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1.2函数及其表示练习题及答案


1.2 函数及其表示练习题
一.选择题 1
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函数 f ( x ) ? A C
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cx 3 , ( x ? ? ) 满足 f [ f ( x)] ? x, 则常数 c 等于( 2x ? 3 2 3 B ?3 3或 ? 3 D 5或 ? 3
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2.

已知 g ( x) ? 1 ? 2 x, f [ g ( x)] ? A C
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1 1? x2 ( x ? 0) ,那么 f ( ) 等于( 2 2 x



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15 3

B D

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1 30


3. 函数 y ? 2 ? ? x2 ? 4 x 的值域是( A C 4
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[? 2 , 2 ]

B D
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[1, 2 ]

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[0, 2]

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[? 2 , 2 ]


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2 已知 f (1 ? x ) ? 1 ? x 2 ,则 f ( x ) 的解析式为( 1? x 1? x

A C

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x 1? x2 2x 1? x2

B D

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2x 1? x2 x ? 1? x2 ?
( )

5.设 f ( x ) 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是

(A) f ( x) f (? x) 是奇函数 (B) f ( x) f (? x) 是奇函数 (C) f ( x) ? f (? x) 是偶函数 (D) f ( x) ? f (? x) 是偶函数 6. 下列图中,画在同一坐标系中,函数 y ? ax2 ? bx 与 y ? ax ? b(a ? 0, b ? 0) 函数的 图象只可能是 ( ) y y y y

x A B

x C

x D

x

2 7 . 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? x ? x ? a(a ? 0) , 若 f (m) ? 0 , 则 f (m ? 1) 的 值 为

( ) A.正数 B.负数 C.0 8. 已知 f ( x) 的定义域为 [?1,2) ,则 f (| x |) 的定义域为 A. [?1,2) B. [ ?1,1] C. (?2,2)

D.符号与 a 有关 ( D. [?2,2)



9. 已知在 x 克 a % 的盐水中,加入 y 克 b % 的盐水,浓度变为 c % ,将 y 表示成 x 的函数 关系式 ( )

c?b b?c x x D. y ? c?a c?a 10.已知 f 满足 f(ab)=f(a)+ f(b),且 f(2)= p , f (3) ? q 那么 f (72) 等于 (
A. y ? B. y ? C. y ? A. p ? q B. 3 p ? 2q C. 2 p ? 3q D. p 3 ? q 2

c?a x c?b

c?a x b?c



11. (2010 陕西文数)某学校要招开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各 班人数除以 10 的余数大于 时再增选一名代表.那么, 各班可推选代表人数 y 与该班人数 x ..6 . 之间的函数关系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为

x?3 ] 10 x?5 (D)y=[ ] 10 12.(2009 海口模拟)已知函数 f ? x ? ? 2x ? 1?1 ? x ? 3? , 则 x ] 10 x?4 (C)y=[ ] 10
(A)y=[ (B)y=[ A. f ? x ?1? ? 2x ? 2 ? 0 ? x ? 2? C. f ? x ?1? ? 2x ? 2 ? 0 ? x ? 2? 13.(2009 江西理)函数 y ? A. ? ?4, ?1? C. ? ?1,1? B. f ? x ?1? ? ?2x ?1? 2 ? x ? 4? D. f ? x ?1? ? 2x ?1? 0 ? x ? 4? 的定义域为

ln ? x ? 1?

? x 2 ? 3x ? 4 B. ? ?4,1?
D. (?1,1]

?1 ? x 2 , x ? 1, ? 14.(2008 山东)设函数 f ? x ? ? ? 2 则 ? ? x ? x ? 2, x ? 1,
A.

? 1 ? f? ? f ? 2? ? ? 的值为 ? ?

15 16

B. ?

27 16

C.

8 9

D. 18

15.(2008 陕西) 定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足

f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ? 2xy ? x, y ? R? , f ?1? ? 2
则 f ? ?3? 等于( ) A. 2 B. 3 C. 6 D.9 ( )

16.(2009 福建)下列函数中与函数 y ? A. f ? x ? ? ln x B。 f ? x ? ?

1 有相同定义域的是 x
C。 f ? x ? ? x

1 x

D。 f ? x ? ? e

x

17. (2010 天津理数)若函数 f(x)= ?log (? x), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围 1

?log 2 x, x ? 0, ? ? ?
2



(A) (-1,0)∪(0,1) (C) (-1,0)∪(1,+∞) 18.下列各组函数表示同一函数的是( A. f ( x) ? C. f ? x ? ? ?

