q ”为假,且“ ? p ”为假,则( A. p 或 q 为假 B. q 假 ) C. e 是有理数 D. ?x | x是小数?
R

) C. q 真 D.不能判断 q 的真假

2.下列命题中的真命题是( A. 3 是有理数 3.有下列四个命题:

B. 2 2 是实数

①“若 x ? y ? 0 , 则 x, y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q ? 1 ,则 x2 ? 2x ? q ? 0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题; 其中真命题为( A.①② ) C.①③ ) B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D.③④

B.②③
1 ? 1 的( a

4.设 a ? R ,则 a ? 1 是

A.充分但不必要条件 C.充要条件

5.命题:“若 a2 ? b2 ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0 ”的逆否命题是( A.若 a ? b ? 0(a, b ? R) ,则 a 2 ? b2 ? 0 B. 若 a ? b ? 0(a, b ? R) ,则 a 2 ? b2 ? 0 C. 若 a ? 0, 且b ? 0(a, b ? R) ,则 a 2 ? b2 ? 0 D.若 a ? 0, 或b ? 0(a, b ? R) ,则 a 2 ? b2 ? 0 6.若 a, b ? R ,使 a ? b ? 1 成立的一个充分不必要条件是( )

4

A. a ? b ? 1 二、填空题

B. a ? 1

C. a ? 0.5, 且b ? 0.5 D. b ? ?1

1. 有下列四个命题: 其中是真命题的是 ①、命题“若 xy ? 1 ,则 x , y 互为倒数”的逆命题; ②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题;

(填上你认为正确的命题的序号) 。

③、命题“若 m ? 1 ,则 x 2 ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题; ④、命题“若 A ? B ? B ,则 A ? B ”的逆否命题。 2.已知 p, q 都是 r 的必要条件, s 是 r 的充分条件, q 是 s 的充分条件, 则s是q 的 ______条件, r 是 q 的 条件, p 是 s 的 条件. ;

3.“△ ABC 中,若 ?C ? 900 ,则 ?A, ?B 都是锐角”的否命题为 4.已知 ? 、 ? 是不同的两个平面,直线 a ? ? , 直线b ? ? ,命题 p : a与b 无公共点; 命题 q : ? // ? , 则 p是q 的 条件。

5.若“ x ?? 2,5? 或 x ??x | x ? 1或x ? 4? ”是假命题,则 x 的范围是___________。 三、解答题 1.判断下列命题的真假: (1)已知 a, b, c, d ? R, 若 a ? c, 或b ? d , 则a ? b ? c ? d . (3)若 m ? 1, 则方程 x2 ? 2 x ? m ? 0 无实数根。 (2) ?x ? N , x3 ? x2

(4)存在一个三角形没有外接圆。

2.已知命题 p : x 2 ? x ? 6, q : x ? Z 且“ p且q ”与“非 q ”同时为假命题,求 x 的值。

3.已知方程 x2 ? (2k ?1) x ? k 2 ? 0 ,求使方程有两个大于 1 的实数根的充要条件。

5

4.已知下列三个方程: x2 ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0, x2 ? (a ?1) x ? a2 ? 0, x2 ? 2ax ? 2a ? 0 至少有一个方 程有实数根,求实数 a 的取值范围。

6

(数学选修 1-1)第一章

常用逻辑用语

[提高训练 C 组] 一、选择题
1.有下列命题:① 2004 年 10 月 1 日是国庆节,又是中秋节;② 10 的倍数一定是 5 的倍数; ③梯形不是矩形;④方程 x2 ? 1 的解 x ? ?1 。其中使用逻辑联结词的命题有( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 )

2.设原命题:若 a ? b ? 2 ,则 a , b 中至少有一个不小于 1 ,则原命题与其逆命题的真假情况 是( ) B.原命题假,逆命题真 D.原命题与逆命题均为假命题
1 ”的( 2

A.原命题真,逆命题假 C.原命题与逆命题均为真命题 3.在△ ABC 中,“ A ? 30? ”是“ sin A ? A.充分不必要条件 C.充要条件 4.一次函数 y ? ?



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

m 1 x ? 的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是( n n



A. m ? 1, 且n ? 1

B. mn ? 0

C. m ? 0, 且n ? 0

D. m ? 0, 且n ? 0 )

5.设集合 M ? ?x | x ? 2? , P ? ?x | x ? 3? ,那么“ x ? M ,或 x ? P ”是“ x ? M ? P ”的( A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

6.命题 p : 若 a, b ? R ,则 a ? b ? 1 是 a ? b ? 1的充分而不必要条件; 命题 q : 函数 y ? A.“ p 或 q ”为假 二、填空题 1 . 命 题 “ 若 △ ABC 不 是 等 腰 三 角 形 , 则 它 的 任 何 两 个 内 角 不 相 等 ” 的 逆 否 命 题
x ? 1 ? 2 的定义域是 ? ??, ?1? ? ?3, ??? ,则(

) D. p 假 q 真

B.“ p 且 q ”为真

C. p 真 q 假

7

是 2.用充分、必要条件填空:① x ? 1, 且y ? 2 是 x ? y ? 3 的 ② x ? 1, 或y ? 2 是 x ? y ? 3 的 3.下列四个命题中,其中假命题的为



(将你认为是假命题的序号都填上)

①“ k ? 1 ”是“函数 y ? cos2 kx ? sin 2 kx 的最小正周期为 ? ”的充要条件; ②“ a ? 3 ”是“直线 ax ? 2 y ? 3a ? 0 与直线 3x ? (a ? 1) y ? a ? 7 相互垂直”的充要条件;

?4 ③ 函数 y ? x 的最小值为 2 2 x ?3
2

4.已知 ab ? 0 ,则 a ? b ? 1 是 a 3 ? b 3 ? ab ? a 2 ? b 2 ? 0 的__________条件。 5.若关于 x 的方程 x2 ? 2(a ?1) x ? 2a ? 6 ? 0 .有一正一负两实数根,则实数 a 的取值范围_____ 三、解答题 1.写出下列命题的“ ? p ”命题: (1)正方形的四边相等。 (2)平方和为 0 的两个实数都为 0 。 (3)若 ?ABC 是锐角三角形, 则 ?ABC 的任何一个内角是锐角。 (4)若 abc ? 0 ,则 a, b, c 中至少有一个为 0 。 (5)若 ( x ?1)( x ? 2) ? 0, 则x ? 1且x ? 2 。

2.已知 p : 1 ?

x ?1 ? 2 ; q : x 2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) 若 ? p 是 ? q 的必要非充分条件,求实 3

数 m 的取值范围。

3.设 0 ? a, b, c ? 1,求证: (1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a 不同时大于

1 . 4

8

4.命题 p : 方程 x2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的正实数根, 命题 q : 方程 4x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实数根。若“ p 或 q ”为真命题,求 m 的取值范围。

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(数学选修 1-1)第二章
[基础训练 A 组] 一、选择题
1.已知椭圆 ( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 7

圆锥曲线

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为 25 16

2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18 ,焦距为 6 ,则椭圆的方程为( A.
x2 y2 ? ?1 9 16 x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25



B.

x2 y2 ? ?1 25 16

C.

D.以上都不对 )

3.动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线

4.设双曲线的半焦距为 c ,两条准线间的距离为 d ,且 c ? d ,那么双曲线的离心率 e 等于 ( ) A. 2 B. 3 C. 2 ) D. 3

5.抛物线 y 2 ? 10x 的焦点到准线的距离是( A.
5 2

B. 5

C.

