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解析几何易错题(教师用)


2006 年寒假培优班数学复习资料

严文鸳选编

高考解析几何易错题选
一、选择题:
1. 若双曲线

x2 y 2 5 ? 2 ? ?1 的离心率为 ,则两条渐近线的方程为 ( C ) 2 4 a b
B

A

x y ? ?0 9 16 8 5

5
B

x y ? ?0 16 9
C

C

x y ? ?0 3 4 4 3 3

D

x y ? ?0 4 3
D )

2. 椭圆的短轴长为 2,长轴是短轴的 2 倍,则椭圆的中心到其准线的距离是( A

4 5 5

8 3 3

D

3.过定点(1,2)作两直线与圆 x2 ? y 2 ? kx ? 2 y ? k 2 ?15 ? 0 相切,则 k 的取值范围是 A k>2 B -3<k<2 C k<-3 或 k>2 D 解 答:D 以上皆不对

易错原因:忽略题中方程必须是圆的方程,有些学生不考虑 D2 ? E 2 ? 4F ? 0

x2 y 2 4.设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的半焦距为 C,直线 L 过 (a,0),(0, b) 两点,已知原点 a b
到直线 L 的距离为

3 C ,则双曲线的离心率为 4

A 2 B 2或 解

2 3 C 3

2

D

2 3 3

答:D 易错原因:忽略条件 a ? b ? 0 对离心率范围的限制。

5.若曲线 y ? 围是 A

x 2 ? 4 与直线 y ? k ( x ? 2) +3 有两个不同的公共点,则实数 k 的取值范
B 0?k ?

0 ? k ?1
解 答:C

3 4

C ?1 ? k ?

3 4

D ?1 ? k ? 0

易错原因:将曲线 y ?

x 2 ? 4 转化为 x2 ? y2 ? 4 时不考虑纵坐标的范围;另外没有看

清过点(2,-3)且与渐近线 y ? x 平行的直线与双曲线的位置关系。 6. p(?2, ?2) 、 Q(0,?? 1) ,取一点 R(2,?m) 使 PR ? PQ 最小,则 m =( A )

1 2
2 2

B

0

C –1

D

-

4 3

正确答案:D

错因:学生不能应用数形结合的思想方法,借助对称来解题。

7.能够使得圆 x +y -2x+4y+1=0 上恰好有两个点到直线 2x+y+c=0 距离等于 1 的一个值为

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( A

) 2 B

5

C

3

D

3 5

正确答案: C

错因:学生不能借助圆心到直线的距离来处理本题。
2

8 . P 1 (x 1 ,y 1 ) 是直线 L : f(x,y)=0 上的点 , P f(x,y)+f(x 1 ,y 1 )+f(x A 正确答案: C
2

(x 2 ,y 2 ) 是直线 L 外 一点, 则方程 ) D 重合

,y 2 )=0 所表示的直线( B 垂直

相交但不垂直

C 平行

错因:学生对该直线的解析式看不懂。

9.在圆 x 2 +y 2 =5x 内过点(

5 3 , )有 n 条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列首项 2 2

a 1 ,最长弦长为 a n ,若公差 d? ? , ,那么 n 的取值集合为( 6 3? A

? 1 1? ? ?

) D ?3、 4、 5、 6?

?4、 5、 6?

B ?6、 7、 8、 9?

C ?3、 4、 5?

正确答案:A 错因:学生对圆内过点的弦何时最长、最短不清楚,不能借助 d 的范围来求 n. 10.平面上的动点 P 到定点 F(1,0)的距离比 P 到 y 轴的距离大 1,则动点 P 的轨迹方程为 ( ) A y 2 =2x B y 2 =2x 和 ?

?y ? 0 ?x ? 0

C

y 2 =4x

D y 2 =4x

和 ?

