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抛物线----学案(优)




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抛物线----学案

一、知识点归纳
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1 抛物线的定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线, 即_____________________,定点 F 叫做抛物线的_______,定直线 l 叫做抛物线的______. 2 抛物线的图形和性质: ① 顶点 0 是焦准距 FK 的________。
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② 焦准距:________________ ③ 通径:过焦点垂直于轴的弦长为__________。

y
M2

P

K
M1

o

F Q

x

④顶点平分焦点到准线的垂线段: OF ? OK ?

p 。 2

3 抛物线标准方程的四种形式:
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y 2 ? ________ ,y 2 ? _________x 2 ? ________ ,x 2 ? _______ 。

4 抛物线 y ? 2 px 的图像和性质:
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2

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(1)焦点坐标是

, _____________ 。 _____________

②准线方程是:

③焦半径公式:若点 P( x0 , y0 ) 是抛物线 y 2 ? 2 px 上一点,则该点到抛物线的焦点的距离 (称为焦半径)是: PF ? x0 ?

p , 2 p p ? x2 ? ? x1 ? x2 ? p 2 2

④ 点弦长公式:过焦点弦长

PQ ? x1 ?

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5 一般情况归纳:
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方程

图象

焦点

准线

定义特征 到焦点的距离等 于到准线的距离

y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

二、题型讲解
例 1、选择题

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1 抛物线 y ? x 的焦点坐标为(
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2

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) C ( , 0)
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A (0,
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1 ) 4

B (0, ?
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1 ) 4

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1 4

D (?
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1 , 0) 4

2 已知点 A(3,4), F 是抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,M 是抛物线上的动点,当 MA ? MF 最小时,M
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点坐标是 A (0, 0)
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(
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) B (3, 2 6 )
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C ( 2, 4)
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D (3, ? 2 6 )
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2 3 过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,若 x1 ? x2 ? 6 ,那么
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AB 等于 ( )
A
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10

B

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8

C

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6

D

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4

4 抛物线顶点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线 x ? y ? 2 ? 0 上,则其方程为 (
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)

A C

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y 2 ? 4 x 或 x 2 ? ?4 y
x 2 ? 8 y 或 y 2 ? ?8x

B D

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x 2 ? 4 y 或 y 2 ? ?4x
不确定

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5 过点(0, 2)与抛物线 y 2 ? 8x 只有一个公共点的直线有 (
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)
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A

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1条

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2条

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无数条

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例 2、 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程: (1)过点(-3,2) ; (2)焦点在直线 x-2y-4=0 上
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例 3、已知抛物线 y 2 ? ? x 与直线 y ? k ( x ? 1) 相交于 A、B 两点 , ①求证; OA ? OB ; ②当 ?OAB 的面积等于 10 时,求 k 的值

y A N O x

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例 4 已知抛物线 y2=8x 上两个动点 A、B 及一个定点 M(x0, y0) ,F 是抛物线的焦点, 且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于一点 N (1)求点 N 的坐标(用 x0 表示) ;
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(2)过点 N 与 MN 垂直的直线交抛物线于 P、Q 两点,若|MN|=4 2 ,求△MPQ 的面积

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例 5、知抛物线 y 2 ? 4 x ,焦点为 F,顶点为 O,点 P 在抛物线上移动,Q 是 OP 的中点, M 是 FQ 的中点,求点 M 的轨迹方程. (12 分)

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旗 三.家庭作业

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1. 抛物线 x 2 ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4, 则点 A 与抛物线焦点的距离为_______________。

2.抛物线 y ? 2 x 2 的焦点坐标是______________。 3.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上的点 P(m,?3) 到焦点的距离为 5,则抛物 线方程为______________。 4.顶点在原点,坐标轴为对称轴的抛物线过点(-2,3),则它的方程是______________。 5. 动圆 M 经过点 A?3,0? 且与直线 l :x ? ?3 相切, 则 M 的圆心轨迹方程为 。

6.边长为 1 的等边△AOB,O 为原点,AB⊥ x 轴,以 O 为顶点且过 A、B 的抛物线方程 是 。 7.在抛物线 y 2 ? ?8x 中,以(-1,-1)为中点的弦所在的直线的方程为



8. . 已知抛物线的顶点在原点, 焦点在 y 轴上, 且抛物线上一点 (?3, m) 到焦点的距离为 5, 求抛物线的方程。

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