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浙江省温州市2013届高三数学第一次模拟考试试题 文(含解析)新人教A版


温州市 2013 届高三第一次模拟考试 数学试卷(文科)
参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求. 1. 分) (5 (2013?温州一模)设全 U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4},则(CUA) ∪B( ) A.{3,4} B.{3,4,5} C.{2,3,4,5} D.{1,2,3,4} 考点: 并集及其运算;补集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据并集、补集的意义直接求解即得. 解答: 解:∵U={1,2,3,4,5},A={1,2}, ∴CUA={3,4,5}, ∴(CUA)∪B={2,3,4,5}, 故选 C. 点评: 本题考查集合的基本运算,较容易.

2. 分) (5 (2013?温州一模)已知 i 是虚数单位,则 A.1﹣i B.1+i C.2﹣2i



) D.2+2i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 利用复数的除法运算法则即可得出. 解答: 解:∵ = 故选 A. 点评: 熟练掌握复数的运算法则是解题的关键.

=1﹣i.

3. 分) (5 (2013?温州一模)把函数 f(x)=sin2x 的图象向左平移 解析式是( ) A. y=sin(2x+ )

个单位,所得图象的

B.

y=sin(2x﹣



C.y=cos2x

D.y=﹣cos2x

考点: 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律以及诱导公式求得所得图象的解析式. 解答: 解:把函数 f(x)=sin2x 的图象向左平移 个单位,所得图象的解析式是 y=sin2

1

(x+

)=cos2x,

故选 C. 点评: 本题主要考查诱导公式的应用,利用了 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,属于基础 题. 4. 分) (5 (2013?温州一模)设 a,b∈R,则“a>1 且 b>1”是“ab>1”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意看命题“a>1 且 b>1”与命题“ab>1”否能互推,然后根据必要条件、充分 条件和充要条件的定义进行判断. 解答: 解:∵a>1 且 b>1, ∴ab>1, 若已知 ab>1,可取 a= ,b=8,也满足已知,但不满足 a>1 且 b>1. ∴“a>1 且 b>1”是“ab>1”的充分不必要条件, 故选 A. 点评: 本小题主要考查了命题的基本关系,题中的设问通过对不等关系的分析,考查了命题 的概念和对于命题概念的理解程度. 5. 分) (5 (2013?温州一模)某四面体的三视图都为直角三角形,如图所示,则该四面体的 体积是( )

A.4

B.8

C.16

D.24

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 三视图复原的几何体是长方体被截下的一个角,依据三视图的数据,求出几何体的体 积. 解答: 解:三视图复原的几何体是长方体被截下的一个角,长方体的三度分别是:4,3,4; 所以三棱锥的体积为: 故选 B.
2

=8.

点评: 本题是基础题,考查三视图的视图能力,计算能力,空间想象能力,常考题型.

6. 分) (5 (2013?温州一模)已知椭圆 该椭圆的离心率为( ) A. B.

+

=1 的一个焦点与抛物线 y =8x 的焦点重合,则

2

C.

D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: 先根据椭圆的标准方程,由“一个焦点与抛物线 y =8x 的焦点重合”得到焦点的 x 轴 2 2 2 2 2 上,从而确定 a ,b ,再由“c =a ﹣b ”建立 a 的方程求解,最后求得该椭圆的离心 率. 2 解答: 解:由题意可得:抛物线 y =8x 的焦点(2,0) , 椭圆的方程为 + =1.

∵焦点(2,0)在 x 轴上, 2 ∴b =12,c=2, 2 2 2 2 又∵c =a ﹣b =4,∴a =16, 解得:a=4. 所以 e= = = . 故选 B. 点评: 本题主要考查椭圆的标准方程及性质, 在研究和应用性质时必须将方程转化为标准方 程再解. 7. 分) (5 (2013?温州一模)记 a,b 分别是投掷两次骰子所得的数字,则方程 x ﹣ax+2b=0 有两个不同实根的概率为( ) A. B. C. D.
2

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 所有的(a,b)共有 6×6=36 个,用列举法求得故满足条件的(a,b)有 9 个,由此 2 求得方程 x ﹣ax+2b=0 有两个不同实根的概率. 2 2 解答: 解: 所有的 (a, 共有 6×6=36 个, b) 方程 x ﹣ax+2b=0 有两个不同实根, 等价于△=a ﹣8b>0, 故满足条件的(a,b)有(3,1)(4,1)(5,1)(5,2)(5,3)(6,1) 、 、 、 、 、 、 (6,2)(6,3)(6,4) 、 、 ,共 9 个, 故方程 x ﹣ax+2b=0 有两个不同实根的概率为 故选 B.
3
2

= ,

点评: 本题考查古典概型问题,可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件,应用列 举法来解题是这一部分的最主要思想,属于中档题.

