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高中数学必修5知识点总结及经典例题


必修 5 知识点总结
1、正弦定理:在 ???C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ???C 的外接圆的半径,则 有

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C

2、正弦定理的变形公式:① a ? 2R sin ? , b ? 2R sin ? , c ? 2R sin C ;

a b c , sin ? ? , sin C ? ;③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; 2R 2R 2R a?b?c a b c ④ . ? ? ? sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C
② sin ? ? (正弦定理主要用来解决两类问题: 已知两边和其中一边所对的角, 1、 求其余的量。 已知两角和一边, 2、 求其余的量。 ) ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。 (一解、两解、无解三中情况) 如:在三角形 ABC 中,已知 a、b、A(A 为锐角)求 B。具体的做法是:数形结合思想 画出图:法一:把 a 扰着 C 点旋转,看所得轨迹以 AD 有无交点: 当无交点则 B 无解、 当有一个交点则 B 有一解、 当有两个交点则 B 有两个解。 法二:是算出 CD=bsinA,看 a 的情况: 当 a<bsinA,则 B 无解 当 bsinA<a≤b,则 B 有两解 当 a=bsinA 或 a>b 时,B 有一解 注:当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式: S???C ? A b bsinA D a C

1 1 1 bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2

4、余弦定理:在 ???C 中,有 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos ? , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos ? ,

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
5、余弦定理的推论: cos ? ?

b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 , cos ? ? , cos C ? . 2bc 2ab 2ac

(余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角) 6、 如何判断三角形的形状: a 、 、 是 ???C 的角 ? 、 、 的对边, ①若 a 2 ? b2 ? c 2 , C ? 90? ; 设 则: 则 b c ? C ②若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则 C ? 90? ;③若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则 C ? 90? . A 正余弦定理的综合应用:如图所示:隔河看两目标 A、B,
1

B

但不能到达,在岸边选取相距 3 千米的 C、D 两点, 并测得∠ACB=75 , ∠BCD=45 , ∠ADC=30 , ∠ADB=45 (A、B、C、D 在同一平面内),求两目标 A、B 之间的距离。 本题解答过程略
O O O O

附:三角形的五个“心” ; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列. 11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列(即:an+1>an) . 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列(即:an+1<an) . 13、常数列:各项相等的数列(即:an+1=an) . 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 15、数列的通项公式:表示数列 ? an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 16、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式. 17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这 个常数称为等差数列的公差.符号表示: an ?1 ? an ? d 。注:看数列是不是等差数列有以下三种方法: ① an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数) ②2 a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 ) ③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数 18、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的等差中项.若

b?

a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2

19、若等差数列

?an ? 的首项是 a ,公差是 d ,则 a
1

n

? a1 ? ? n ? 1? d .

20、通项公式的变形:① an

? am ? ? n ? m ? d ;② a1 ? an ? ? n ? 1? d ;③ d ?
2

an ? a1 ; n ?1

④n ?

an ? am an ? a1 ? 1;⑤ d ? n?m d


*

21、若 ? an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an 差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 2an
*

? a p ? aq ;若 ?an ? 是等

? a p ? aq .
Sn ? n ? a1 ? an ? 2
; ②

22 、 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 公 式 : ①

Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? 2

d .③

sn ? a1 ? a2 ? ? ? an
23、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ? * ,则 S 2 n

?

?

? n ? an ? an ?1 ? ,且 S偶 ? S 奇 ?nd



S奇 S偶

?

an an ?1



* ②若项数为 2n ? 1 n ? ? ,则 S 2 n ?1 ? ? 2n ? 1? an ,且 S奇 ? S偶 ? an ,

?

?

S奇 S偶

?

n (其中 S奇 ? nan , n ?1

S偶 ? ? n ? 1? an ) .
24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这 个常数称为等比数列的公比.符号表示:

an ?1 ? q (注:①等比数列中不会出现值为 0 的项;②同号位上 an

的值同号) 注:看数列是不是等比数列有以下四种方法:
2 ① a n ? a n?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0) ② a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 , a n a n?1a n?1 ? 0 )

③ a n ? cq n ( c, q 为非零常数). ④正数列{ a n }成等比的充要条件是数列{ log x a n }( x ? 1 )成等比数列. 25、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若 G 2 ? ab , 则称 G 为 a 与 b 的等比中项. (注:由 G 2 ? ab 不能得出 a , G , b 成等比,由 a , G , b ? G 2 ? ab )
n ?1 26、若等比数列 ? an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q .