15 2

D. 10 ) 。

6.若抛物线 y 2 ? 8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为( A. (7, ? 14) B. (14, ? 14) C. (7, ?2 14) D. (?7, ?2 14)

二、填空题 1.若椭圆 x2 ? my 2 ? 1 的离心率为
3 ,则它的长半轴长为_______________. 2

10

2.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________。 3.若曲线
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4 ? k 1? k



4.抛物线 y 2 ? 6x 的准线方程为_____. 5.椭圆 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ? 三、解答题 1. k 为何值时,直线 y ? kx ? 2 和曲线 2x2 ? 3 y 2 ? 6 有两个公共点?有一个公共点? 没有公共点? 。

2.在抛物线 y ? 4x2 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。

3. 双曲线与椭圆有共同的焦点 F1 (0, ?5), F2 (0,5) , P( ,4 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交 点 3) 点,求渐近线与椭圆的方程。

x2 y 2 4.若动点 P( x, y ) 在曲线 ? 2 ? 1(b ? 0) 上变化,则 x2 ? 2 y 的最大值为多少? 4 b

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(数学选修 1-1)第二章
[综合训练 B 组] 一、选择题

圆锥曲线

1.如果 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A. ?0,??? B. ?0,2? C. ?1,??? D. ?0,1? )



x2 y2 ? ? 1 的顶点为顶点,离心率为 2 的双曲线方程( 2.以椭圆 25 16

A.

x2 y2 ? ?1 16 48 x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 16 48 9 27

B.

x2 y2 ? ?1 9 27

C.

D.以上都不对

3.过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ , F1 是另一焦点,若∠ PF1Q ? 线的离心率 e 等于( A. 2 ? 1 4. F1 , F2 是椭圆 面积为( A. 7 B. 2 ) C. 2 ? 1 D. 2 ? 2

?
2

,则双曲

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, A 为椭圆上一点,且∠ AF F2 ? 450 ,则 Δ AF1F2 的 1 9 7

) B.

7 4

C.

7 2

D.

7 5 2

5.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的抛物线的方程 是( ) A. y ? 3x 2 或 y ? ?3x 2 C. y 2 ? ?9x 或 y ? 3x 2 B. y ? 3x 2 D. y ? ?3x 2 或 y 2 ? 9 x )

6.设 AB 为过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的弦,则 AB 的最小值为( A.
p 2

B. p

C. 2 p

D.无法确定

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二、填空题 1.椭圆
1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 的值为______________。 2 k ?8 9

2.双曲线 8kx2 ? ky 2 ? 8 的一个焦点为 (0,3) ,则 k 的值为______________。 3.若直线 x ? y ? 2 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的中点坐标是______。 4.对于抛物线 y 2 ? 4x 上任意一点 Q ,点 P(a, 0) 都满足 PQ ? a ,则 a 的取值范围是____。
x2 y2 3 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 5.若双曲线 x ,则双曲线的焦点坐标是_________. 4 m 2

6.设 AB 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的不垂直于对称轴的弦, M 为 AB 的中点, O 为坐标原点, a 2 b2

则 k AB ? kOM ? ____________。 三、解答题 1.已知定点 A(?2, 3) , F 是椭圆 取得最小值。
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,在椭圆上求一点 M ,使 AM ? 2MF 16 12

2. k 代表实数,讨论方程 kx2 ? 2 y 2 ? 8 ? 0 所表示的曲线

3.双曲线与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求其方程。 27 36

4.已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 , 求抛物线的方程。
13

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(数学选修 1-1)第二章
[提高训练 C 组] 一、选择题

圆锥曲线

1.若抛物线 y 2 ? x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标为(
1 2 A. ( , ? ) 4 4 1 2 B. ( , ? ) 8 4 1 2 C. ( , ) 4 4 1 2 D. ( , ) 8 4



x2 y2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、 F2 的连线互相垂直,则△ PF1 F2 的面积为 2.椭圆 49 24



) A. 20 B. 22 C. 28 D. 24

F 3. 若点 A 的坐标为 (3, 2) , 是抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点, M 在抛物线上移动时, MF ? MA 点 使

取得最小值的 M 的坐标为( A. ?0,0?
?1 ? B. ? ,1? ?2 ?

) C. 1, 2

?

?

D. ?2,2?

4.与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 共焦点且过点 Q(2,1) 的双曲线方程是( 4


y2 ?1 2

A.

x2 ? y2 ? 1 2

B.

x2 ? y2 ? 1 4

C.

x2 y2 ? ?1 3 3

D. x 2 ?

5.若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点,那么 k 的取值范围是( A. ? (
15 15 ) , 3 3



B. 0, (

15 ) 3

C. ? (

15 ,0 ) 3

D. ? (

15 ,?1 ) 3

1 6.抛物线 y ? 2x 2 上两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 关于直线 y ? x ? m 对称,且 x1 ? x 2 ? ? ,则 m 2

等于( A.
3 2

) B. 2 C.
5 2

D. 3

二、填空题 1.椭圆
x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 、 F2 ,点 P 为其上的动点,当∠ F1 P F2 为钝角时,点 P 横坐标的 9 4
15

取值范围是



2.双曲线 tx2 ? y 2 ? 1 的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则这双曲线的离心率为___。 3.若直线 y ? kx ? 2 与抛物线 y 2 ? 8x 交于 A 、 B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标是 2 ,则

AB ? ______。
4.若直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x2 ? y 2 ? 4 始终有公共点,则 k 取值范围是 5.已知 A(0, ?4), B(3, 2) ,抛物线 y 2 ? 8x 上的点到直线 AB 的最段距离为__________。 三、解答题 1.当 ?从00 到1800 变化时,曲线 x2 ? y 2 cos ? ? 1怎样变化? 。

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 ?F1PF2 ? 600 , 2.设 F1 , F2 是双曲线 9 16

求△ F1PF2 的面积。

3.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , A 、 B 是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴 a2 b2 a2 ? b2 a2 ? b2 ? x0 ? . a a

相交于点 P( x0 ,0) .证明: ?

4.已知椭圆 对称。

x2 y 2 ? ? 1 ,试确定 m 的值,使得在此椭圆上存在不同两点关于直线 y ? 4 x ? m 4 3

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(数学选修 1-1)第三章
[基础训练 A 组]
一、选择题

导数及其应用

1. 若函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内可导, x0 ? (a, b) 则 lim 且
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) 的值为 ( h



A. f ' ( x0 )

B. 2 f ' ( x0 )

C. ?2 f ' ( x0 )

D. 0

2.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 2 其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末的 瞬时速度是( A. 7 米/秒 ) B. 6 米/秒 ) C. (??,??) )
10 3

C. 5 米/秒

D. 8 米/秒

3.函数 y = x3 + x 的递增区间是( A. (0,??) B. (??,1)

D. (1,??)

4. f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 ,若 f ' (?1) ? 4 ,则 a 的值等于( A.
19 3

B.

16 3

C.

13 3

D.

5.函数 y ? f (x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f (x) 在这点取极值的( A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件



D.必要非充分条件 ) D. 0

6.函数 y ? x 4 ? 4x ? 3 在区间 ? ?2,3? 上的最小值为( A. 72 B. 36 C. 12

二、填空题 1.若 f ( x) ? x3 , f ' ( x0 ) ? 3 ,则 x0 的值为_________________; 2.曲线 y ? x 3 ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________; 3.函数 y ?
sin x 的导数为_________________; x

4.曲线 y ? ln x 在点 M (e,1) 处的切线的斜率是_________,切线的方程为_______________; 5.函数 y ? x 3 ? x 2 ? 5x ? 5 的单调递增区间是___________________________。

17

三、解答题 1.求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 5 相切的直线方程。

2.求函数 y ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) 的导数。

3.求 函 数 f ( x) ? x5 ? 5 x4 ? 5 x3 ? 1 在区间 ?? 1,4? 上的最大值与最小值。

4.已知函数 y ? ax3 ? bx2 ,当 x ? 1 时,有极大值 3 ; (1)求 a , b 的值; (2)求函数 y 的极小值。

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(数学选修 1-1)第三章
[综合训练 B 组] 一、选择题
1.函数 y = x3 - 3x2 - 9x (- 2 < x < 2)有( A.极大值 5 ,极小值 ?27 C.极大值 5 ,无极小值 2.若 f ' ( x0 ) ? ?3 ,则 lim
h ?0

导数及其应用



B.极大值 5 ,极小值 ?11 D.极小值 ?27 ,无极大值 )

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ?( h

A. ?3

B. ?6

C. ?9

D. ?12 )

3.曲线 f ( x) = x3 + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1,则 p0 点的坐标为( A. (1, 0) C. (1, 0) 和 (?1, ?4) B. (2,8) D. (2,8) 和 (?1, ?4)

4.f ( x) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数, f ( x) , g ( x) 满足 f ' ( x) ? g ' ( x) ,则 f ( x) 与 g ( x) 若 满足( ) B. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 D. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 ) D. (1,??)