?y ? 0 ?x ? 0

正确答案:D 11.设双曲线

错因:学生只注意了抛物线的第二定义而疏忽了射线。

x2 y2 y2 x2 - = 1 与 - =1(a>0,b>0)的离心率分别为 e 1 、e 2 ,则 a2 a2 b2 b2
) C

2 当 a、 b 变化时,e 1 +e 2 2 最小值是(

A

4

B

4 2

2

D

2

2 正确答案:A 错因:学生不能把 e 1 +e 2 2 用 a、 b 的代数式表示,从而用基本不等

式求最小值。 12.双曲线 A

x2 y2 - =1 中,被点 P(2,1)平分的弦所在直线方程是( 9 4
B 8x+9y=25 C 4x-9y=16 D 不存在



8x-9y=7

正确答案:D 错因:学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。 13.已知 ? 是三角形的一个内角,且 sin ? +cos ? = ( A ) 焦点在 x 轴上的双曲线

1 2 2 则方程 x sin ? -y cos ? =1 表示 5

B

焦点在 y 轴上的双曲线

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C

焦点在 x 轴上的椭圆

D

焦点在 y 轴上的椭圆

正确答案:D 错因:学生不能由 sin? +cos ? =
2 2 2 2

1 判断角 ? 为钝角。 5
)

14.已知实数 x,y 满足 3x +2y =6x,则 x +y 的最大值是( A、

9 2

B、4

C、5

D、2

正确答案:B 错误原因:忽视了条件中 x 的取值范围而导致出错。 15.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y 2 ? 4 x 仅有一个公共点,这样的直线有( ) A.1 条 正确答案:C 16. 已知动点 P (x,y) 满足 5 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ?| 3x ? 4 y ? 11 | , 则 P 点的轨迹是 A、直线 B、抛物线 C、双曲线 D、椭圆 正确答案:A 错因:利用圆锥曲线的定义解题,忽视了(1,2)点就在直线 3x+4y-11=0 上。 17.在直角坐标系中,方程 ?x ? y ? 1? 3 ? 2 x ? x 2 ? y ? 0 所表示的曲线为( ) A.一条直线和一个圆 C.一条直线和半个圆 正确答案:D 错因:忽视定义取值。 18. 设坐标原点为 O, 抛物线 y 2 ? 2 x 与过焦点的直线交于 A、 B 两点, 则 OA ? OB = ( A. ) B.一条线段和一个圆 D.一条线段和半个圆 ( ) B.2 条 C. 3 条 D. 0 条

?

?

3 4

B. ?

3 4

C.3

D.-3

正确答案:B。 错因:向量数量积应用,运算易错。

x2 y2 x y ? ? 1 相交于 A、B 两点,椭圆上的点 P 使 ?PAB 的面积 19.直线 ? ? 1 与椭圆 4 3 16 9
等于12,这样的点 P 共有( A.1 正确答案:D B.2 C.3 )个 D.4

错因:不会估算。 20.过点(1,2)总可作两条直线与圆 x ? y ? kx ? 2 y ? k ?15 ? 0 相切,则实数 k 的取
2 2 2

值范围是( ) A k?2 B ?3 ? k ? 2 正确答案:D 21.已知实数 x , A.

C

k ? ?3 或 k ? 2

D 都不对

y 满足 2 x ? y ? 5 ? 0 ,那么
B. 10 C. 2 5

x 2 ? y 2 的最小值为
D. 2 10

5

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正确答案:A 22.若直线 y ? x ? b 与曲线 x2 ? y 2 ? 4( y ? 0) 有公共点,则 b 的取值范围是 A. [?2, 2] B. [0, 2] C.[2, 2 2] D. [?2, 2 2]

正确答案:D 23.设f(x)= x2 +ax+b,且 1≤f (-1)≤2,2≤f(1)≤4,则点(a,b)在 aOb 平面上的 区域的面积是 A.

1 2

B.1

C.2

D.

9 2

正确答案:B 24.能够使得圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 上恰有两个点到直线 2 x ? y ? c ? 0 距离等于 1 的

c 的一个值为(
A.2

) B. 5 ) C、x= ? C.3 D. 3 5

正确答案:C 25.抛物线 y=4x2 的准线方程为( A、x=-1 答案:D B、y=-1

1 16

D、y= ?

