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高二数学培优系列 数列


数列
考点一 等差、等比数列的概念与性质 例 1:已知 {an } 为等比数列,且 a3 ? a6 ? 36, a4 ? a7 ? 18. (1)若 an ? 数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,求 S8 . 练:已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? 例 2: a1, 为实数, 设 d 首项为

a1, 公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 满足 S5 S6 +15=0。 (Ⅰ)若 S5 =5,求 S6 及 a1; (Ⅱ)求 d 的取值范围。 考点二 求数列的通项与求和 例 3. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 0且 S n?1 ? 2S n ?

1 ,求 n ; (2)设 2

?

1 n(n ? 1), (n ? N*) (1)求 2

a2 , a3 , 并证明 :
(2)设 bn ? an?1 ? an (n ? N*), 求证: bn?1 ? 2bn ? 1 ; 3)求 an?1 ? 2an ? n,(n ? N*); ( 数列 {an }(n ? N*) 的通项公式。 例 4:在数列{ a n }中, a1 ? 令

1 ,并且对任意 n ? N ? , n ? 2 都有 an ? an?1 ? an?1 ? an 成立, 3

bn ?

a 1 (Ⅰ)求数列{ bn }的通项公式 ; (Ⅱ) 求数列{ n }的前 n 项和 Tn . (n ? N ? ) . an n

考点三 数列与不等式、函数等知识的联系 例 5: 已知数列 ?an ?是等差数列, cn ? an ? an?1 n ? N
2 2

?

?

?(1)判断数列 ?c ?是否是等差
n





















2







? a1 ? a3 ? ?? a25 ? 130 a2 ? a4 ? ?? a26 ? 143?13k ?k为常数 ,试写出数列 ?c n ?的通 ,
项公式; (3)在(2)的条件下,若数列 ?c n ?得前 n 项和为 S n ,问是否存在这样的实数 k , 使 S n 当且仅当 n ? 12时取得最大值。若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由。
2 例 6: 已知数列 ?an ?的首项 a1 ? 2a ? 1 a 是常数,且 a ? ?1 ) a n ? 2a n ?1 ? n ? 4n ? 2 ( ,

2 (n ? 2) ,数列 ?bn ?的首项 b1 ? a , bn ? a n ? n ( n ? 2 ) (1)证明: ?bn ?从第 2 项 。

起是以 2 为公比的等比数列; (2)设 S n 为数列 ?bn ?的前 n 项和,且 ?S n ? 是等比数列,求实
n 数 a 的值; (3)当 a ? 0 时,求数列 ?an ?的最小项.(提示:当 n ? 3 时总有 2 ? 2n ? 1 )

例 7:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 0? n ? 2, n ? N ? .(1)写出 a2、 a3 的值(只写 结果)并求出数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 正整数 n ,当 m???1,1? 时,不等式 t 2 ? 2 mt ?

1 1 1 1 ,若对任意的 ? ? ? ??? ? an?1 an?2 an?3 a2n

1 ? bn 恒成立,求实数 t 的取值范围。 6

例 8:已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,对一切正整数 n ,点 P (n, Sn ) 都在函数 n (1)求数列 {an } 的通项 f ( x) ? x 2 ? 2x 的图像上,且过点 Pn (n, Sn ) 的切线的斜率为 k n . 公式. (2)若 bn

? 2 kn a n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . (3)设

Q ? {x x ? kn , n ? N ?}, R ? {x x ? 2an , n ? N ?},等差数列 {cn } 的任一项 cn ? Q ? R ,
其中 c1 是 Q ? R 中的最小数, 110? c10 ? 115,求 {cn } 的通项公式. 2012 高考 1. 定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的等比数列 {an } , { f ( an )} 仍是 等比数列,则称 f ( x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的如下函 数:① f ( x) ? x2 ; ② f ( x) ? 2x ; ③ f ( x) ? | x | ; ④ f (x) ? ln | x | . ( )

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 A.① ② B.③ ④ C.① ③ D.② ④ ? 2 3 3 4 4 5 5 10 10 2. 观察下列各式:a+b=1.a +b =3,a +b =4 ,a +b =7,a +b =11,,则 a +b =( ) A.28 B.76 C.123 D.199 3.设函数 f ( x) ? 2 x ? cos x , {an } 是公差为

? 的等差数列, 8
23? 24?

y
13? ? 12? ? 2?

2 f (a1) ? f (a2 ) ????? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f ( a3 )] ? a1a3 ?

?

A. 0

B.

1 2 ? 16

C.

1 2 ? 8

D.

13 2 ? 16

26? 27? ?

?

49? 48?

( x



37? 38?