27、通项公式的变形:① an

? am q n ? m ;② a1 ? an q

?? n ?1?

;③ q n ?1 ?
*

a n?m an ? n . ;④ q am a1

28、若 ? an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;若 ? an ? 是等比
3

数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 an
*

2

? a p ? aq .

?na1 ? q ? 1? ? 29、 等比数列 ? an ? 的前 n 项和的公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q ① . sn ② 1 n ? ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
30、对任意的数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: a n ? ?

? a1 ? a2 ? ? ? an

?s1 ? a1 (n ? 1) ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

[注]: ① a n ?a1 ??n ? 1?d ? nd ? ?a1 ?d ?( d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也是等差数 列)→若 d 不为 0,则是等差数列充分条件). ②等差{ a n }前 n 项和 S n ? An 2 ? Bn ? ? ?n 2 ?? a 1 ? ?n
? ?d ? ?2? ? d? 2?



d 可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若 2

d 为零,则是等差数列的充分条件;若 d 不为零,则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) .. 附:几种常见的数列的思想方法: ⑴等差数列的前 n 项和为 S n ,在 d ? 0 时,有最大值. 如何确定使 S n 取最大值时的 n 值,有两种方法: 一是求使 a n ? 0, a n?1 ? 0 ,成立的 n 值;二是由 S n ? 数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下: 数列 等差数列 等比数列 通项公式 对应函数 ( 时为一次函数)
d 2 d n ? (a1 ? )n 利用二次函数的性质求 n 的值. 2 2

(指数型函数)

数列 等差数列 等比数列

前 n 项和公式

对应函数 ( 时为二次函数)

(指数型函数)

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱” ,将数列的通项公式以及前 n 项和看成是关于 n 的函数,为 我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。 例题:1、等差数列 中, , 则 .

4

分析:因为

是等差数列,所以

是关于 n 的一次函数, )三点共线,

一次函数图像是一条直线,则(n,m),(m,n),(m+n,

所以利用每两点形成直线斜率相等,即

,得

=0(图像如上) ,这里利用等差数

列通项公式与一次函数的对应关系,并结合图像,直观、简洁。 例题:2、等差数列 中, ,前 n 项和为 ,若 ,n 为何值时 最大?

分析:等差数列前 n 项和

可以看成关于 n 的二次函数

=



是抛物线

=

上的离散点,根据题意,



则因为欲求 最大。

最大值, 故其对应二次函数图像开口向下, 并且对称轴为

, 即当

时,

例题:3 递增数列

,对任意正整数 n, 递增得到: 恒成立,设

恒成立,求 对于一切 恒成立,即 ,则只需求出 。 ,因为是递 的最大值即

分析: 构造一次函数, 由数列 恒成立,所以 可,显然 有最大值 对一切

,所以 看成函数

的取值范围是:

构造二次函数,

,它的定义域是

增数列, 即函数

为递增函数, 单调增区间为

,抛物线对称轴

, 因为函数 f(x)

为离散函数,要函数单调递增,就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看,对称轴 的左侧



也可以(如图) ,因为此时 B 点比 A 点高。于是,

,得

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前 n 项和可依照等比数列前

5

1 1 1 n 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如: 1? ,3 ,...(2n ? 1) n ,... 2 4 2

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项, 公差是两个数列公差 d1,d 2 的最小公倍数. 2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证

a n ? a n ?1 (

an ) 为 同 一 常 数 。 (2) 通 项 公 式 法 。 (3) 中 项 公 式 法 : 验 证 2a n ?1 ? a n ? a n ?2 a n ?1

2 (a n ?1 ? a n a n ? 2 )n ? N 都成立。

3. 在等差数列{ a n }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ?