1 16

点评:误选 B,错因把方程当成标准方程。 26.对于抛物线 C : y2 =4x,称满足 y0 2 <4x0 的点 M(x0 , y0 ) 在抛物线内部,若点 M(x0 , y0 )在抛物线内部,则直线 l:y0 y=2(x+x0)与曲线 C( ) A、恰有一个公共点 B、恰有两个公共点 C、可能有一个公共点也可能有 2 个公共点 答案:D 点评:条件运用不当,易误选 C。 D、无公共点

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点在双曲线上且满足 ?F1 PF2 ? 90? ,则 27.设 F 1 和 F2 为双曲线 4

?F1 PF2 的面积是(
A.1 正解: A B

) 。

5 2

C 2

D

5

x2 ? y 2 ? 1 a ? 2, C ? 5 ? || PF1 | ? | PF2 ||? 4 4

?| PF1 |2 ?2 | PF1 || PF2 | ? | PF2 |2 ? 16 ①
2 2 2 又? ?F1 PF2 ? 90 ? | PF ② 1 | ? | PF 2 | ? (2 5 )

?

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联立①②解得? | PF1 || PF2 |? 2

? S ?F1PF2 ? 1
28.已知直线 l1 和 l 2 夹角的平分线为 y ? x ,若 l1 的方程是 ax ? by ? c ? 0(ab ? 0) ,则 l 2 的方程是( A bx ? ay ? c ? 0 正解: A 法一:l1 :ax ? by ? c ? 0 ? y ? ? ) 。 B ax ? by ? c ? 0 C bx ? ay ? c ? 0 D bx ? ay ? c ? 0

a c x ? ,而 l1 与 l 2 关于直线 y ? x 对称,则 l 2 b b

所表示的函数是 l1 所表示的函数的反函数。 由 l1 的方程得 x ? ?

a c y ? ? bx ? ay ? c ? 0 选 A b b

法二:找对称点(略) 误解:一般用找对称点法做,用这种方法有时同学不掌握或计算有误。 29.已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为 y ? ?

b x, (a ? 0, b ? 0) ,若双曲线上有 a
) 。 D 当 a ? b 时在 y 轴上

一点 M( x0 , y0 ) ,使 a | y0 |? b | x0 | ,那双曲线的交点( A 在 x 轴上 B 在 y 轴上 C 当 a ? b 时在 x 轴上

正解: B。 由 a y0 ? b x0 得

y0 b ? ,可设 x0 ? 0, y0 ? 0 ,此时 OM 的斜率大 x0 a

于渐近线的斜率,由图像的性质,可知焦点在 y 轴上。所以选 B。

x2 y2 误解:设双曲线方程为 2 ? 2 ? ? ,化简得: b2 x2 ? a2 y 2 ? ?a2b2 , a b
2 2 2 代入 ( x0 , y0 ) , b2 x0 ,? ? ? 0 ,? 焦点在 x 轴上。这个方 ? ?a2b2 ? a2 y0 ? b2 x0

法没错,但 ? 确定有误,应 ? ? 0 ,? 焦点在 y 轴上。 误解:选 B,没有分组。 30 .过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点作一条直线交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则
2

y1 y 2 为( x1 x 2
A 4



B -4

C p

2

D ?p

2

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正解: D。 特例法: 当直线垂直于 x 轴时,A(

yy p p ? p2 , p), B( , ? p), 1 2 ? 2 ? ?4 p 2 2 x1 x2 4

注意:先分别求出 x1 x2 , y1 y2 用推理的方法,既繁且容易出错。 31.直线 y ? ? x ? tan ? ? 2, ? ? ( A

?
2

, ? ) 的倾斜角是(
D

) 。

?

B ??

?
2

C

??

? ??

正解: D。由题意得:κ = ? tan? ? tan( ? ??)

? ? ? ( , ? ) ? ? ? ? ? (0, ) 2 2 ? 在[0,π ]内正切值为κ 的角唯一 ? 倾斜角为 ? ??

?

?

