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高中数学选修2-2 16 微积分基本定理导学案及练习题


[学习要求] 1 .直观了解并掌握微积分基本定理的含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的积分. [学法指导] 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,直观了解微积分基本定理的含义.微积分基 本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,而且还提供了计算定积分的一种有效方法. 1. 微积分基本定理:如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且__________, 那么?b

af(x)dx=__________. 2.定 积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,x 轴下方的面积为 S 下,则 (1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时,如图(1),则?b af(x)dx=______. (2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时,如图(2),则?b af(x)dx=______. (3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时,如图(3),则?b af(x)dx=__________, 若 S 上=S 下,则?b af(x)dx=____. x.k.b.1 探究点一 微积分基本定理 1 课堂引入 你能用定义计算?2 1 dx 吗?有没有更加简便、有效的方法求定积分呢? x 问题 1 如下图,一个做变速直线运动的物体的运动规律是 y=y(t),并且 y(t)有连续的导数,由 导数的概念可知,它在任意时刻 t 的速度 v(t)=y′(t).设这个 物体在时间段[a,b]内的位移 为 s, 你能分别用 y(t),v(t)表示 s 吗? 问题 2 对一个连续函数 f(x)来说, 是否存在唯一的 F(x),使 F′(x)=f(x)? X K B 1.C O M 例 1 计算下列定积分: 1 1 3 0 x (1)?2 1 dx;(2)?1 (2x- 2)dx;(3)?-π (cosx-e )dx. x x 跟踪训练 1 4 (1)?10 2 5x dx; 计算下列定积分: 1 2 (2)?3 ) 6xdx. 1 ( x+ x w!w!w.!x!k!b!1.com 探究点二 分段函数的定积分 sin x,0≤x≤ , ? 2 ? f(x)=? π 1, ≤x≤2, 2 ? ?x-1,2≤x≤4. π 例 2 已知函数 先画出函数图象,再求这个函 数在 [0,4]上的定积 分. www.xkb1.com 跟踪训练 2 新课标第一网不用注册,免费下载! ?x2, x≤0, ? a 2 (1)设 f(x)=? 求?1 -1f(x)dx;(2)求?-a x dx(a>0). ?cos x-1, x>0, ? 探究点三 定积分的应用 例 3 计算下列定积分: 2π 2π ?π 0sinxdx,?π sinxdx,?0 sinxdx.由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发 现的结 论. xkb1.com xkb1 π 5 跟踪训练 3 求曲线 y=sin x 与直线 x=- ,x= π,y=0 所围 图形的面积(如图所示). 2 4 [达标检测] 1. ? π 2 π ? 2 (1 ? cos x) d x 等于( ) A.π B.2 C.π-2 D.π+2 a 2.若?1 (2x+)d x=3+ln 2,则 a 的值是 () A.5 B.4 C .3 D.2 2 2 3.?2 0 (x - x)dx=________. 3 π 4x-2π,0≤x≤ , 2 π 4.已知 f(x)= ,计算?0 f(x)dx. π cos x, <x≤π 2 ? ? ? [小结]

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