8. 分) (5 (2013?温州一模) 在△ABC 中, ∠A=120°, A. B.2 C.

=﹣1, 则|

|的最小值是 ( D.6



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 设
2 2 2

,则根据数量积的定义算出
2 2 2 2 2

=2,即

bc=2. 由余弦定理得 a =b +c +bc, 结合基本不等式 b +c ≥2bc 可得 a =b +c +bc≥3bc=6, 可得 a 的最小值为 解答: 解:∵∠A=120°, ∴ 设
2 2 2

,即得|

|的最小值.

=﹣1, =﹣1,解之得 ,则 bc=2
2 2

=2

由余弦定理,得 a =b +c ﹣2bccos120°=b +c +bc 2 2 ∵b +c ≥2bc 2 2 2 ∴a =b +c +bc≥3bc=6,可得 a 的最小值为 即| |的最小值为

故选:C 点评: 本题给出△ABC 两边 b、c 的夹角,且在已知

=﹣1 的情况下求边 a 的最小值,

着重考查了向量数量积的公式、 余弦定理和用基本不等式求最值等知识, 属于中档题.

9. 分) (5 (2013?温州一模)设函数 f(x)= A.27 B.9 C.3

,那么 f(2013) ( D.1



考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得 f(2013)=f(2008)=?=f(3) ,代入即可求解 3 解答: 解:由题意可得 f(2013)=f(2008)=?=f(3)=3 =27 故选 A 点评: 本题主要考查了分段函数的函数值的求解, 解题的关键是利用周期性把所求的函数值 转化到所求区间上

4

10. 分) (5 (2013?温州一模)若实数 a,b,c 满足 loga2<logb2<logc2,则下列关系中不 可能成立的是( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 依题意,对 a,b,c 的大小关系分类讨论即可得到答案. 解答: 解:∵a,b,c 满足 loga2<logb2<logc2, ∴①若 a,b,c 均大于 1,由 loga2<logb2<logc2,知必有 a>b>c>1,故 C 有可能 成立; ②若 a,b,c 均大于 0 小于 1,依题意,必有 0<c<b<a<1,故 C 有可能成立; ③若 logc2>0,而 loga2<logb2<0,则必有 0<b<a<1<c,故 B 有可能成立; ④0<logb2<logc2,而 loga2<0,必有 b>c>1>a>0,故 D 由可能成立; 综上所述,A:a<b<c 不可能成立. 故选 A. 点评: 本题考查对数函数的单调性,着重考查分类讨论思想与逻辑思维能力,属于中档题. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 分) (4 (2013?温州一模)某校举行 2013 年元旦汇演,九位评委为某班的节目打出的分 数 (百分制) 如图茎叶统计图, 去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的中位数为 85 .

考点: 茎叶图;众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: 由已知中的茎叶图,我们可以得到七位评委为某班的节目打出的分数,及去掉一个最 高分和一个最低分后的数据,即可得到所剩数据的中位数. 解答: 解:由已知的茎叶图 9 位评委为某班的节目打出的分数为: 79,83,84,84,85,86,91,93,94. 去掉一个最高分 94 和一个最低分 79 后, 所剩数据按照大小顺序排列为 83,84,84,85,86,91,93. 中位数是 85. 故答案为:85. 点评: 本题考查的知识点是茎叶图,中位数.其中根据已知的茎叶图分析出 9 位评委为某班 的节目打出的分数,是解答本题的关键

12. 分) (4 (2013?温州一模)若向量 1 . 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用.