?a m ? 0 的项数 m 使得 s m 取最 ?a m ?1 ? 0

大值. (2)当 a1 <0,d>0 时,满足的项数 m 使得 s m 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思 想的应用。 附:数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 ? 的数列等。 例题:已知数列{an}的通项为 an=

?

c ? ? 其中{ a n }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分无理数列、含阶乘 ? a n a n ?1 ?

1 ,求这个数列的前 n 项和 Sn. n( n ? 1)

解:观察后发现:an=

1 1 ? n n ?1

sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an


1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 1 ? 1? n ?1

3.错位相减法:适用于 ?a n bn ? 其中{ a n }是等差数列, ?bn ? 是各项不为 0 的等比数列。
n 例题:已知数列{an}的通项公式为 an ? n ? 2 ,求这个数列的前 n 项之和 sn 。

解:由题设得:

sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an
= 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? ? n ? 2n
6



sn = 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? ? n ? 2n ①
把①式两边同乘 2 后得

2sn = 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ??? ? n ? 2n?1 ②
用①-②,即:

sn = 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? ? n ? 2n ①
2sn = 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ??? ? n ? 2n?1 ②


? sn ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 2 n ? n ? 2 n ?1 2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2 ? 2n ?1 ? 2 ? n ? 2n ?1 ? ? (1 ? n)2n ?1 ? 2
∴ sn ? (n ? 1)2n ?1 ? 2 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5.常用结论

n(n ? 1) 2 1): 1+2+3+...+n = 2)1+3+5+...+(2n-1) = n 2
4) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

?1 ? 3) 1 ? 2 ? ? ? n ? ? n(n ? 1)? ?2 ?
3 3 3

2

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

5)

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? 2) 2 n n ? 2

6)

1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q

31、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 32、不等式的性质:① a ? b ? b ? a ;② a ? b, b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ,

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ;
? b n ? n ? ?, n ? 1? ;

? d ? 0 ? ;⑦ a?bbd? a ac ? ? 0 ⑥
⑧a ?b ? 0?
n

n

a ? n b ? n ? ?, n ? 1? .
7

33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式(高次不等式)的解法 穿根法(零点分段法) 求解不等式: a0 x n ? a1 x n?1 ? a 2 x n?2 ? ? ? a n ? 0(? 0)( a0 ? 0) 解法:①将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)?(x-xm)>0(<0)形式,并将各因式 x 的系数化“+” ;(为了统一 方便) ②求根,并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来; ③由右上方穿线(即从右向左、从上往下:偶次根穿而不过,奇次根一穿而过) ,经过数轴上表示各 根的点(为什么?) ; ④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在 x 轴上方的区间;若不等式是“<0”,则 找“线”在 x 轴下方的区间.

+ X1

+ — X2 — X3 Xn-2

+ Xn-1 — — Xn

+ X

(自右向左正负相间) 例题:求不等式 x 2 ? 3x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 的解集。 解:将原不等式因式分解为: ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 4) ? 0 由方程: ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 4) ? 0 解得 x1 ? ?2, x2 ? 1, x3 ? 4 将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来,如图

+

+ 1

?

-2

?

4

x

8

由图可看出不等式 x 2 ? 3x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 的解集为:

?x | ?2 ? x ? 1, 或x ? 4?
例题:求解不等式 解:略

( x ? 1)( x ? 2)( x ? 5) ? 0 的解集。 ( x ? 6)( x ? 4)

一元二次不等式的求解: 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; ②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a>0)解的讨论.
2

??0
二次函数

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象 一元二次方程 有两相等实根

有两相异实根

ax 2 ? bx ? c ? 0

?a ? 0?的根
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

?x x

1

? x ?x2?

?

?