误解:倾斜角与题中显示的角 ? 混为一谈。

32.已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 与 l 2 : x ? (a ? 1) y ? a 2 ? 1 ? 0 平行,则实数 a 的取值是 A.-1 或 2 错解:A B.0 或 1 C.-1 D.2

错因:只考虑斜率相等,忽视 b1 ? b2 正解:C 33. 若圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 5) 2 ? r 2 上有且仅有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离为 1, 则半 径 r 的取值范围是( A. (4,6) 错解: B 或 C 错因::数形结合时考虑不全面, 忽视极限情况, 当 r =4 时, 只有一点, 当 r =6 时, 有三点. 正解: A 34.半径不等的两定圆 O1、O2 无公共点,动圆 O 与 O1、O2 都内切,则圆心 O 是轨迹是 ( ) A. 双曲线的一支 C. 双曲线的一支或椭圆 错解: A 或 B 错因:两定圆 O1、O2 无公共点,它们的位置关系应是外离或内含, 只考虑一种二错选. 正解: C. 35.与圆 x ? ( y ? 5) ? 3 相切,且纵截距和横截距相等的直线共有(
2 2

) . C. (4, 6] D.[4,6]

B.[4, 6)

B. D.

椭圆 抛物线或椭圆



A、2 条

B、3 条

C、4 条
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D、6 条

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答案:C 错解:A 错因:忽略过原点的圆 C 的两条切线 36.若双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的右支上一点 P(a,b)直线 y=x 的距离为 2 ,则 a+b 的值是 ( ) A、 ?

1 2

B、

1 2

C、 ?

1 2

D、 ? 2

答案:B 错解:C 错因:没有挖掘出隐含条件 a ? b

37.双曲线

x2 y2 ? ? 1 中,被点 P(2,1)平分的弦所在的直线方程为( 9 4
B、 8x ? 9 y ? 25 C、 4 x ? 9 y ? 6



A、 8x ? 9 y ? 7 答案:D 错解:A

D、不存在

错因:没有检验出 8x ? 9 y ? 7 与双曲线无交点。

二填空题:
1. 双曲线

x2 y2 ? ? 1 上的点 P 到点(5,0)的距离为 8.5, 则点 P 到点( ? 5,0 )的距离_______。 16 9
设双曲线的两个焦点分别为 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,

错解

由双曲线定义知 || PF 1 | ? | PF 2 ||? 8 所以 | PF 1 |? 16.5 或 | PF 1 |? 0.5 剖析 由题意知,双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为 1,

所以 | PF1 |? 0.5不合题意,事实上,在求解此类问题时,应灵活运用双曲线定义,分 析出点 P 的存在情况,然后再求解。如本题中,因左顶点到右焦点的距离为 9>8.5,故点 P 只能在右支上,所求 | PF 1 |? 16.5 2.直线 xCosx+y—1=0 的倾斜角θ 的取值范围为__________。 正确答案:θ ∈[0,

? 3? ]∪[ ,π ] 4 4

错误原因:由斜率范围求倾角范围在三角知识上出现错误;或忽视直线倾角的定义范围 而得出其它错误答案。 3.已知直线 l1 :x+y—2=0 l2 :7x—y+4=0 则 l1 与 l2 夹角的平分线方程为______。
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正确答案:6x+2y—3=0 错语原因:忽视两直线夹角的概念多求了夹角的邻补角的平分线方程。 4.过点(3,—3)且与圆(x—1)2 +y2 =4 相切的直线方程是:___________。 正确答案:5x+12y+21=0 或 x=3 错误原因:遗漏了斜率不存在的情形造成漏解。 5.已知双曲线的右准线为 x=4,右焦点 F(10,0)离心率 e=2,则双曲线方程为______。 正确答案:

( x ? 2) 2 y 2 ? ?1 16 48

错误原因:误认为双曲线中心在原点,因此求出双曲线的标准方程而出现错误。 6.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 e,且 e∈(1,2)则 k 的范围是________。 4 k

正确答案:k∈(—12,0) 错误原因:混淆了双曲线和椭圆的标准方程。 7. 已知点 F 是椭圆

x2 y 2 (x≥0) ? ? 1 的右焦点,点 A(4,1)是椭圆内的一点,点 P(x,y) 25 16
. (答案:5)

是椭圆上的一个动点,则 | FA | ?| AP | 的最大值是 8.直线 y=kx-2 与焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围为 5 m

答案:4≤m<5 点评:易忽略条件“焦点在 x 轴上” 。 9.一个椭圆的离心率为 e= ____________ 答案:3x2 +4y2 -8x=0 点评:易由条件得:c=2,
2 2

1 ,准线方程为 x=4 ,对应的焦点 F(2,0),则椭圆的方程为 2

c 1 ? 错写成标准方程,而忽略条件 x=4 未用。 a 2

10.若方程(9-m)x +(m-4)y =1 表示椭圆,则实数 m 的取值范围是_________ 答案:4<m<9 且 m ?

