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2014年江西省数学(文)高考真题含答案(超完美word版)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)
数学(文科) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 2i ( i 为虚数单位) ,则 | z | =( )

A.1

B.2

C. 2

D. 3
)

2.设全集为 R ,集合 A ? {x | x2 ? 9 ? 0}, B ? {x | ?1 ? x ? 5} ,则 A ? (CR B) ? (

A.(?3, 0)

B. (? 3? , 1 ) C. ( ? 3? , 1]

D. (? 3 , 3 )


3.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为 5 的概率等于(

A.

1 18

B.

1 9

C.

1 6

D.

1 12


4. 已知函数 f ( x) ? ?

?a ? 2 x , x ? 0
?x ? 2 ,x ?0

(a ? R) ,若 f [ f (?1)] ? 1,则 a ? (

A.

1 4

B.

1 2

C .1

D.2

5.在在 ?ABC 中, 内角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, , 若 3a ? 5b , 则

2sin 2 B ? sin 2 A 的值为 ( sin 2 A



A. ?

1 9

B.

1 3

C .1


D.

7 2

6.下列叙述中正确的是(

A. 若 a, b, c ? R ,则 " ax 2 ? bx ? c ? 0" 的充分条件是 " b2 ? 4ac ? 0"

B. 若 a, b, c ? R ,则 " ab2 ? cb2 " 的充要条件是 " a ? c "
C. 命题“对任意 x ? R ,有 x 2 ? 0 ”的否定是“存在 x ? R ,有 x 2 ? 0 ”

D. l 是一条直线, ? , ? 是两个不同的平面,若 l ? ? , l ? ? ,则 ? / / ?
7.某人研究中学生的性别与成绩、学科 网视力、智商、阅读量这 4 个变量之间的关系,随机抽查 52 名中学生,得到统计数据如表 1 至表 4,泽宇性别有关联的可能性最大的变量是( )

A.成绩

B.视力

C.智商

D.阅读量 )

8.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(

A.7

B.9

C.10

D.11

9.过双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1 的右定点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线相交于 A .若以 C 的右焦点为圆 b2


心、半径为 4 的圆经过 A、O两点(O为坐标原点), ,则双曲线 C 的方程为( A.

x2 y2 ? ?1 4 12

B.

x2 y2 ? ?1 7 9
2

C.

x2 y2 ? ?1 8 8

D.

x2 y2 ? ?1 12 4

10.在同意直角坐标系中,函数 y ? ax ? x ? ( )

a 与y ? a 2 x 2 ? 2ax ? x ? a(a ? R) 的图像不可能的是 2

A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若曲线 y ? x ln x上点P 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0, 则点P 的坐标是_______.

12.已知单位向量 e1 , e2的夹角为 ? , 且cos ? ?

? ?

1 ? ? ? ? , 若向量 a ? 3e1 ? 2e2 , 则 | a |? _______. 3

13. 在等差数列 ?a n ?中, a1 ? 7 ,公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,当且仅当 n ? 8 时 Sn 取最大值, 则 d 的取值范围_________. 14. 设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的左右焦点为 F1, F2 ,作 F2 作 x 轴的垂线与 C 交于 a2 b2

A,B 两点, F1B 与 y 轴交于点 D ,若 AD ? F1B ,则椭圆 C 的离心率等于________.
15. x, y ? R ,若 x ? y ? x ?1 ? y ?1 ? 2 ,则 x ? y 的取值范围为__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,学 科网共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ?x? ? a ? 2 cos2 x cos?2 x ? ? ? 为奇函数,且 f ?

?

?

?? ? ? ? 0 ,其中 ?4?

a ? R, ? ? ?0, ? ?.

? 的值; (1)求 a,
(2)若 f ?

2 ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? , ? ? ,求 sin?? ? ? 的值. ??? , 3? 5 ? ?4? ?2 ?
3n 2 ? n ,n ? N ? . 2

17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ?

