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等差数列高考题1


一、选择题 3.(2009 安徽卷文)已知 为等差数列, ,则 等

于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵ a1 ? a3 ? a5 ? 105 即 3a3 ? 105 ∴ a3 ? 35 同理可得 a4 ? 33 ∴公差 d ? a4 ? a3 ? ?2 ∴ a20 ? a4 ? (20 ? 4) ? d ? 1 .选 B。 【答案】B 4

.(2009 江西卷文)公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n .若 a4 是 a3与a7 的等比中 项, S8 ? 32 ,则 S10 等于 A. 18 答案:C
2

B. 24

C. 60
2

D. 90

.

【 解 析 】 由 a4 ? a3a7 得 (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) 得 2a1 ? 3d ? 0 , 再 由

56 d ? 32 得 2 90 S1 0? 10a ?1 d ? 60 ,.故选 C 2 S8 ? 8a1 ?

2a1 ? d ? 7

8 则 d ? 2, a1 ? ?3 , 所 以

5.(2009 湖南卷文)设 S n 是等差数列 ? an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S 7 等于 【 C 】 A.13 解: S7 ? B.35 C.49 D. 63

7(a1 ? a7 ) 7(a2 ? a6 ) 7(3 ? 11) ? ? ? 49. 故选 C. 2 2 2
?a2 ? a1 ? d ? 3 ?a ? 1 ?? 1 , a7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 13. ?a6 ? a1 ? 5d ? 11 ?d ? 2

或由 ?

7(a1 ? a7 ) 7(1 ? 13) ? ? 49. 故选 C. 2 2 6.(2009 福建卷理)等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S 3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于
所以 S7 ? A.1 【答案】:C [解析]∵ S3 ? 6 ? B

5 3

C.- 2

D3

3 (a1 ? a3 ) 且 a3 ? a1 ? 2d a1 =4 ? d=2 .故选 C 2

.

7.(2009 辽宁卷文)已知 ? an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= (A)-2 (B)-

1 2

(C)

1 2

(D)2

【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 ? d=- 【答案】B

1 2

10.(2009 四川卷文)等差数列{ a n }的公差不为零,首项 a1 =1, a 2 是 a1 和 a 5 的等比中 项,则数列的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 【答案】B
2

C. 145

D. 190

【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) ? 1 ? (1 ? 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =100 12.(2009 湖北卷文)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如:

.

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数; 类似地,称图 2 中的 1,4,9,16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正 方形数的是 A.289 【答案】C 【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项 a ?
n

B.1024

C.1225

D.1378

n ( n ? 1) ,同理可得正方形数构成的数 2 n ( n ? 1) 知 a n 必为奇数, 2

n 列通项 bn ? n ,则由 bn ? n ( n ? N ? ) 可排除 A、D,又由 a ?
2 2

故选 C. 14.(2009 重庆卷文)设 ? an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则

?an ? 的前 n 项和 S n =(
n2 7n ? A. 4 4
【答案】A



n 2 5n ? B. 3 3

n 2 3n ? C. 2 4

D. n ? n
2

解析设数列 {an } 的公差为 d ,则根据题意得 (2 ? 2d )2 ? 2? (2? 5 ),解得 d ? d

1 或 2

d ? 0 (舍去),所以数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ?

n(n ? 1) 1 n 2 7n ? ? ? 2 2 4 4

15.(2009 安徽卷理)已知 ? an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,以 S n 表示

?an ? 的前 n 项和,则使得 S n 达到最大值的 n 是
(B)20 (C)19

(A)21

(D) 18

[解析]:由 a1 + a3 + a5 =105 得 3a3 ? 105, 即 a3 ? 35 ,由 a2 ? a 4 ? a 6 =99 得 3a4 ? 99 即

? an ? 0 得 n ? 20 ,选 B a4 ? 33 ,∴ d ? ?2 , an ? a4 ? (n ? 4) ? (?2) ? 41 ? 2n ,由 ? ? an ?1 ? 0
17.(2009 四川卷文)等差数列{ a n }的公差不为零,首项 a1 =1, a 2 是 a1 和 a 5 的等比中 项,则数列的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 【答案】B
2

C. 145

D. 190

.

【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) ? 1 ? (1 ? 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =100 二、填空题 1. ( 2009 全 国 卷 Ⅰ 理 ) 设 等 差 数 列 ? an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 若 S9 ? 72 , 则

a2 ? a4 ? a9 =



解: ??an ? 是等差数列,由 S9 ? 72 ,得? S9 ? 9a5 , a5 ? 8

? a2 ? a4 ? a9 ? (a2 ? a9 ) ? a4 ? (a5 ? a6 ) ? a4 ? 3a5 ? 24 .
6. ( 2009 北 京 理 ) 已 知 数 列 {an } 满 足 : a4 n ? 3? 1 , a
4 n ?

? 0 ,a n2 ? 1

an ? ,n

?