13 2

点评:易误填:4<m<9,而忽略方程可能表示圆的情况。 11.已知直线 l 与点 A(3,3)和 B(5,2)的距离相等,且过二直线 l1 :3x-y-1=0 和 l 2 : x+y-3=0 的交点,则直线 l 的方程为 错解:x+2y-5 = 0 错因:应该有两种可能,忽视经过 AB 中点的情况。 正解:x-6y+11 = 0 或 x+2y-5 = 0

x2 y2 ? ? 1 的左、 右焦点, P 为椭圆上一个点, 且| PF1 | :| PF2 |? 1 : 2 , 9 5 则 PF2 的斜率为____________.
12. 已知 F1 、F2 是椭圆

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错解:

15 15 或? 7 7 15 7

错因:忽视对称性, 只求出一解. 正解: ?

13.过圆外一点 P(5,-2)作圆 x2+y2 -4x-4y=1 的切线,则切线方程为__________。 错解:3x+4y-7 = 0 错因:忽视斜率不存在的情况,导致缺解。 正解:3x+4y-7 = 0 或 x = 5 14.如果方程 x2 +ky2 =2 表示椭圆,那么实数 k 的取值范围是____________ 错解: k ? 0 错因:忽视圆是椭圆的特殊情况。 正解: k ? 0, k ? 1

15 .经过双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的右焦点 F2 作倾斜角为 30 ? 的弦 AB,则 ?F1 AB 的周长 3



。 答案:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 其中

x1 ? 0, x2 ? 0, a ? 1, e ? 2, 则 AF , BF ), 1 ? ex1 ? a ? 2x1 ? 1 1 ? ?(2x2 ? 1
所以 AF 1 ? BF 1 ? 2( x1 ? x2 ) ,将弦 AB 的方程 y ?

3 ( x ? 2) 代入双曲线方程,整理得 3

1 13 3 3 8 x 2 ? 4 x ? 13 ? 0, 所以 x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? ? , 则 AB ? 3 ,可求得 x1 ? x2 ? 故 2 8 2
答案为 3 ? 3 3 错解:10 错因:作图错误,没有考虑倾斜角为 30 ? 的直线与渐近线的关系,而误将直线作成与 右支有两交点。
2 16.若直线 y=x+b 与曲线 x ? 1 ? y 恰有一个公共点, 则有 b 的取值范围是



答案: (?1 ,1] ? {? 2} 错解: ?

2

2 错因:将 x ? 1 ? y 所作变形不是等价变形,扩大为圆研究。

17.若平面上两点 A(-4,1) , B(3,-1) ,直线 y ? kx ? 2 与线段 AB 恒有公共点,则 k 的取值范围是 。
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1 或k ? ?1 4 1 错解: ? 1 ? k ? 4
答案: k ? 错因:没理清斜率与倾斜角的变化关系。

?x ? y ? z ? 1 ?0 ? x ? 1 ? 18.设 x,y,z 满足约束条件组 ? 则 t=3x+6y+4z 的最大值为 ?0 ? y ? 2 ? ?3 x ? z ? 2
正确答案:5 错误原因:未想到利用等量关系 z=1-x+y 转化为我们熟悉的线性规则问题。 19.双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到左焦点距离为 20, 则点 P 到右准线的距离为 64 36
16 144 或 5 5

正确答案:

错误原因:忽视本题应为两解。 20.已知 F1 ,F2 分别为中心在原点的双曲线的左右焦点,点 P 在双曲线上,若△POF2 是面 积为 1 的正三角形,则 b 的值为 正确答案: 2

错误原因:点 P(

C 3 , C )未能正确写出。 2 2

21.已知 OF ? ?1 , 0?, OT ? ?? 1,t ?, FM ? MT , PM ? FT, PT ∥ OF ,O 为坐标原点,当 t 变化时,则点 P 的轨迹方程为 2 正确答案:抛物线 y =4x 错误原因:本题是以向量形式给出的已知条件,故很多学生未能看出这些条件的几何意义。

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