,那么 (

)? =

5

分析: 根据向量线性坐标的运算公式,可得 可得到 ( 解答: 解:∵ ∴ 因此, ( )? 的值. ,

=(﹣1,1) ,再根据数量积的坐标公式即

=(1,2)﹣(2,1)=(﹣1,1) )? =﹣1×1+1×2=1

故答案为:1 点评: 本题给出向量 、 的坐标,求(

)? 的值.着重考查了平面向量线性运算、

平面向量数量积公式等知识,属于基础题. 13. 分) (4 (2013?温州一模)按图所示的程序框图运算,若输入 x=20,则输出的 k= 3 .

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 本题是一个循环结构,循环体中执行的是对输入 x 的值乘 2 减 1,k 值增大 1,一直到 x 的值大于 100 时程序退出,最后输出 k 的值. 解答: 解:输入 x=20,根据执行的顺序,x 的值依次为 20,39,77,153, 故程序只能执行 3 次,故 k 的值由 0 变化为 3, 故答案为:3. 点评: 考查对循环结构的理解以及根据程序运行的顺序求值.属于基础题.

14. 分) (4 (2013?温州一模)已知双曲线 MF1⊥MF2,则点 M 到 x 轴的距离为 .

=1 的焦点为 F1,F2,点 M 在双曲线上且

考点: 双曲线的简单性质.
6

专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 分析: MF1⊥MF2,可知点 M 在以 F1F2 为直径的圆 x +y =3 上,由此可以推导出点 M 到 x 轴 由 的距离. 解答: 解:已知双曲线 =1 的焦点为 F1(﹣3,0) 2(3,0) ,F .
2 2

又∵MF1⊥MF2,∴点 M 在以 F1F2 为直径的圆 x +y =3 上

故由

得|y|= ,

∴点 M 到 x 轴的距离为 故答案为: .



点评: 本题考查双曲线的性质及其应用,解题时要注意挖掘隐含条件.

15. 分) (4 (2013?温州一模) 正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 二面角 C1﹣A1B﹣D 的余弦值为



考点: 二面角的平面角及求法. 专题: 空间角. 分析: 通过建立空间直角坐标系,利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角. 解答: 解:如图所示, 不妨设棱长 AB=1,则 A1(0,0,0) ,B(0,1,1) ,D(1,0,1) 1(1,1,0) ,C . 则 , , .

设平面 A1BD 的法向量为 ﹣1. ∴ .

,则

,令 x=1,则 y=1,z=

设平面 A1BC1 的法向量为 z=1. ∴ .

, 则

, a=1, b=﹣1, 令 则



=

=



从图上看二面角 C1﹣A1B﹣D 的平面角是一个锐角,故其余弦值为 .

7

点评: 本题考查了通过建立空间直角坐标系, 利用两个平面的法向量的夹角得出二面角的方 法.必须熟练掌握.

16. 分) (4 (2013?温州一模)若变量 x,y 满足不等式 5 .

,则 x +y 的最小值为

2

2

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 2 2 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=x +y 表示点(0,0)到可行 域的点的距离的平方,故只需求出点(0,0)到可行域的距离的最小值即可. 解答: 解:根据约束条件画出可行域 2 2 z=x +y 表示(0,0)到可行域的距离的平方, 当原点到点 A(2,1)时,距离最小, 2 2 则 y +x 的最小值是(0,0)到(2,1)的距离的平方:5, 2 2 则 z=x +y 的最小值是 5. 故答案为:5.

点评: 本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 17. 分) (4 (2013?温州一模)方程(x﹣1)?sinπ x=1 在(﹣1,3)上有四个不同的根 x1, x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4 4 .
8

考点: 根的存在性及根的个数判断;数列的求和. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 方程(x﹣1)?sinπ x=1 即 sinπ x= .根据函数 f(x)=sinπ x 和 g(x)= 的解析式,可以得到函数的图象关于点(1,0)对称,因此 sinπ x= 分别为 x1、x2、x3、x4 两两关于点(1,0)对称,因此 x1+x2+x3+x4=4. 解答: 解:方程(x﹣1)?sinπ x=1 即 sinπ x= . 设函数 f(x)=sinπ x 和 g(x)= .其图象如图所示. .的四个根

则这两个函数的图象关于点(1,0)对称, ∵方程(x﹣1)?sinπ x=1 在(﹣1,3)上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4, ∴x1+x2+x3+x4=4, 故答案为:4.