(B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1) ) B. f ( x) ? 1, g ( x) ? x0 D. f ( x ) ? x ? 1 , g ( x ) ?

x 2 , g ( x) ? ( x ) 2
? x? x ? 0 ? , g ?t ? ? t ?? x?x ? 0?

x2 ? 1 x ?1

19

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设 f ( x) ? ?
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? x ? 2, ( x ? 10) 则 f (5) 的值为( ? f [ f ( x ? 6)],( x ? 10)
11
C
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A

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B

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D

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20. 函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? 1 的公共点数目是( A
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1

B

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0

C

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0 或1

D

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1或 2

二.填空题 1. 函数 y ? x ?

1 ( x ? 0) 的值域为 x

2. 设 f ? x ? ? lg

2? x ? x? ?2? ,则 f ? ? ? f ? ? 的定义域为 2? x ?2? ? x?

x 3. (2008 山东) 已知 f 3 ? 4 x log 2 3 ? 233, 则 f ? 2 ? ? f ? 4 ? ? f ? 8 ? ?

? ?

? f ? 28 ? 的值

等于 4. (2010 杭州模拟)已知 f ? x ?

? ?

1? 1 2 ? ? x ? 2 ,则函数值 f ? 3? ? x? x

?1 x ? 1( x ? 0), ? ?2 若f (a) ? a. 则实数 a 的取值范围是 5. 设函数 f ( x) ? ? 1 ? ( x ? 0). ? ?x
三、解答题 1
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设 ? , ? 是方程 4 x ? 4mx ? m ? 2 ? 0,( x ? R) 的两实根,当 m 为何值时,
2

? 2 ? ? 2 有最小值?求出这个最小值

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2

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求下列函数的值域

(1) y ?

3? x 4? x

(2) y ?

2x 2 ? 2x ? 5 x2 ? x ?1



3.动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点出发顺次经过 B、C、D 再回到 A;设 x 表示 P 点的行程, y 表示 PA 的长,求 y 关于 x 的函数解析式.

4. 已知函数 f ( x) ,g ( x) 同时满足:g ( x ? y) ? g ( x) g ( y) ? f ( x) f ( y) ; f (?1) ? ?1 ,

f (0) ? 0 , f (1) ? 1 ,求 g (0), g (1), g (2) 的值.

5

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已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 3 ? b(a ? 0) 在 [1,3] 有最大值 5 和最小值 2 ,求 a 、 b 的值

函数及其表示练习题答案
一、选择题答案

题号 答案 题号 答案 1.

1 B 11 B

2 A 12 D C

3 C 13

4 C 14
A

5 D 15 C

6 B 16 A

7 A 17 C

8 C 18 C

9 B 19 B

10 B 20 C

cf ( x) 3x cx ? x, f ( x) ? ? , 得c ? ?3 2 f ( x) ? 3 c ? 2x 2x ? 3
令 g ( x) ?

2.

1 1 1 1 1 ? x2 ,1 ? 2 x ? , x ? , f ( ) ? f ? g ( x) ? ? 2 ? 15 2 2 4 2 x

3

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? x2 ? 4 x ? ?( x ? 2)2 ? 4 ? 4,0 ? ? x2 ? 4 x ? 2, ?2 ? ? ? x 2 ? 4 x ? 0 0 ? 2 ? ? x2 ? 4 x ? 2,0 ? y ? 2

1? t 2 1? ( ) 1? x 1? t 1 ? t ? 2t 4. 令 ? t , 则x ? , f (t ) ? 1? t 2 1? t2 1? x 1? t 1? ( ) 1? t
11. 解析:法一:特殊取值法,若 x=56,y=5,排除 C、D,若 x=57,y=6,排除 A,所以 选B 法二:设 x ? 10m ? ? (0 ? ? ? 9) , 0 ? ? ? 6时, ? 15. 解析

? ? 3? ? x ? 3? ? ?x? ? ?m ? ? m ? ? ?, ? ? 10 ? ? 10 ? ? ?10?

f ?1? ? f ? 0 ? 1? ? f ? 0 ? ? f ?1? ? 2 ? 0 ? 1 ? f ? 0 ? ? f ?1? ,? f ? 0 ? ? 0. f ? 0 ? ? f ? ?1 ? 1? ? f ? ?1? ? f ?1? ? 2 ? ? ?1? ? 1 ? f ? ?1? ? f ?1? ? 2,? f ? ?1? ? 0. f ? ?1? ? f ? ?2 ? 1? ? f ? ?2 ? ? f ?1? ? 2 ? ? ?2 ? ? 1 ? f ? ?2 ? ? f ?1? ? 4,? f ? ?2 ? ? 2. f ? ?2 ? ? f ? ?3 ? 1? ? f ? ?3? ? f ?1? ? 2 ? ? ?3? ? 1 ? f ? ?3? ? f ?1? ? 6,? f ? ?3? ? 6.
17. 【答案】C 【解析】 本题主要考查函数的对数的单调性、 对数的基本运算及分类讨论思想, 属于中等题。 由分段函数的表达式知,需要对 a 的正负进行分类讨论。

a?0 a<0 ? ? ? ? f (a) ? f (?a) ? ?log a ? log a 或 ?log (?a) ? log (?a) 2 1 1 2 ? ? ? 2 ? 2