(1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)证明:对任意 n ? 1 ,都有 m ? N ,使得 a1, an, am 成等比数列.
?

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (4x 2 ? 4ax ? a 2 ) x ,其中 a ? 0 . (1)当 a ? ?4 时,求 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 f ( x) 在区间 [1,4] 上的最小值为 8,求 a 的值.

19.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? BC, A 1 B ? BB 1. (1)求证: A1C1 ? CC1 ;

(2)若 AB ? 2, AC ? 3, BC ? 7 ,问 AA1 为何值时,三棱柱 ABC ? A1B1C1 体积最 大,并求此最大值。

20.(本小题满分 13 分) 如图,已知抛物线 C : x
2

? 4 y ,过点 M (0, 2) 任作一直线与 C 相交于 A, B 两点,过点 B 作 y 轴的

平行线与直线 AO 相交于点 D ( O 为坐标原点). (1)证明:动点 D 在定直线上; (2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴) 与直线 y 证明: | MN2 |
2

? 2 相交于点 N1 , 与 (1) 中的定直线相交于点 N 2 ,

? | MN1 |2 为定值,并求此定值.

21.(本小题满分 14 分) 将连续正整数1,2,?, n(n ? N *) 从小到大排列构成一个数123? n , F ( n) 为这个数的位数(如

n ? 12 时,此数为123456789101112 ,共有 15 个数字, f (12) ? 15 ) ,现从这个数中随机取一个
数字,

p(n) 为恰好取到 0 的概率. p(100) ; f (n) 为这个数中数字 9 的个数, h(n) ? f (n) ? g (n) ,

(1)求

(2)当 n ? 2014 时,求 F ( n) 的表达式; (3)令 g ( n) 为这个数字 0 的个数,

S ? {n | h(n) ? 1, n ? 100, n ? N*},求当 n ? S 时 p(n) 的最大值.

参考答案 1.C 2.C 11. (e, e) 3.B 4.A 5.D 6.D 7.D 8.B 9.A 10.B 12.3

7 13. (?1, ? ) 8

14.

3 3

15. [0, 2]

2 16. (1)因为 f ? x ? a ? 2cos2 x cos ? 2x ? ? ? 是奇函数, 而 y1=a+2cos x 为偶函数,所以 y1= cos ? 2 x ? ? ?

?

?

? ?, 得? ? 为奇函数,又 ? ? ? 0,
a ? ?1.

?
2

. 所以 f ? x ? = ? sin 2 x( 由 f? ? a ? 2cos2 x)

?? ? ? ? 0 ,得-(a+1)=0,即 ?4?

1 (2)由(1)得: f ? x ? ? ? sin 4 x, 因为 2

1 2 4 ?? ? ?? ? f ? ? ? ? sin ? ? ? ,得 sin ? ? , 又 ? ? ? , ? ? ,所以 2 5 5 ?4? ?2 ?

?? ? ? 3 ? 4?3 3 cos ? ? ? , 因此 sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? sin cos ? ? . 3 3 3 5 ? ? 10
17.(1)因为 Sn ?

3n2 ? n , 所以 a1 ? S1 ? 1 ,当 n ? 2 时 an ? Sn ? Sn?1 ? 3n ? 2, 又 n ? 1 时,所以数列 an 2

的通项公式为 an ? 3n ? 2,

an, am 成等比数列,只需要 an 2 ? a1am ,即 (3n ? 2)2 ? 1? (3m ? 2),即m ? 3n2 ? 4n ? 2 .而 (2)要使得 a1, an, am 成等比数列. 此时 m ? N ? ,且 m ? n, 所以对任意 n ? 1 ,都有 m ? N ? ,使得 a1,
18. 解:当 a ? ?4 时,由 f ?( x ) ?
2(5 x ? 2)( x ? 2) x

,得 x ?