对于 a<0 的不等式可以先把 a 化为正后用上表来做即可。 2.分式不等式的解法 (1)标准化:移项通分化为

f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) >0(或 <0); ≥0(或 ≤0)的形式, g ( x) g ( x) g ( x) g ( x)

9

(2)转化为整式不等式(组)

f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; ? 0 ? ? f ( x) g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 ? g ( x) g ( x)

例题:求解不等式: 解:略 例题:求不等式

1 ? ?1 x

x ? 1 的解集。 x ?1

3.含绝对值不等式的解法: 基本形式: ①型如:|x|<a ②型如:|x|>a 变型: (a>0) 的不等式 的解集为: ? x | ?a ? x ? a? (a>0) 的不等式 的解集为: ? x | x ? ?a, 或x ? a?

| ax ? b |? c(c ? 0)型的不等式的解集可以由? x | ?c ? ax ? b ? c? 解得。 其中-c<ax+b<c 等价于不等
式组 ?

?ax ? b ? c ?ax ? b ? ?c

在解-c<ax+b<c 得注意 a 的符号

ax ? b ? c(c ? 0) 型的不等式的解法可以由 ? x | ax ? b ? c, 或ax ? b ? ?c? 来解。
③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式:用“零点分区间法”分类讨论来解. ④绝对值不等式解法中常用几何法:即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 例题:求解不等式 | x ? 2 |? 1 解:略 例题:求解不等式: | x ? 2 | ? | x ? 3|? 10 解:零点分类讨论法: 分别令 x ? 2 ? 0和x ? 3 ? 0 解得: x ? ?3和x ? 2 在数轴上,-3 和 2 就把数轴分成了三部分,如右上图 ①当 x ? ?3 时, (去绝对值符号)原不等式化为:

?3

2

x

11 ? ??( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 10 11 ?x ? ? ?? 2 ? ? ? x ? ?3 ? 2 ? x ? ?3 ? x ? ?3 ?
②当 ?3 ? x ? 2 时, (去绝对值符号)原不等式化为:
10

??3 ? x ? 2 ? ?3 ? x ? 2 ?? ? ?3 ? x ? 2 ? ??( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 10 ?x ? R
③当 x ? 2 时, (去绝对值符号)原不等式化为:

?x ? 2 ?x ? 2 9 ? ?? ? 9 ?2? x? 2 ?( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 10 ?x ? 2 ?
由①②③得原不等式的解集为: ? x | ? 函数图像法: 令 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 3|

? ?

11 9? ? x ? ? (注:是把①②③的解集并在一起) 2 2?
y

f ( x) =10
5

? ?2 x ? 1 ( x ? ?3) ? ? 则有: f ( x ) ? ?5 ( ?3 ? x ? 2) ? ? 2 x ? 1 ( x ? 2) ?
在直角坐标系中作出此分段函数及 f ( x) ? 10 的图像如图 由图像可知原不等式的解集为: ? x | ?
2

?

11 ?3 2

o

2

9 2

x

? ?

11 9? ?x? ? 2 2?

4.一元二次方程 ax +bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析: y 设 ax +bx+c=0 的两根为 ?、? ,f(x)=ax +bx+c,那么:
2 2

?? ? 0 ? ①若两根都大于 0,即 ? ? 0, ? ? 0 ,则有 ?? ? ? ? 0 ?? ? ? ? 0 ?

o

?
对称轴 x= ?

?
b 2a

x

?? ? 0 ? b ? ?0 ②若两根都小于 0,即 ? ? 0, ? ? 0 ,则有 ? ? 2a ? ? f (0) ? 0 ?

y

?
对称轴 x= ?
11

?
b 2a

o

x

y ③若两根有一根小于 0 一根大于 0,即 ? ? 0 ? ? ,则有 f (0) ? 0 o x

?
y ④若两根在两实数 m,n 之间,即 m ? ? ? ? ? n ,

?

?? ? 0 ? ?m ? ? b ? n ? 则有 ? 2a ? f (m) ? 0 ? ? f (n) ? 0 ?
⑤若两个根在三个实数之间,即 m ? ? ? t ? ? ? n ,

o

m

?
X= ?