?a ? 0 ?a ? 0 ? ? ?? ? a ? 1或-1 ? a ? 0 1 或?1 ?a a? ? ? ? 2 ?a
【温馨提示】 分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解, 解对数不等式既要注意真数大 于 0,同事要注意底数在(0,1)上时,不等号的方向不要写错。 19. f (5) ? f ? f (11)? ? f (9) ? f ? f (15)? ? f (13) ? 11 二.填空题答案 1. 因为 x ? 0 ,于是 y ? x ? 所以 y ? x ?

1 1 ? 2 x ? ? 2 ,当且仅当x=1时取等号 x x

1 ( x ? 0) 的值域为 [2,??) x

? ?2 ? ? 2? x ? ? 0 得, f ( x) 的定义域为 ?2 ? x ? 2 。故 ? 2. 由 2? x ? ?2 ? ? ?
解得 x ? ? ?4, ?1?

x ? 2, 2 2 ? 2. x

?1,4? ,故

? x? ?2? f ? ? ? f ? ? 的定义域为 ?? 4,?1? ? ?1,4? ?2? ? x?

x x 3.解析 因 f 3 ? 4 x log 2 3 ? 233 ? 4 log 2 3 ? 233 ,故 f ? x ? ? 4log2 x ? 233.

? ?

于是 f ? 2 ? ? f ? 4 ? ? 4. 5. 11

? f ? 28 ? ? 4 ?1 ? 2 ?

? 8 ? ? 233 ? 8 ? 2008.

? ??, ?1?

当 a ? 0时, f (a) ?

1 a ? 1 ? a, a ? ?2 ,这是矛盾的; 2

当 a ? 0时, f (a ) ? 三.解答题答案

1 ? a, a ? ?1 a

1. 解: ? ? 16m ?16(m ? 2) ? 0, m ? 2或m ? ?1,
2

? 2 ? ? 2 ? (? ? ? ) 2 ? 2?? ? m 2 ? m ? 1
当m ? ?1时, (? 2 ? ? 2 ) min ?
2. 解: (1)∵ y ?

1 2

1 2

3? x 4y ?3 , 4 y ? xy ? x ? 3, x ? , 得y ? ?1, 4? x y ?1

∴值域为 ? y | y ? ?1 ?

(2)解:因 x ? x ? 1 ? ( x ? ) ?
2 2

1 2

3 ,故对任意实数 x , x2 ? x ? 1 ? 0, 由此可得该函数的 4

定义域为 R。又因

y?

2x2 ? 2x ? 5 2x2 ? 2x ? 2 ? 3 3 3 ? ? 2? 2 ? 2? , 2 2 1 2 3 x ? x ?1 x ? x ?1 x ? x ?1 (x ? ) ? 2 4



2 ? y ? 2?

3 ? 6 ,由此得值域为 y 2 ? y ? 6 1 1 2 3 (? ? ) ? 2 2 4

?

?。

?函数的定义域为 R
3. 解:显然当 P 在 AB 上时,PA= x ;当 P 在 BC 上时,PA= 1 ? ( x ? 1) 2 ;当 P 在 CD 上时,
PA= 1 ? (3 ? x) 2 ;当 P 在 DA 上时,PA= 4 ? 4. 解:令 x

x ,再写成分段函数的形式.

? y 得: f 2 ( x) ? g 2 ( y) ? g (0) .

再令 x

? 0 ,即得 g (0) ? 0,1 .

若 g (0)

? 0 ,令

x ? y ? 1时,得 f (1) ? 0 不合题意,故 g (0) ? 1 ; g (0) ? g (1 ? 1) ? g (1) g (1) ? f (1) f (1) ,即

1 ? g 2 (1) ? 1 , 所 以 g (1) ? 0 ; 那 么 g (?1) ? g (0 ? 1) ? g (0) g (1) ? f (0) f (1) ? 0 ,
g (2) ? g[1 ? (?1)] ? g (1) g (?1) ? f (1) f (?1) ? ?1 .
5.

解:对称轴 x ? 1 , ?1,3? 是 f ( x ) 的递增区间,

f ( x)max ? f (3) ? 5,即3a ? b ? 3 ? 5 f ( x)min ? f (1) ? 2,即? a ? b ? 3 ? 2,
∴?

?3a ? b ? 2 3 1 得a ? , b ? . 4 4 ??a ? b ? ?1


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