点评: 本题考查根的存在性及根的个数判断, 根据函数的解析式求得函数的对称性是解题的 关键,属中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (14 分) (2013?温州一模)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,且 满足 2asinB﹣ =0. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)当 A 为锐角时,求函数 y= sinB+sin(C﹣ )的值域.

考点: 正弦定理的应用;两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (I)根据正弦定理,化简 2asinB﹣ =0 得 2sinAsinB﹣ 0 算出 sinA= ,由 A∈(0,π )即可得到 A= 或 A= ;

=0,结合 sinB>

(II)因为 A 为锐角,可得 A=

,从而得到 B+C=

,将函数 y=

sinB+sin(C﹣

9

) 化简为 y= 得 y=2sin(B+ 出函数 y=

sinB+sin (

﹣B) 再由两角差的正弦公式和辅助角公式化简整理, ,

) ,最后根据三角函数的图象与性质,结合角 B 的取值范围,即可求 )的值域.

sinB+sin(C﹣

解答: (Ⅰ)∵2asinB﹣ 解: =0 ∴由正弦定理,得:2sinAsinB﹣ =0, ∵B 是三角形内角,可得 sinB>0?(3 分) ∴等式的两边约去 sinB,得 2sinA﹣ 因此,A= 或 A= =0,即 sinA= ?(5 分)

?(7 分)

(Ⅱ)∵A 为锐角,∴结合(I)得 A= 结合三角形内角和,得 B+C= ∵y= = sinB+sin(C﹣ )= ) ∈( , ) )∈(1,2] sinB+sin( ?(9 分) ﹣B)

sinB+cosB=2sin(B+ ) ,得 B+ )∈

?(12 分)

∵B∈(0, ∴sin(B+

,可得 2sin(B+

因此,函数 y=

sinB+sin(C﹣

)的值域域为(1,2]?(14 分)

点评: 本题给出三角形中的边角关系,求角 A 的大小并依此求一个三角函数式的值域,着重 考查了用正余弦定理解三角形、三角函数的图象与性质和三角恒等变换等知识,属于 中档题. 19. (14 分) (2013?温州一模)已知{an}是递增的等差数列,a1=2, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn=an+ ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. =a4+8

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 2 分析: (Ⅰ)设等差数列的公差为 d,d>0,依题意可得(2+d) =2+3d+8,解得 d,而 a1=2, 可求得数列{an}的通项公式; 2n (Ⅱ)由(Ⅰ)得 an=2n,从而得 bn=2n+2 ,利用分组求和的方法即可求得数列{bn} 的前 n 项和 Sn. 解答: (Ⅰ)设等差数列的公差为 d,d>0, 解:
10

∵a1=2,
2

=a4+8

∴(2+d) =2+3d+8, 2 ∴d +d﹣6=0, 解得 d=2 或 d=﹣3(舍) ,?(3 分) ∴d=2?(5 分) 代入:an=a1+(n﹣1)d=2+(n﹣1)×2=2n, ∴数列{an}的通项公式为:an=2n ?(7 分) (Ⅱ)∵bn=an+ =2n+2
2n

?(9 分)

∴数列{bn}的前 n 项和: 2 4 2n Sn=b1+b2+?+bn=(2+2 )+(4+2 )+?+(2n+2 ) 2 4 2n =(2+4+?+2n)+(2 +2 +?+2 ) )?(11 分) = +

=n(n+1)+

?(14 分)

点评: 本题考查等差数列的通项公式,考查数列求和,着重考查分组求和与公式法求和,属 于中档题. 20. (14 分) (2013?温州一模)如图,已知平面 QBC 与直线 PA 均垂直于 Rt△ABC 所在平面, 且 PA=AB=AC, (Ⅰ)求证:PA∥平面 QBC; (Ⅱ)若 PQ⊥平面 QBC,求 CQ 与平面 PBC 所成角的正弦值.