A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x) ? 0 5.函数 y ? 4 x 2 ? A. (0,??) 6.函数 y ? A. e ?1 二、填空题

1 单调递增区间是( x

B. (??,1) )

1 C. ( ,?? ) 2

ln x 的最大值为( x

B. e

C. e 2

D.

10 3

? 1.函数 y ? x ? 2cos x 在区间 [0, ] 上的最大值是 2



2.函数 f ( x) ? x3 ? 4x ? 5 的图像在 x ? 1 处的切线在 x 轴上的截距为________________。

19

3.函数 y ? x 2 ? x 3 的单调增区间为

,单调减区间为___________________。 。

4.若 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 在 R 增函数,则 a, b, c 的关系式为是 5.函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 , 在 x ? 1 时有极值 10 ,那么 a, b 的值分别为________。 三、解答题 1.已知曲线 y ? x 2 ? 1 与 y ? 1 ? x 3 在 x ? x0 处的切线互相垂直,求 x0 的值。

2.如图,一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成 一个无盖的小盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子容积最大?

3. 已知 f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c 的图象经过点 (0,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程是 y ? x ? 2 (1)求 y ? f (x) 的解析式; (2)求 y ? f (x) 的单调递增区间。

? 1 3 ? 4.平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( , ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? x ? a ? (t 2 ? 3)b , y ? ?ka ? tb , 且 x ? y ,试确定函数 k ? f (t ) 的单调区间。

20

(数学选修 1-1) 第一章
[提高训练 C 组]
一、选择题 1.若 f ( x) ? sin ? ? cos x ,则 f ' (? ) 等于( A. sin ? B. cos? )

导数及其应用

C. sin ? ? cos ?

D. 2 sin ? )

2.若函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ' ( x) 的图象是(

3.已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是( A. (??,? 3] ? [ 3,??) C. (??,? 3) ? ( 3,??) B. [? 3, 3] D. (? 3, 3) )



4.对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 ( x ?1) f ' ( x) ? 0 ,则必有( A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

5.若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( A. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0



D. x ? 4 y ? 3 ? 0

6.函数 f (x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?(x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f (x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 )
y

y ? f ?(x)

D. 4 个

b

a
二、填空题

O

x

21

1.若函数 f ( x ) = x ( x - c ) 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为_________;
2

2.函数 y ? 2 x ? sin x 的单调增区间为



3.设函数 f ( x) ? cos( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,若 f ( x) ? f ?( x) 为奇函数,则 ? =__________
1 4.设 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? 5 ,当 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? m 恒成立,则实数 m 的取值范围为 2


? a ? 5. 对正整数 n , 设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an , 则数列 ? n ? ? n ? 1?

的前 n 项和的公式是 三、解答题 1.求函数 y ? (1 ? cos 2 x)3 的导数。

2.求函数 y ? 2x ? 4 ? x ? 3 的值域。

2 3.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? 与 x ? 1 时都取得极值 3

(1)求 a , b 的值与函数 f ( x) 的单调区间 (2)若对 x ?[?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围。

x 2 ? ax ? b 4. 已知 f ( x) ? log 3 , x ? (0, ??) , 是否存在实数 a、 b ,使 f (x) 同时满足下列两个条件: x

(1) f (x) 在 (0,1) 上是减函数,在 ?1, ?? ? 上是增函数; (2) f (x) 的最小值是 1 ,

22

若存在,求出 a、 b ,若不存在,说明理由.

23

新课程高中数学训练题组参考答案
(数学选修 1-1) 第一章 常用逻辑用语
一、选择题 1.B 可以判断真假的陈述句 2.D 原命题是真命题,所以逆否命题也为真命题 3.A ① a ? b ? 0 ? a ? b ,仅仅是充分条件
2 2

[基础训练 A 组]

②a ?b ? 0?

1 1 3 3 ? ,仅仅是充分条件;③ a ? b ? 0 ? a ? b ,仅仅是充分条件 a b

4.D 否命题和逆命题是互为逆否命题,有着一致的真假性 5.A 6.A

A : a ? R, a ? 1 ? a ? 2 ? 0 ,充分,反之不行 ?p : x ?1 ? 2, ?3 ? x ? 1 , ?q : 5x ? 6 ? x2 , x2 ? 5x ? 6 ? 0, x ? 3, 或x ? 2
?p ? ?q ,充分不必要条件

二、填空题 1.若 a , b 至少有一个为零,则 a ? b 为零 2.充分条件

A? B

3.必要条件;充分条件;充分条件, A : ?1 ? x ? 5, B : 2 ? 19 ? x ? 2 ? 19, A ? B 4. [?3, 0]

a x2 ? 2 a x 3 ? 0 ? 恒成立,当 a ? 0 时, ?3 ? 0 成立;当 a ? 0 时,

?a ? 0 得 ?3 ? a ? 0 ;??3 ? a ? 0 ? 2 ?? ? 4a ? 12a ? 0
5.必要条件 左到右来看:“过不去”,但是“回得来” 三、解答题 1.解: (1) ?p : 91? A, 或91? B ; p 真, ? p 假; (2) ?p : 每一个素数都不是偶数; p 真, ? p 假; (3) ?p : 存在一个正整数不是质数且不是合数; p 假, ? p 真;

24

(4) ?p : 存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆。 2.解: ?p : 4 ? x ? 6, x ? 10, 或x ? ?2, A ? x | x ? 10, 或x ? ?2

?

?

q : x2 ? 2x ?1? a2 ? 0,x ? 1? a, 或x ? 1? a, 记B ? ?x | x ? 1? a, 或x ? 1? a?
而 ?p ? q,? A

?1 ? a ? ?2 ? B ,即 ?1 ? a ? 10 ,? 0 ? a ? 3 。 ?a ? 0 ?

3.证明:假设 a, b, c 都是奇数,则 a 2 , b2 , c 2 都是奇数 得 a ? b 为偶数,而 c 为奇数,即 a ? b ? c ,与 a ? b ? c 矛盾
2 2 2 2 2 2 2 2 2

所以假设不成立,原命题成立 4.证明: ax2 ? ax ? 1 ? 0(a ? 0) 恒成立 ? ?

?a ? 0
2 ? ? ? a ? 4a ? 0

?0?a?4

(数学选修 1-1) 第一章 常用逻辑用语
一、选择题

[综合训练 B 组]

1.B “ ? p ”为假,则 p 为真,而 p ? q (且)为假,得 q 为假 2.B

2 2 属于无理数指数幂,结果是个实数; 3 和 e 都是无理数; ?x | x是小数? ? R

3.C 若 x ? y ? 0 , 则 x , y 互为相反数,为真命题,则逆否命题也为真; “全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等相等” 为假命题; 若 q ? 1 ? 4 ? 4q ? 0, 即 ? ? 4 ? 4q ? 0 ,则 x2 ? 2x ? q ? 0 有实根,为真命题 4.A 5.D

a ?1?