4.设 an ? 1 sinn? , Sn ? a1 ? a2 ? ?? an . 在 S1, S2 ,?, S100中,正数的个数是( n 25



A.25.

B.50.

C.75.

D.100.

n 5. 数列 {a n } 满足 an ?1 ? (?1) an ? 2n ? 1 ,则 {a n } 的前 60 项和为_______

6. 设 N=2 (n∈N ,n≥2),将 N 个数 x1,x2,,xN 依次放入编号为 1,2,,N 的 N 个位置,得到排列 P0=x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取 出,并按原顺序依次放入对应的

n

*

N N 和后 个位置,得到排列 P1=x1x3xN-1x2x4xN,将此操作称为 C 变换,将 P1 分成两 2 2 N N i 段,每段 个数,并对每段作 C 变换,得到 p2 ;当 2≤i≤n-2 时,将 Pi 分成 2 段,每段 i 2 2
前 个数,并对每段 C 变换,得到 Pi+1,例如,当 N=8 时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时 x7 位于 P2 中的第 4 个位置.(1)当 N=16 时,x7 位于 P2 中的第___个位置;(2)当 N=2 (n≥8)时,x173 位于 P4 中的第___个位置.
n

7. 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的 正整数.如 22,121,3443,94249 等.显然 2
位回文数有 9 个:11,22,33,,99.3 位回文数有 90 个:101,111,121,,191,202,,999.则 (Ⅰ)4 位回文数有__________个;(Ⅱ) 2n ? 1 (n ? N ? ) 位回文数有_________个. 8. 数列 ?an ? 的通项公式 an ? n cos

n? ? 1 ,前 n 项和为 S n ,则 S2012 ? ___________. 2

9. 已知{ an }是等差数列,其前 n 项和为 S n ,{ bn }是等比数列,且 a1 = b1 =2 ,

a4 +b4 =27 , S4 ? b4 =10 .(Ⅰ)求数列{ an }与{ bn }的通项公式;(Ⅱ)记 Tn =anb1 +an?1b2 +?+anb1 , n ? N+ ,证明 Tn +12= ? 2an +10bn (n ? N+ ) .
10.对于数集 X ? {?1, x1, x2 , ?, xn},其中 0 ? x1 ? x2 ? ?? xn , n ? 2 ,定义向量集

Y ? {a | a ? ( s, t ), s ? X , t ? X } . 若对于任意 a1 ? Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X
具有性质 P. 例如 X ? {?1, 1, 2} 具有性质 P.(1)若 x>2,且 {?1, 1, 2, x} ,求 x 的值; (2)若 X 具有性质 P,求证:1?X,且当 xn>1 时,x1=1; 11. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a2an ? S2 ? Sn 对一切正整数 n 都成立. (Ⅰ)求 a1 , a2 的值;(Ⅱ)设 a1 ? 0 ,数列 {lg 并求出 Tn 的最大值. 12. 已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y ? ? x ?
2

10a1 } 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时, Tn 最大? an
an 与 x 轴正半轴相交于点 A ,设 f ( n) 2

为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距.(Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ;(Ⅱ)求对所有 n 都



n 1 f (n) ? 1 n3 与 ? 3 成立的 a 的最小值;(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比 较 ? f (n) ? 1 n ? 1 k ?1 f ( k ) ? f (2k )

27 f (1) ? f (n) ? 的大小,并说明理由. 4 f (0) ? f (1)
13.在等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 84, a9 ? 73 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;(Ⅱ)对任意 m ? N * ,将数列 ?an ? 中落入区间 (9m ,92m ) 内的 项的个数记为 bm ,求数列 ?bm ? 的前 m 项和 Sm .

备选(作业)

1 2 n ? kn(k ? N ? ) ,且 Sn 的最大值为 8. 2 9 ? 2an (1)确定常数 k,求 an(2)求数列 { } 的前 n 项和 Tn. 2n
1. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn ? ? 2. )设 ?an ? 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 S n ,且 a5 , a3 , a4 成等差数列. (1)求数列 ?an ? 的公比;(2)证明:对任意 k ? N? , Sk ?2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列

2 … n 3. 设集合 Pn ? {1, , , } , n? N * .记 f (n) 为同时满足下列条件的集合 A 的个数:
① A ? Pn ;②若 x ? A ,则 2x ? A ;③若 x ? C pn A ,则 2 x ? C p A .(1)求 f (4) ;(2)求 f (n) 的
n

解析式(用 n 表示). 4. 已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

, n? N * ,

( 1)设 bn?1

?? b ? b ? ? 1 ? n , n? N * ,求证:数列 ?? n ? an ?? an ? ?

2

? ? ? 是等差数列; ? ?

(2)设 bn?1 ?

2?

bn , n? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an


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