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利用均值不等式求最值的方法


利用基本不等式求最值的方法 一、知识点精要:
1.基本不等式 变形: (1) a ? b ? 2.重要不等式 (当且仅当 a ? b 时等号成立) 或 ab ? ( a ? 0, b ? 0 ,当且仅当 a ? b 时等号成立) 4. 整体代换 练习:求函数 y ?

x2 ? 8 ( x ? 1) 的最小值. x ?1

( a

, b ? R ,当且仅当 a ? b 时等号成立)

1 3.常见不等式(1) 若 a ? 0 ,则 a ? ? (当且仅当 a ? 1 时等号成立) a 1 若 a ? 0 ,则 a ? (当且仅当 a ? 时等号成立) a
(2) 2(a ? b ) ? (a ? b) ( a, b ? R ,当且仅当 a ? b 时等号成立)
2 2 2

例 4. 已知 a ? 0,b ? 0,a ? 2b ? 1 ,求 t ?

1 1 ? 的最小值. a b

练习:已知 x ? 0,y ? 0 ,且

二、例题解法:1.

凑系数 例 1. 当 0 ? x ? 4 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值.

1 1 ? ? 9 ,求 x ? y 的最小值. x y

练习: 若 0 ? x ? 2 ,求 y ?

x (6 ? 3x ) 的最大值.

5.应用题 例 5.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池, 其容积为 4800m3,深为 3m, 如果池底每 1m2 的造价为 150 元,池壁每 1m2 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?

2. 凑项 例 2. 已知 x ? 1,求函数 f ( x) ? 2 x ?

2 的最大值. x ?1

练习: 求函数 y ?

1 ? x ( x ? 3) 的最小值.(思考:若条件改为 x ? 6 如何处理?) x?3

3. 分离或换元 例 3. 求 y ?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x≠ ? 1) 的值域. x ?1

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