1 ? 1 ,“过得去”;但是“回不来”,即充分条件 a

a ? 0, b ? 0 a ? 0, b ? 0 a ? 0, b ? 0 a ? 0, b ? 0 其中之一 的否定是 另外三个

a ? b ? 0 的否定为 a , b 至少有一个不为 0

6.D 当 a ? 1, b ? 0 时,都满足选项 A, B ,但是不能得出 a ? b ? 1 当 a ? 0.5, b ? 0.5 时,都满足选项 C ,但是不能得出 a ? b ? 1 二、填空题 1.①,②,③

A ? B ? B,应该得出 B ? A

25

2.充要,充要,必要
0

q ? s ? r ? q, q ? s; r ? q ? s ? r , r ? q; s ? r ? p
条件和结论都否定

3.若 ?C ? 90 ,则 ?A, ?B 不都是锐角 4.必要 5. ?1, 2 ? 三、解答题

q? p

从 p 到 q ,过不去,回得来

? x ? 2, 或x ? 5 x ?? 2 , 5和 x ??x | x ? 1或x ? 4? 都是假命题,则 ? ? ?1 ? x ? 4

1.解: (1)为假命题,反例: 1 ? 4,或5 ? 2,而1 ? 5 ? 4 ? 2 (2)为假命题,反例: x ? 0, x3 ? x2 不成立 (3)为真命题,因为 m ? 1 ?? ? 4 ? 4m ? 0 ? 无实数根

(4)为假命题,因为每个三角形都有唯一的外接圆。 2.解:非 q 为假命题,则 q 为真命题; p且q 为假命题,则 p 为假命题,即

? x2 ? x ? 6 ? 0 ? x ? x ? 6, 且x ? Z ,得 ? 2 , ?2 ? x ? 3, x ? Z ?x ? x ? 6 ? 0 ?
2

? x ? ?1,0,1, 或2
3.解:令 f ( x) ? x2 ? (2k ? 1) x ? k 2 ,方程有两个大于 1 的实数根

? ? ? (2k ? 1) 2 ? 4k 2 ? 0 ? 1 ? 2k ? 1 ? ?? ?1 即0 ? k ? 4 2 ? ? f (1) ? 0 ? 1 所以其充要条件为 0 ? k ? 4
4 . 解 : 假 设 三 个 方 程 : x ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0, x ? (a?) x ? a ? 0, x ? 2ax ? 2a ? 0 都 没 有 实 数 根 , 则
2 2 2 2

1 ? 3 ?? 2 ? a ? 2 ??1 ? (4a)2 ? 4(?4a ? 3) ? 0 ? ? 1 3 ? 2 2 ,即 ? a ? , 或a ? ?1 ,得 ? ? a ? ?1 ?? 2 ? (a ? 1) ? 4a ? 0 3 2 ? ? ?1 ? (2a)2 ? 4(?2a) ? 0 ??2 ? a ? 0 ? ? ?

26

3 ? a ? ? , 或a ? ?1。 2

(数学选修 1-1) 第一章 常用逻辑用语
一、选择题 1.C 2. A ①中有“且”;②中没有;③中有“非”;④ 中有“或”

[提高训练 C 组]

因为原命题若 a ? b ? 2 , a , b 中至少有一个不小于 1 的逆否命题为,若 a , b 都小于1 ,则 a ? b ? 2 显 则

然为真,所以原命题为真;原命题若 a ? b ? 2 ,则 a , b 中至少有一个不小于 1 的逆命题为,若 a , b 中至少有 一个不小于 1 ,则 a ? b ? 2 ,是假命题,反例为 a ? 1.2, b ? 0.3
0 3.B 当 A ? 170 时, sin170 ? sin10 ?
0 0

1 ,所以“过不去”;但是在△ ABC 中, 2

1 ? 300 ? A ? 1500 ? A ? 300 ,即“回得来” 2 m 1 4.B 一次函数 y ? ? x ? 的图象同时经过第一、三、四象限 n n m 1 ? ? ? 0, 且 ? 0 ? m ? 0, 且n ? 0 ? mn ? 0 ,但是 mn ? 0 不能推导回来 n n sin A ?
5.A “ x ? M ,或 x ? P ”不能推出“ x ? M ? P ”,反之可以 6.D 当 a ? ?2, b ? 2 时,从 a ? b ? 1 不能推出 a ? b ? 1,所以 p 假, q 显然为真 二、填空题 1.若△ ABC 的两个内角相等,则它是等腰三角形 2.既不充分也不必要,必要 ①若 x ? 1.5, 且y ? 1.5 ? x ? y ? 3 , 1 ? 4 ? 3, 而x ? 1

② x ? 1, 或y ? 2 不能推出 x ? y ? 3 的反例为若 x ? 1.5, 且y ? 1.5 ? x ? y ? 3 ,

x ? y ? 3 ? x ? 1, 或y ? 2 的证明可以通过证明其逆否命题 x ? 1, 且y ? 2 ? x ? y ? 3
3.①,②,③
2 2 2 ①“ k ? 1 ”可以推出“函数 y ? cos kx ? sin kx 的最小正周期为 ? ”

但是函数 y ? cos kx ? sin kx 的最小正周期为 ? ,即 y ? cos 2kx, T ?
2

2? ? ? , k ? ?1 2k

② “ a ? 3 ”不能推出“直线 ax ? 2 y ? 3a ? 0 与直线 3x ? (a ? 1) y ? a ? 7 相互垂直” 反之垂直推出 a ?
2 2 2 1 x ?4 x ? 3 ?1 ;③ 函数 y ? 的最小值为 2 ? ? x2 ? 3 ? 2 2 2 5 x ?3 x ?3 x ?3

27

令 x 2 ? 3 ? t , t ? 3, ymin ? 3 ?

1 4 3 ? 3 3

4.充要 5. (??, ?3) 三、解答题

a3 ? b3 ? ab ? a2 ? b2 ? (a ? b ? 1)(a2 ? ab ? b2 )
2a ? 6? 0

1.解(1)存在一个正方形的四边不相等; (2)平方和为 0 的两个实数不都为 0 ; (3)若 ?ABC 是锐角三角形, 则 ?ABC 的某个内角不是锐角。 (4)若 abc ? 0 ,则 a, b, c 中都不为 0 ; (5)若 ( x ?1)( x ? 2) ? 0, 则x ? 1或x ? 2 。 2.解: ?p : 1 ?

x ?1 ? 2, x ? ?2, 或x ? 10, A ? ?x | x ? ?2, 或x ? 10? 3

?q : x2 ? 2x ?1? m2 ? 0, x ? 1? m, 或x ? 1? m, B ? ?x | x ? 1? m, 或x ? 1? m?

? ? p 是 ? q 的必要非充分条件,? B

A ,即 ?

?1 ? m ? ?2 ? m ? 9,? m ? 9 。 ?1 ? m ? 10

3.证明:假设 (1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a 都大于

1 1 1 ,即 (1 ? a )b ? , (1 ? b)c ? , 4 4 4 1 1? a ? b 1 1? b ? c 1 (1 ? c)a ? ,而 ? (1 ? a)b ? , ? (1 ? b)c ? , 4 2 2 2 2 1? c ? a 1 1? a ? b 1? b ? c 1? c ? a 3 ? (1 ? c) a ? , 得 ? ? ? 2 2 2 2 2 2 3 3 即 ? ,属于自相矛盾,所以假设不成立,原命题成立。 2 2

4.解:“ p 或 q ”为真命题,则 p 为真命题,或 q 为真命题,或 q 和 p 都是真命题

?? ? m 2 ? 4 ? 0 ? 当 p 为真命题时,则 ? x1 ? x2 ? ? m ? 0 ,得 m ? ?2 ; ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2
当 q 为真命题时,则 ? ? 16(m ? 2) ?16 ? 0, 得 ? 3 ? m ? ?1
2

当 q 和 p 都是真命题时,得 ?3 ? m ? ?2

? m ? ?1

(数学选修 1-1) 第二章 圆锥曲线
28

[基础训练 A 组]

一、选择题 1.D 点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a ? 10,10 ? 3 ? 7 2.C

2a ? 2b ? 18, a ? b ? 9, 2c ? 6, c ? 3, c2 ? a2 ? b2 ? 9, a ? b ? 1
得 a ? 5, b ? 4 ,?