N , 则

a2009 ? ________; a2014 =_________.
【答案】1,0 【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. 依题意,得 a2009 ? a4?503?3 ? 1 , a2014 ? a2?1007 ? a1007 ? a4?252?1 ? 0 . ∴应填 1,0.
.

__ 8.(2009 山东卷文)在等差数列 {a n } 中, a3 ? 7, a5 ? a 2 ? 6 ,则 a6 ? __________ .
【解析】:设等差数列 {a n } 的公差为 d ,则由已知得 ?

?

a1 ? 2d ? 7

?a1 ? 4d ? a1 ? d ? 6

解得 ?

?a1 ? 3 ,所以 ?d ? 2

a6 ? a1 ? 5d ? 13 .

答案:13. 【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算. 10.(2009 湖 北 卷 理 ) 已 知 数 列

?an ?

满 足 : a1=m ( m 为 正 整 数 ) ,

? an ? , 当an为偶数时, an ?1 ? ? 2 若 a6=1 ,则 m 所有可能的取值为__________。 ?3an ? 1 , an为奇数时。 当 ?
11.【答案】4 5 32 【解析】(1)若 a1 ? m 为偶数,则

.

a a1 m m 为偶, 故 a2 ? a3 ? 2 ? 2 2 4 2 m m m m ①当 仍为偶数时, a4 ? ??????a6 ? 故 ? 1 ? m ? 32 8 32 32 4 3 m ?1 3 m 4 ②当 为奇数时, a4 ? 3a3 ? 1 ? m ? 1 ?????? a6 ? 4 4 4 3 m ?1 故4 ? 1 得 m=4。 4 3m ? 1 (2)若 a1 ? m 为奇数,则 a2 ? 3a1 ? 1 ? 3m ? 1 为偶数,故 a3 ? 必为偶数 2 3m ? 1 3m ? 1 ,所以 =1 可得 m=5 ?????? a6 ? 16 16
12. (2009 全国卷Ⅱ理) 设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , a5 ? 5a3 则 若

S9 ? S5

9

.

解:??an ? 为等差数列,?

S9 9a5 ? ?9 S5 5a3

13.(2009 辽宁卷理)等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ?
1 【解析】∵Sn=na1+ n(n-1)d 2

.

∴S5=5a1+10d,S3=3a1+3d ∴6S5-5S3=30a1+60d-(15a1+15d)=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4 【答案】
1 3

15. ( 2009 陕 西 卷 文 ) 设 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 sn , 若 a6 ? s3 ? 12 , 则

an ?
答案:2n

.

.

解析:由 a6 ? s3 ? 12 可得 ?an ? 的公差 d=2,首项 a1 =2,故易得 an ? 2n. 6.(2009 江苏卷)(本小题满分 14 分) 设 ? an ? 是公差不为零的等差数列, S n 为其前 n 项和,满足 a2 ? a3 ? a4 ? a5 , S7 ? 7 。
2 2 2 2

(1)求数列 ? an ? 的通项公式及前 n 项和 S n ; (2)试求所有的正整数 m ,使得

am am?1 为数列 ? an ? 中的项。 am? 2

【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力。满 分 14 分。 (1)设公差为 d ,则 a2 为d
2 2 2 2 ? a5 ? a4 ? a3 ,由性质得 ?3d (a4 ? a3 ) ? d (a4 ? a3 ) ,因

? 0 ,所以 a4 ? a3 ? 0 ,即 2a1 ? 5d ? 0 ,又由 S7 ? 7 得 7a1 ?
? ?5 ,d ? 2 ,
am am?1 (2m ? 7)(2m ? 5) = ,设 2m ? 3 ? t , am? 2 2m ? 3
所以 t 为 8 的约数

7?6 d ?7, 2

解得 a1 (2)

(方法一) 则

am am?1 (t ? 4)(t ? 2) 8 = ? t ? ? 6, am? 2 t t

(方法二)因为

am am?1 (am? 2 ? 4)(am? 2 ? 2) 8 ? ? am? 2 ? 6 ? 为数列 ? an ? 中的项, am? 2 am? 2 am? 2



8 a m+2

为整数,又由(1)知: am ? 2 为奇数,所以 am? 2 ? 2m ? 3 ? ?1,即m ? 1, 2

经检验,符合题意的正整数只有 m ? 2 。
.

.

已知等差数列{ a n }中, a3 a7 ? ?16, a 4 ? a6 ? 0, 求{ a n }前 n 项和 s n .

.

解析:本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力,利用方程的思想可求解。

解:设 ?an ? 的公差为 d ,则

.

?? a1 ? 2d ?? a1 ? 6d ? ? ?16 ? ? ? a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? 0 ?

? a12 ? 8da1 ? 12d 2 ? ?16 即? ? a1 ? ?4d
解得 ?

? a1 ? ?8, ? a1 ? 8 或? ? d ? 2, ? d ? ?2

因此 Sn ? ?8n ? n ? n ? 1? ? n ? n ? 9 ?,或S n ? 8n ? n ? n ? 1? ? ?n ? n ? 9 ?


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