2 2 或 x ? 2 ,由 f ?( x)>0 得 x ? (0, ) 或 x ? (2, ??) , 5 5

2 故函数 f(x)的单调递增区间为 (0, ) 和 (2, ??) 5
(2) 因为 f ?( x) ? (8 x ? 4a) x ?
4 x 2 ? 4ax ? a 2 2 x ? 20 x 2 ? 12ax ? a 2 2 x ? (10 x ? a)(2 x ? a) 2 x
= ) 0 , a<0, 由 f ?( x



x??

a a a a a 或 x ? ? ,当 x ? (0, ? ) 时, f ( x) 单调递增, x ? (? , ? ) 时, f ( x) 单调递减,当 10 2 10 10 2

a a x ? (? , ??) 时, f ( x) 单调递增,易知 f ( x) =(2x+a)2 x ? 0 ,且 f (? ) ? 0, 2 2 a 当 ? ? 1 时,即-2 ? a<0 时, f ( x) 在 [1, 4] 上的最小值为 f (1) ,由 f (1) =4+4a+a2=8,得 a= ?2 2-2 均不 2
符合题意 当1 ? ? 当?

a a ? 4 时,即 -8 ? a ? ?2时 , f ( x) 在 [1, 4] 上的最小值为 f (? ) ? 0, 不符合题意 2 2

a ? 4 时,即 a ? ?8时 , f ( x) 在 [1, 4] 上的最小值可能在 x=1 或 x=4 上取得,而 f (1) ? 8, 由 2

f (4) ? 2(64 ? 16a ? a2 ) ? 8, 得 a ? ?10 或 a ? ?6 (舍去),当 a ? ?10 时, f ( x) 在 (1, 4) 上单调递减,
f ( x) 在 [1, 4] 上的最小值为 f (4) ? 8, 符合题意。综上有,a=-10

19. (1)证明:由 AA1 ? BC 知 BB1 ? BC ,又 BB1 ? A1B ,故 BB1 ? 平面 BCA1 , 即 BB1 ? AC ,又 BB1 / /CC1 , 1 所以 A1C ? CC1. (2)解法一:设 AA1 ? x, 在 Rt ?A1 BB1 中 BA A1B12 ? BB12 ? 4 ? x2 , 同理 1 ?
2 2 2 在 ?A1 BC 中, AC ? AC 1 1 1 ? CC1 ? 3 ? x ,
2 A1 B2 ? AC ? BC 2 x2 12 ? 7 x2 1 ?? ,sin ?BAC ? ,所以 1 2 A1 B ? AC (4 ? x2 )(3 ? x2 ) (4 ? x2 )(3 ? x2 ) 1

cos ?BAC ? 1

S?A1BC ?

1 12 ? 7 x 2 A1 B ? A1C sin ?BA1C ? . 从而三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积为 2 2

6 36 6 42 1 x 12 ? 7 x 2 ? 因 x 12 ? 7 x 2 ? 12 x 2 ? 7 x 4 ? ?7( x 2 ? ) 2 ? , 故当 x ? V ? 3 ? BB1 ? S?A1BC ? 7 7 7 7 3 2

时,即 AA1 ?

42 3 7 . 时,体积 V 取到最大值 7 7

解法二:过 A1 作 BC 的垂线,垂足为 D,连接 AD,由 AA 1 ?BC ,A1D ? BC ,故 BC ? 平面 AA1 D,BC ? AD 又 ?BAC ? 90? ,所以 S?ABC ?
A1 D = AD 2 ? AA12 ? 12 2 -x , 7
1 1 2 21 AD ? BC ? AB ? AC得AD ? ,设 AA1 =x,在 Rt ?AA1D中 , 2 2 7

1 12 ? 7 x 2 S?A1BC = A1 D ? BC ? . 2 2 从而三棱柱ABC -A1 B1C1的体积V ? S直 ? l=S?A1BC ? AA1 =
6 36 因为 x 12 ? 7 x 2 ? 12 x 2 ? 7 x 4 ? ?7( x 2 ? )2 ? 7 7

x 12 ? 7 x 2 2

故当 x ?