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25

3.D

PM ? PN ? 2, 而MN ? 2 ,? P 在线段 MN 的延长线上
2a 2 c2 2 2 2 ? c, c ? 2a , e ? 2 ? 2, e ? 2 c a
2 p ? 10, p ? 5 ,而焦点到准线的距离是 p

4.C

5.B

6.C 点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x ? ?2 的距离,得 xP ? 7, y p ? ?2 14 二、填空题

1. 1, 或2

x2 y 2 ? ? 1, a ? 1 ; 当 m ? 1 时, 1 1 m

当 0 ? m ? 1 时,

y 2 x2 a 2 ? b2 3 1 1 ? ? 1, e 2 ? ? 1 ? m ? , m ? , a 2 ? ? 4, a ? 2 2 1 1 a 4 4 m m
设双曲线的方程为 x ? 4 y ? ?,(? ? 0) ,焦距 2c ? 10, c ? 25
2 2 2

2.

x2 y 2 ? ? ?1 20 5

当 ? ? 0 时,

x2

?

?

y2

?

? 1, ? ?

?
4

? 25, ? ? 20 ;

4
当 ? ? 0 时,

y2 ?

?
4

?

x2 ? ? 1, ?? ? (? ) ? 25, ? ? ?20 ?? 4

3. (??, ?4) ? (1, ??) 4. x ? ?

( 4? k ) ( ? k ? 1 )
p 3 ?? 2 2

0, ? k (

k ) ( ?1 )k ? , 4? 或 0

k 1, ? ?

4

3 2

2 p ? 6 ,p ? 3 ,? ? x

5. 1

焦点在 y 轴上,则

y2 x2 5 ? ? 1, c 2 ? ? 1 ? 4, k ? 1 5 1 k k
29

三、解答题 1.解:由 ?

? y ? kx ? 2 ?2 x ? 3 y ? 6
2 2

,得 2 x2 ? 3(kx ? 2)2 ? 6 ,即 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 12kx ? 6 ? 0

? ? 144k 2 ? 24(2 ? 3k 2 ) ? 72k 2 ? 48
当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 k ?
2

6 6 时,直线和曲线有两个公共点; , 或k ? ? 3 3 6 6 时,直线和曲线有一个公共点; , 或k ? ? 3 3

当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 k ?
2

当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 ?
2

6 6 时,直线和曲线没有公共点。 ?k? 3 3

2.解:设点 P(t , 4t ) ,距离为 d , d ?
2

4t ? 4t 2 ? 5 17

?

4t 2 ? 4t ? 5 17

当t ?

1 1 时, d 取得最小值,此时 P ( ,1) 为所求的点。 2 2

3.解:由共同的焦点 F (0, ?5), F2 (0,5) ,可设椭圆方程为 1

y2 x2 ? 2 ? 1; a 2 a ? 25

双曲线方程为

16 9 y2 x2 ? 1, a 2 ? 40 ? ? 1 ,点 P(3, 4) 在椭圆上, 2 ? 2 2 2 a a ? 25 b 25 ? b

双曲线的过点 P(3, 4) 的渐近线为 y ?

b 25 ? b
2

x ,即 4 ?

b 25 ? b
2

? 3, b2 ? 16

所以椭圆方程为

y 2 x2 y 2 x2 ? ? 1 ;双曲线方程为 ? ? 1 40 15 16 9

4.解:设点 P(2cos ? , b sin ? ) , x2 ? 2 y ? 4cos2 ? ? 2b sin ? ? ?4sin 2 ? ? 2b sin ? ? 4
2 2 令 T ? x ? 2 y,sin ? ? t ,(?1 ? t ? 1) , T ? ?4t ? 2bt ? 4,(b ? 0) ,对称轴 t ?

b 4



b b ? 1, 即b ? 4 时, Tmax ? T |t ?1 ? 2b ;当 0 ? ? 1, 即0 ? b ? 4 时, 4 4

Tmax

b2 ?T | b? ?4 t? 4 4

? b2 ? ? ?4, 0 b? 4 ? ( x 2 ? 2y m a x? ? 4 ) ?2b ,b ? 4 ?

(数学选修 1-1) 第二章 圆锥曲线
30

[综合训练 B 组]

一、选择题 1.D 焦点在 y 轴上,则

y2 x2 2 ? ? 1, ? 2 ? 0 ? k ? 1 2 2 k k

2.C 当顶点为 (?4, 0) 时, a ? 4, c ? 8, b ? 4 3,

x2 y 2 ? ? 1; 16 48

y 2 x2 ? ?1 当顶点为 (0, ?3) 时, a ? 3, c ? 6, b ? 3 3, 9 27
3.C Δ PF F2 是等腰直角三角形, PF2 ? F F2 ? 2c, PF ? 2 2c 1 1 1

PF1 ? PF2 ? 2a, 2 2c ? 2c ? 2a, e ?
4.C

c 1 ? ? 2 ?1 a 2 ?1

F1F2 ? 2 2, AF1 ? AF2 ? 6, AF2 ? 6 ? AF1
2 2 A F2 ? A F ? F F ? 2 1 1 2 2 0 A1F 1F 2Fs 4 5 ? ? co 2 A? 4 1F

AF ? 1 8

7 (6 ? AF1 ) 2 ? AF12 ? 4 AF1 ? 8, AF1 ? , 2

1 7 2 7 S ? ? ?2 2? ? 2 2 2 2
5.D 圆心为 (1, ?3) ,设 x ? 2 py, p ? ? , x ? ?
2 2

1 6

1 y; 3

9 2 , y ? 9x 2 p 6.C 垂直于对称轴的通径时最短,即当 x ? , y ? ? p, AB min ? 2 p 2
设 y ? 2 px, p ?
2

二、填空题 1. 4, 或 ?

5 4

当 k ? 8 ? 9 时, e ?
2

c2 k ? 8 ? 9 1 ? ? ,k ? 4 ; a2 k ?8 4 c2 9 ? k ? 8 1 5 ? ? ,k ? ? 2 a 9 4 4

当 k ? 8 ? 9 时, e ?
2

2. ?1

y2 x2 8 1 ? ? 1, ? ? (? ) ? 9, k ? ?1 焦点在 y 轴上,则 8 1 k k ? ? k k

31

3. (4, 2)

? y2 ? 4x 2 , x ? 8x ? 4 0 1 ? x 2 ? ? x, ? ?y ? x ? 2
中点坐标为 (

y 1 y ? x ?1 x ?2 ? 4 8 ,? 2

4

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) ? (4, 2) 2 2

4. ? ??, 2?