?
b 2a

n

x

y

? f (m) ? 0 ? 则有 ? f (t ) ? 0 ? f (n) ? 0 ?
o m

?
X= ?

t

?

n

x

b 2a

常由根的分布情况来求解出现在 a、b、c 位置上的参数 例如:若方程 x ? 2(m ? 1) x ? m ? 2m ? 3 ? 0 有两个正实数根,求 m 的取值范围。
2 2

?4(m ? 1)2 ? 4(m2 ? 2m ? 3) ? 0 ?? ? 0 ? m ? ?1 ? ? ? 解:由①型得 ?? ? ? ? 0 ? ?2(m ? 1) ? 0 ? ? m ? ?1 ? m?3 ?? ? ? ? 0 ? m ? ?1, 或m ? 3 ? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 ? ? ?
所以方程有两个正实数根时, m ? 3 。 又如:方程 x 2 ? x ? m2 ? 1 ? 0 的一根大于 1,另一根小于 1,求 m 的范围。

? 5 5 2 2 ? ?? ? 0 ?m? ?? ?( ?1) ? 4( m ? 1) ? 0 解: 因为有两个不同的根, 所以由 ? ?? 2 ?? 2 2 ? ?1 ? m ? 1 2 ?1 ? 1 ? m ? 1 ? 0 ? f (1) ? 0 ? ? ?1 ? m ? 1 ?
35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是1 的不等式.
12

36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对 ? x, y ? ,所有这 样的有序数对 ? x, y ? 构成的集合. 38、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x0 , y0 ? . ①若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方. 39、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 . (一)由 B 确定: ① 若 ? ? 0 , 则 ?x ? ?y ?C ? 表 示 直 线 ?x ? ?y ? C ? 0 上 方 的 区 域 ; ?x ? ?y ? C ? 0 表 示 直 线 0

?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域.
② 若 ? ? 0 , 则 ?x ? ?y ?C ? 表 示 直 线 ?x ? ?y ? C ? 0 下 方 的 区 域 ; ?x ? ?y ? C ? 0 表 示 直 线 0

?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域.
(二)由 A 的符号来确定: 先把 x 的系数 A 化为正后,看不等号方向: ①若是“>”号,则 ?x ? ?y ? C ? 0 所表示的区域为直线 l: ?x ? ?y ? C ? 0 的右边部分。 ②若是“<”号,则 ?x ? ?y ? C ? 0 所表示的区域为直线 l: ?x ? ?y ? C ? 0 的左边部分。 (三)确定不等式组所表示区域的步骤: ①画线:画出不等式所对应的方程所表示的直线 ②定测:由上面(一) (二)来确定 ③求交:取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。

?2 x ? y ? 5 ? 0 ? 例题:画出不等式组 ? y ? 3 x ? 5 所表示的平面区域。 ?2 y ? x ? 5 ? 0 ?
解:略 40、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式.
13

线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数. 2 a?b 42、均值不等式定理:若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 ? ab . 2
41、设 a 、 b 是两个正数,则 43 、 常 用 的 基 本 不 等 式 : ① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ?
2 2

a 2 ? b2 ; ② ab ? ? a, b ? R ? ; ③ 2

? a?b? ab ? ? ? ? a ? 0, b ? 0 ? ; ? 2 ?
2

a 2 ? b2 ? a ? b ? ④ ?? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ?
2

44、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有:

s2 ⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值 .⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 4
时,和 x ? y 取得最小值 2 p . 例题:已知 x ? 解:∵ x ?

5 1 ,求函数 f ( x) ? 4 x ? 2 ? 的最大值。 4 4x ? 5

5 ,∴ 4x ? 5 ? 0 4

由原式可以化为:

f ( x) ? 4 x ? 5 ? 5 ? 2 ?

1 1 1 1 ? ?(5 ? 4 x) ? ? 3 ? ?[(5 ? 4 x) ? ] ? 3 ? ? (5 ? 4 x) ? ? 3 ? ?1 ? 3 ? 2 4x ? 5 5 ? 4x 5 ? 4x 5 ? 4x

当 5 ? 4x ?

1 3 2 ,即 (5 ? 4 x) ? 1 ? x ? 1 时取到“=”号 ,或x ? (舍去) 5 ? 4x 2

也就是说当 x ? 1 时有 f ( x) max ? 2

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