6 42 42 3 7 时,即 AA1 ? 时,体积 V 取到最大值 ? 7 7 7 7

20.(1)解:依题意可设 AB 方程为 y ? kx ? 2 ,代入 x 2 ? 4 y ,得 x2 ? 4(kx ? 2) ,即 x 2 ? 4kx ? 8 ? 0 .设
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有: x1 x2 ? ?8 ,直线 AO 的方程为 y ?
y1 x ;BD 的方程为 x ? x2 ;解得交点 D 的 x1

坐标为 ( x2 ,

y1 x2 yx x 2x xx ) ,注意到 x1 x2 ? ?8 及 x12 ? 4 y1 ,则有 y ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2 ? ?2 ,因此 D 点在定直线 x1 x1 4 x1 4

y ? ?2( x ? 0) 上.

(2)依题设,切线 l 的斜率存在且不等于零,设切线 l 的方程为 y ? ax ? b(a ? 0) ,代入 x 2 ? 4 y 得
x2 ? 4(ax ? b) ,即 x 2 ? 4ax ? 4b ? 0 ,由 ? ? 0 得 (4a)2 ? 16b ? 0 ,化简整理得 b ? ? a 2 ,故切线 l 的方程

2 2 可写为 y ? ax ? a2 ,分别令 y ? 2, y ? ?2 得 N1 , N2 的坐标为 N1 ( ? a, 2), N2 (? ? a, ?2) ,则 a a 2 2 MN22 ? MN12 ? ( ? a)2 ? 42 ? ( ? a)2 ? 8 ,即 MN22 ? MN12 为定值 8. a a
21. (1)解:当 n ? 100 时,这个数中总共有 192 个数字,其中数字 0 的个数为 11,所以恰好取到 0 的概率为 p(100) ?

11 ; 192

n,1 ? n ? 9 ? ? 2n ? 9,10 ? n ? 99 ? (2) F (n) ? ? ? 3n ? 108,100 ? n ? 999 ? ?4n ? 1107,1000 ? n ? 2014

(3)当 n ? b(1 ? b ? 9, b ? N *), g (n) ? 0; 当 n ? 10k ? b,(1 ? k ? 9,0 ? b ? 9, k ? N * , b ? N ), g (n) ? k , 当
? 0, n ? b,1 ? b ? 9, b ? N * , ? n ? 1000, g (n) ? 11; 即 g (n) ? ?k , n ? 10k ? b,1 ? k ? 9,0 ? b ? 9, k ? N * , b ? N , 同理有 ? 11, n ? 100 ?
0,1 ? n ? 8 ? ?k , n ? 10k ? b ? 1,1 ? k ? 8, 0 ? b ? 9, k ? N * , b ? N , ? f ( n) ? ? n ? 80,89 ? n ? 98 ? ? 20, n ? 99,100 ?

由 h(n) ? f (n) ? g (n) ? 1, 可知 n ? 9,19, 29,39, 49,59,69,79,89,90, 所以当 n ? 100 时,
S ? {9,19, 29,39, 49,59,69,79,89,90} ,当 n ? 9 时, P(9) ? 0, 当 n ? 90 时, P (90) ?
g (90) 9 1 ? ? ,当 F (90) 171 19

n ? 10k ? 9(1 ? k ? 8, k ? N * ) 时, P(n) ?

g ( n) k k k ? ? ,由y? , 关于 k 单调递增,故当 F (n) 2n ? 9 20k ? 9 20k ? 9

n ? 10k ? 9(1 ? k ? 8, k ? N * ) , P(n) 最大值为 P(89) ?

8 8 1 .又 ? ,所以当 n ? S 时, P(n) 最大值为 169 169 19

1 . 19


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