设 Q(

t2 t2 , t ) ,由 PQ ? a 得 ( ? a)2 ? t 2 ? a 2 , t 2 (t 2 ? 16 ? 8a) ? 0, 4 4

t 2 ? 16 ? 8a ? 0, t 2 ? 8a ?16 恒成立,则 8a ? 16 ? 0, a ? 2
5. (? 7,0) 渐近线方程为 y ? ?

m x ,得 m ? 3, c ? 7 ,且焦点在 x 轴上 2
x1 ? x2 y1 ? y2 y ?y , ) ,得 k AB ? 2 1 , 2 2 x2 ? x1

6. ?

b2 a2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则中点 M (

kOM

y2 ? y1 y22 ? y12 , k AB ? kOM ? 2 , b2 x12 ? a2 y12 ? a2b2 , ? 2 x2 ? x1 x2 ? x1

b2 x22 ? a2 y22 ? a2b2 , 得 b2 ( x22 ? x12 ) ? a2 ( y22 ? y12 ) ? 0, 即
三、解答题

y2 2 ? y12 b2 ?? 2 x2 2 ? x12 a

1.解:显然椭圆

1 x2 y 2 ? ? 1 的 a ? 4, c ? 2, e ? ,记点 M 到右准线的距离为 MN 2 16 12



1 ? e ? , MN ? 2 MF ,即 AM ? 2 MF ? AM ? MN MN 2

MF

当 A, M , N 同时在垂直于右准线的一条直线上时, AM ? 2 MF 取得最小值, 此时 M y ? Ay ? 3 ,代入到

x2 y 2 ? ? 1 得 M x ? ?2 3 16 12

而点 M 在第一象限,? M (2 3, 3) 2.解:当 k ? 0 时,曲线

y2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴的双曲线; 4 ?8 k

2 当 k ? 0 时,曲线 2 y ? 8 ? 0 为两条平行的垂直于 y 轴的直线;

当 0 ? k ? 2 时,曲线

x2 y2 ? ? 1 为焦点在 x 轴的椭圆; 8 4 k
32

当 k ? 2 时,曲线 x2 ? y 2 ? 4 为一个圆; 当 k ? 2 时,曲线

y 2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴的椭圆。 8 4 k

3.解:椭圆

y 2 x2 y2 x2 ? ? 1 的焦点为 (0, ?3), c ? 3 ,设双曲线方程为 2 ? ?1 36 27 a 9 ? a2
16 15 ? ? 1 ,得 a 2 ? 4, 或36 ,而 a 2 ? 9 , 2 2 a 9?a

过点 ( 15, 4) ,则

y 2 x2 ? a ? 4 ,双曲线方程为 ? ? 1 。 4 5
2

4.解:设抛物线的方程为 y 2 ? 2 px ,则 ?

? y 2 ? 2 px ? y ? 2x ?1

, 消去 y 得

4 x 2 ? (2 p ? 4) x ? 1 ? 0, x1 ? x2 ?

p?2 1 , x1 x2 ? 2 4

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 (

p?2 2 1 ) ? 4 ? ? 15 , 2 4



p2 ? p ? 3, p 2 ? 4 p ? 12 ? 0, p ? ?2, 或6 4

? y 2 ? ?4x,或y 2 ? 12x

(数学选修 1-1) 第二章 圆锥曲线
一、选择题

[提高训练 C 组]

1.B 点 P 到准线的距离即点 P 到焦点的距离,得 PO ? PF ,过点 P 所作的高也是中线

1 2 1 2 ? Px ? ,代入到 y 2 ? x 得 Py ? ? ,? P( , ? ) 8 4 8 4
2.D

PF1 ? PF2 ? 14,(PF1 ? PF2 )2 ? 196, PF12 ? PF22 ? (2c)2 ? 100 ,相减得
1 2 P F ? P F ? 9 6 , S? 1 2 2 P1 F P F 2 4 ? 2 ?

3.D

MF 可以看做是点 M 到准线的距离,当点 M 运动到和点 A 一样高时, MF ? MA 取得最小值,即
M y ? 2 ,代入 y 2 ? 2 x 得 M x ? 2

4.A

且焦点在 x 轴上,可设双曲线方程为 c2 ? 4 ?1 c ? 3, ,

x2 y2 ? ? 1过点 Q(2,1) a2 3 ? a2

33

4 1 x2 2 得 2? ? 1 ? a ? 2, ? y 2 ? 1 2 a 3? a 2
5.D

? x2 ? y 2 ? 6 2 , x ? ( kx ? 2) 2 ? 6, (1 ? k 2 ) x 2 ? 4kx ? 10 ? 0 有两个不同的正根 ? y ? kx ? 2 ?

? 2 ?? ? 40 ? 24k ? 0 ? 15 4k 2 ? 则 ? x1 ? x2 ? ? k ? ?1 ? 0, 得 ? 2 3 1? k ? ?10 ? ? x1 x2 ? 1 ? k 2 ? 0 ?
6.A

k AB ?

x ?x y ?y y2 ? y1 1 ? ?1, 而y2 ? y1 ? 2( x2 2 ? x12 ), 得x2 ? x1 ? ? ,且( 2 1 , 2 1 ) 2 2 x2 ? x1 2 y2 ? y1 x2 ? x1 ? ? m, y2 ? y1 ? x2 ? x1 ? 2m 2 2 3 2

在直线 y ? x ? m 上,即

2( x2 2 ? x12 ) ? x2 ? x1 ? 2m, 2[( x2 ? x1 ) 2 ? 2 x2 x1 ] ? x2 ? x1 ? 2m, 2m ? 3, m ?
二、填空题 1. (?

3 5 3 5 , ) 可以证明 PF1 ? a ? ex, PF2 ? a ? ex, 且 PF12 ? PF22 ? F1F22 5 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 ,则 (a ? ex) ? (a ? ex) ? (2c) , 2a ? 2e x ? 20, e x ? 1 3

而 a ? 3, b ? 2, c ? 5, e ?

x2 ?

1 1 1 3 5 3 5 ,? ? x ? ,即? ?e? 2 e e e 5 5

2.

5 2

渐近线为 y ? ? t x ,其中一条与与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,得 t ?

1 1 ,t ? 2 4

x2 5 ? y 2 ? 1, a ? 2, c ? 5, e ? 4 2
3. 2 15

? y 2 ? 8x 4k ? 8 , k 2 x 2 ? (4k ? 8) x ? 4 ? 0, x1 ? x2 ? ?4 ? k2 y ? kx ? 2 ?
2 得 k ? ?1, 或2 ,当 k ? ?1 时, x ? 4 x ? 4 ? 0 有两个相等的实数根,不合题意

当 k ? 2 时, AB ? 1 ? k

2

x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 16 ? 4 ? 2 15

34

4. ?1, ?

5 2

? x2 ? y 2 ? 4 2 , x ? (kx ? 1) 2 ? 4, (1 ? k 2 ) x ? 2kx ? 5 ? 0 ? ? y ? kx ? 1

当 1 ? k 2 ? 0, k ? ?1 时,显然符合条件;
2 当 1 ? k ? 0 时,则 ? ? 20 ? 16k ? 0, k ? ?
2

5 2

5.

3 5 5

直线 AB 为 2 x ? y ? 4 ? 0 ,设抛物线 y 2 ? 8x 上的点 P(t , t 2 )

d?

2t ? t 2 ? 4 5

t 2 ? 2t ? 4 (t ? 1) 2 ? 3 3 3 5 ? ? ? ? 5 5 5 5

三、解答题 1.解:当 ? ? 0 时, cos 0 ? 1 ,曲线 x 2 ? y 2 ? 1为一个单位圆;
0 0 0 0 当 0 ? ? ? 90 时, 0 ? cos ? ? 1,曲线

y2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴上的椭圆; 1 1 cos ?

当 ? ? 90 时, cos90 ? 0 ,曲线 x ? 1 为两条平行的垂直于 x 轴的直线;
0 0 2

x2 y2 ? ? 1 为焦点在 x 轴上的双曲线; 当 90 ? ? ? 180 时, ?1 ? cos ? ? 0 ,曲线 1 ? 1 cos ?
0 0

2 2 当 ? ? 180 时, cos180 ? ?1 ,曲线 x ? y ? 1为焦点在 x 轴上的等轴双曲线。
0 0

2.解:双曲线

x2 y2 ? ? 1 的 a ? 3, c ? 5, 不妨设 PF1 ? PF2 ,则 PF1 ? PF2 ? 2a ? 6 9 16

F1F22 ? PF12 ? PF22 ? 2PF1 ? PF2 cos600 ,而 F1F2 ? 2c ? 10
得 PF 2 ? PF22 ? PF ? PF2 ? (PF ? PF2 )2 ? PF ? PF2 ? 100 1 1 1 1

PF1 ? PF2 ? 64, S ?

1 PF1 ? PF2 sin 600 ? 16 3 2
35

3.证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 y ?y , ) ,得 k AB ? 2 1 , 2 2 x2 ? x1

b2 x12 ? a2 y12 ? a2b2 , b2 x22 ? a2 y22 ? a2b2 , 得 b2 ( x22 ? x12 ) ? a2 ( y22 ? y12 ) ? 0,


x ?x y2 2 ? y12 b2 ? ? 2 , AB 的垂直平分线的斜率 k ? ? 2 1 , 2 2 y2 ? y1 x2 ? x1 a y1 ? y2 x ?x x ?x ? ? 2 1 ( x ? 1 2 ), 2 y2 ? y1 2

AB 的垂直平分线方程为 y ?

当 y ? 0 时, x0 ?

y22 ? y12 ? x22 ? x12 b2 x ? x ? (1 ? 2 ) 2 1 2( x2 ? x1 ) a 2
a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? . a a

而 ?2a ? x2 ? x1 ? 2a ,??

4.解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 的中点 M ( x0 , y0 ) , k AB ?

y2 ? y1 1 ?? , x2 ? x1 4

而 3x12 ? 4 y12 ? 12, 3x22 ? 4 y22 ? 12, 相减得 3( x22 ? x12 ) ? 4( y22 ? y12 ) ? 0, 即 y1 ? y2 ? 3( x1 ? x2 ),? y0 ? 3x0 , 3x0 ? 4x0 ? m, x0 ? ?m, y0 ? ?3m 而 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部,则

m 2 9m 2 2 3 2 3 ? ? 1, 即 ? 。 ?m? 4 3 13 13

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(数学选修 1-1)第一章 导数及其应用 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.B

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? lim 2[ ] h ?0 h ?0 h 2h f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? 2 lim ? 2 f ' ( x0 ) h ?0 2h lim

2.C 3.C 4.D

s' (t ) ? 2t ?1, s' (3) ? 2 ? 3 ?1 ? 5 y ' = 3x2 + 1 > 0 对于任何实数都恒成立
f ' ( x) ? 3ax 2 ? 6 x, f ' ( ?1) ? 3a ? 6 ? 4, a ? 10 3

36

5.D 对于 f ( x) ? x3 , f ' ( x) ? 3x2 , f ' (0) ? 0, 不能推出 f ( x ) 在 x ? 0 取极值,反之成立 6.D

y' ? 4x3 ? 4, 令y' ? 0, 4x3 ? 4 ? 0, x ? 1,当x ? 1时, y' ? 0;当x ? 1时, y' ? 0
得 y极小值 ? y |x?1 ? 0, 而端点的函数值 y |x??2 ? 27, y |x?3 ? 72 ,得 ymin ? 0

二、填空题 1. ?1 2.

f ' ( x0 ) ? 3x02 ? 3, x0 ? ?1
3 y ' ? 3 x 2 ? 4 , k ? y' x ?|1 ? ?1 , t a n ? ? 1 , ?? ? ? 4

3 ? 4

3.

x cos x ? sin x x2
1 e

y' ?
y' ?

(sin x)' x ? sin x ? ( x)' x cos x ? sin x ? x2 x2

4. , x ? ey ? 0

5. (??, ? ), (1, ??)

5 3

1 1 1 1 , k ? y ' |x ?e ? , y ? 1 ? ( x ? e), y ? x x e e e 5 令y ' ? 3x 2 ? 2 x ? 5 ? 0, 得x ? ? , 或x ? 1 3

三、解答题 1.解:设切点为 P (a, b) ,函数 y ? x3 ? 3x2 ? 5 的导数为 y' ? 3x2 ? 6x 切线的斜率 k ? y' |x?a ? 3a2 ? 6a ? ?3 ,得 a ? ?1 ,代入到 y ? x ? 3x ? 5
3 2

得 b ? ?3 ,即 P(?1, ?3) , y ? 3 ? ?3( x ? 1),3x ? y ? 6 ? 0 。 2.解: y' ? ( x ? a)' ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)' ( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c)'

? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)
3.解: f ?( x) ? 5x 4 ? 20x 3 ? 15x 2 ? 5x 2 ( x ? 3)(x ? 1) , 当 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 ,或 x ? ?1 ,或 x ? ?3 , ∵ 0 ?[?1, 4] , ?1?[?1, 4] , ?3 ?[?1,4] 列表:

x

?1

(?1, 0)

(0, 4)
0

f ' ( x)

0

+

0

+

37

f ( x)

0



1



又 f (0) ? 0, f (?1) ? 0 ;右端点处 f (4) ? 2625 ; ∴函数 y ? x 5 ? 5x 4 ? 5x 3 ? 1 在区间 [?1, 4] 上的最大值为 2625 ,最小值为 0 。 4.解: (1) y ' ? 3ax2 ? 2bx, 当 x ? 1 时, y' |x?1 ? 3a ? 2b ? 0, y |x?1 ? a ? b ? 3 , 即?

?3a ? 2b ? 0 , a ? ?6, b ? 9 ?a ? b ? 3

(2) y ? ?6 x3 ? 9 x2 , y ' ? ?18x2 ? 18x ,令 y ' ? 0 ,得 x ? 0, 或x ? 1

? y极小值 ? y |x?0 ? 0

(数学选修 1-1)第一章 导数及其应用 [综合训练 B 组]
一、选择题 1.C

y' ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 0, x ? ?1, 得x ? 3 ,当 x ? ?1 时, y' ? 0 ;当 x ? ?1 时, y' ? 0
当 x ? ?1 时, y极大值 ? 5 ; x 取不到 3 ,无极小值

2.D 3.C

lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ? 4 lim ? 4 f ' ( x0 ) ? ?12 h ?0 h 4h
' 2 ' 2

设切点为 P (a, b) , f ( x) ? 3x ? 1, k ? f (a) ? 3a ? 1 ? 4, a ? ?1 , 0
3 3

把 a ? ?1 , 代入到 f ( x) = x + x - 2 得 b ? ?4 ; a ? 1 , 把 代入到 f ( x) = x + x - 2 得 b ? 0 , 所以 P (1, 0) 0 和 (?1, ?4) 4.B

f ( x) , g ( x) 的常数项可以任意
令 y ? 8x ?
'

5.C

1 8 x3 ? 1 1 ? ? 0, (2 x ? 1)(4 x 2 ? 2 x ? 1) ? 0, x ? 2 2 x x 2

38

6.A

(ln x)' x ? ln x ? x ' 1 ? ln x 令 y ? ? ? 0, x ? e , 当 x ? e 时 , y' ? 0 ; 当 x ? e 时 , y' ? 0 , 2 2 x x
'

1 1 y极大值 ? f (e) ? ,在定义域内只有一个极值,所以 ymax ? e e
二、填空题

y ' ? 1 ? 2 s i x ? 0 , ? ,比较 0, , 处的函数值,得 ymax ? ? 3 n x 6 6 2 6 6 3 3 f ' ( x)? 3x2 ? 4 , f ' ( 1 ) 7 , ? 1 ) y1 0 , ? 1 x ? 7 (y时 1 ) , x ? 0 , ? f ( ? 0 ? ? 2. ? 7 7 2 2 2 ' 2 3. (0, ) ( ??, 0), ( , ??) y ? ?3 x ? 2 x ? 0, x ? 0, 或x ? 3 3 3
1.

?

? 3

?

? ?

?

4. a ? 0, 且b2 ? 3ac

f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 0 恒成立,
则?

?a ? 0 ?? ? 4b ? 12ac ? 0
2

, a ? 0, 且b2 ? 3ac
0 ,f ( 1 ) a ? a b ? 1 0 ?2 ? ? 1

5. 4, ?11

2 f ' ( x)? 3x ? 2a x b ' f ( 1 ) ? , ?

2 b 3 a ? ? ?

?2a ? b ? ?3 ?a ? ?3 ?a ? 4 ,当 a ? ?3 时, x ? 1 不是极值点 ,? ,或 ? ? 2 a ? a ? b ? 9 ?b ? 3 ?b ? ?11 ?
三、解答题 1.解: y' ? 2x, k1 ? y' |x? x0 ? 2x0 ; y' ? 3x2 , k2 ? y' |x?x0 ? 3x02

k1k2 ? ?1, 6 x03 ? ?1, x0 ? ?

3

36 。 6

2.解:设小正方形的边长为 x 厘米,则盒子底面长为 8 ? 2x ,宽为 5 ? 2x

V ? (8 ? 2x)(5 ? 2x) x ? 4x3 ? 26x2 ? 40x
V ' ? 12 x 2 ? 52 x ? 40, 令V ' ? 0, 得x ? 1, 或x ?
10 10 ,x? (舍去) 3 3

V极大值 ? V (1) ? 18 ,在定义域内仅有一个极大值, ?V最大值 ? 18
3.解: (1) f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) ,则 c ? 1 ,
4 2

f ' ( x) ? 4ax3 ? 2bx, k ? f ' (1) ? 4a ? 2b ? 1,
切点为 (1, ?1) ,则 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (1, ?1)
4 2

39

得 a ? b ? c ? ?1, 得a ?

5 9 ,b ? ? 2 2

f ( x) ?

5 4 9 2 x ? x ?1 2 2
' 3

(2) f ( x) ? 10 x ? 9 x ? 0, ?

3 10 3 10 ? x ? 0, 或x ? 10 10

单调递增区间为 (?

3 10 3 10 , 0), ( , ??) 10 10
? ? ? ? 1 3 b ) 得 a ? ? 0, a ? 2, b ? 1 2 2

4.解:由 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [a ? (t 2 ? 3)b ]? ?ka ? tb ) ? 0, ?ka 2 ? ta? ? k (t 2 ? 3)a? ? t (t 2 ? 3)b 2 ? 0 ( b b
?4k ? t 3 ? 3t ? 0, k ? 1 3 1 (t ? 3t ), f (t ) ? (t 3 ? 3t ) 4 4 3 3 3 3 f ' (t ) ? t 2 ? ? 0, 得t ? ?1, 或t ? 1; t 2 ? ? 0, 得 ? 1 ? t ? 1 4 4 4 4

所以增区间为 (??, ?1), (1, ??) ;减区间为 (?1,1) 。

(数学选修 1-1)第一章 导数及其应用 [提高训练 C 组]
一、选择题 1.A 2.A 3.B

f ' ( x) ? sin x, f ' (? ) ? sin ?
对称轴 ?

b ? 0, b ? 0, f ' ( x) ? 2 x ? b ,直线过第一、三、四象限 2

f ' ( x) ? ?3x2 ? 2ax ?1 ? 0 在 (??,??) 恒成立, ? ? 4a2 ?12 ? 0 ? ? 3 ? a ? 3

4.C 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数;当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 在 (??,1) 上是减函数,故 f ( x ) 当 x ? 1 时取得最小值,即有

f (0) ? f (1), f (2) ? f (1), 得 f (0) ? f (2) ? 2 f (1)
5. A 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 , y ? x 在某一点的导数为 4 , y? ? 4 x , 即 而
4 3

所以 y ? x 在 (1,1) 处导数为 4 ,此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0
4

6.A

极小值点应有先减后增的特点,即 f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0
' ' '

二、填空题 1. 6
2 f ' ( x)? 3x ? 4c x 2c , 'f ( 2? 2c? 8? 1? ? ) c 2

0c, , c ? 2 时取极小值 ? 2, 6 或

40

2. (??, ??) 3.

y' ? 2 ? c o x ? 对于任何实数都成立 s 0

? 6

f ' ( x) ? ? sin( 3x ? ?)( 3x ? ?)' ? ? 3sin( 3x ? ?)
f ( x) ? f ?( x) ? 2 cos( 3 x ? ? ? ) 3

?

要使 f ( x) ? f ?( x) 为奇函数,需且仅需 ? ? 即: ? ? k? ? 4. (7, ??) 5. 2
n?1

?
3

? k? ?

?
2

,k ?Z ,

?
6

, k ? Z 。又 0 ? ? ? ? ,所以 k 只能取 0 ,从而 ? ?

?
6



x ? [?1,2] 时, f ( x)max ? 7
y/
x?2

?2

? ?2n ? 1? n? 2? 切线方程为 :y , ?

n

2 ? ?

? 1 n

2? n ?

?

2 ?( ,2 ) x

令 x ? 0 ,求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y0 ? ? n ? 1? 2n ,所以

an ? a ? ? 2n ,则数列 ? n ? n ?1 ? n ? 1?

的前 n 项和 Sn ? 三、解答题

2 ?1 ? 2n ? 1? 2

? 2n?1 ? 2

1.解: y ? (1 ? cos 2 x)3 ? (2cos2 x)3 ? 8cos6 x

y' ? 48cos5 x ? (cos x)' ? 48cos5 x ? (? sin x)
? ?48sin x cos5 x 。
2.解:函数的定义域为 [?2, ??) , y ?
'

1 1 1 1 ? ? ? 2x ? 4 2 x ? 3 2x ? 4 4 x ? 12

当 x ? ?2 时, y ? 0 ,即 [?2, ??) 是函数的递增区间,当 x ? ?2 时, ymin ? ?1
'

所以值域为 [?1, ??) 。

3.解: (1) f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, f ( x) ? 3x ? 2ax ? b
3 2 ' 2

由 f (? ) ?
'

2 3

12 4 1 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , b ? ?2 9 3 2

f ' ( x) ? 3x2 ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表:
2 (??, ? ) 3 ? 2 3
2 ( ? ,1) 3
41

x
f ' ( x)
f ( x)
?

1

(1, ??)
0

?

0
极大值

?
?

?
?

极小值

2 ,1) ; 3 2 1 2 2 22 3 ?c (2) f ( x) ? x ? x ? 2 x ? c, x ? [ ?1, 2] ,当 x ? ? 时, f ( ? ) ? 3 2 3 27
所以函数 f ( x ) 的递增区间是 (??, ? ) 与 (1, ??) ,递减区间是 ( ?

2 3

为极大值,而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要使 f ( x) ? c2 , x ?[?1, 2] 恒成立,则只需要 c2 ? f (2) ? 2 ? c ,得 c ? ?1, 或c ? 2 。

x 2 ? ax ? b 4.解:设 g ( x) ? x
∵ f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, ??) 上是增函数 ∴ g ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, ??) 上是增函数. ∴?

? g ' (1) ? 0 ? g (1) ? 3

∴?

?b ? 1 ? 0 ?a ? b ? 1 ? 3

解得 ?

?a ? 1 ?b ? 1

经检验, a ? 1, b ? 1 时, f ( x ) 满足题设的两个条件.

42


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