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角. 专题: 空间角. 分析: (I)过点 Q 作 QD⊥BC 于点 D,利用面面垂直的性质定理可得 QD⊥平面 ABC.又 PA⊥ 平面 ABC,利用线面垂直的性质定理可得 QD∥PA,再利用线面平行的判定定理即可证 明; (II)由已知可证明△PQB≌△PQC,得到 BQ=CQ.根据点 D 是 BC 的中点,连接 AD, 则 AD⊥BC.利用线面垂直的判定定理可得 AD⊥平面 QBC,于是 PQ∥AD,AD⊥QD.得

11

到四边形 PADQ 是矩形.设 AB=AC=2a,则 PQ=AD= a,PD= a.又 BC⊥PA,BC⊥PQ, 可得 BC⊥平面 PADQ,从而平面 PBC⊥平面 PADQ,过 Q 作 QH⊥PD 于点 H,则 QH⊥平面 PBC.得到∠QCH 是 CQ 与平面 PBC 所成的角.再利用边角关系即可得出. 解答: (Ⅰ)证明:过点 Q 作 QD⊥BC 于点 D, ∵平面 QBC⊥平面 ABC,∴QD⊥平面 ABC. 又∵PA⊥平面 ABC, ∴QD∥PA, 又∵QD? 平面 QBC,PA?平面 QBC, ∴PA∥平面 QBC. (Ⅱ)∵PQ⊥平面 QBC, ∴∠PQB=∠PQC=90°,又∵PB=PC,PQ=PQ, ∴△PQB≌△PQC,∴BQ=CQ. ∴点 D 是 BC 的中点,连接 AD,则 AD⊥BC. ∴AD⊥平面 QBC,∴PQ∥AD,AD⊥QD. ∴四边形 PADQ 是矩形. 设 PA=AB=AC=2a, 则 PQ=AD= a,PD= a. 又∵BC⊥PA,BC⊥PQ,∴BC⊥平面 PADQ, 从而平面 PBC⊥平面 PADQ,过 Q 作 QH⊥PD 于点 H,则 QH⊥平面 PBC. ∴∠QCH 是 CQ 与平面 PBC 所成的角. 在 Rt△PQD 中,PQ?QD=PD?QH,则 QH= ∴sin∠QCH= = . . = ,CQ=BQ= a.

∴CQ 与平面 PBC 所成角的正弦值为

点评: 熟练掌握空间中的线面、面面垂直的判定与性质定理、线面角的定义、矩形的判定与 性质定理、三角形全等的判定与性质定理、等积变形是解题的关键. 21. (15 分) (2013?温州一模)已知函数 f(x)=ax ﹣g (a∈R) ,f′(x)是 f(x)的导 函数(g 为自然对数的底数) (Ⅰ)解关于 x 的不等式:f(x)>f′(x) ; (Ⅱ)若 f(x)有两个极值点 x1,x2,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用.
2 x

12

分析: (Ⅰ)原不等式等价于 ax(x﹣2)>0,分 a=0,a>0,和 a<0 讨论可得; (Ⅱ)设 g(x)=f′(x) ,则 x1,x2 是方程 g(x)=0 的两个根,求导数可得 g′(x) , 若 a≤0 时,不合题意,若 a>0 时,求导数可得单调区间,进而可得最大值,可得关 于 a 的不等式,解之可得. x 解答: (Ⅰ)求导数可得 f′(x)=2ax﹣g ,∴f(x)﹣f′(x)=ax(x﹣2)?(4 分) 解: 原不等式等价于 f(x)﹣f′(x)=ax(x﹣2)>0, 当 a=0 时,无解; ?(5 分) 当 a>0 时,解集为{x|x<0,或 x>2}; ?(6 分) 当 a<0 时,解集为{x|0<x<2} ?(7 分) x (Ⅱ)设 g(x)=f′(x)=2ax﹣g , x 则 x1,x2 是方程 g(x)=0 的两个根,则 g′(x)=2a﹣g ?(9 分) 若 a≤0 时,g′(x)<0 恒成立,g(x)单调递减,方程 g(x)=0 不可能有两个根? (11 分) 若 a>0 时,由 g′(x)=0,得 x=ln2a, 当 x∈(﹣∞,ln2a)时,g′(x)>0,g(x)单调递增, 当 x∈(ln2a,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递减 ?(13 分) ∴gmax(x)=g(ln2a)=2aln2a﹣2a>0,解得 a> ?(15 分)

点评: 本题考查利用导数研究函数的极值,涉及分类讨论的思想,属中档题. 22. (15 分) (2013?温州一模)已知 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是抛物线 y =4x 上相异两点, 且满足 x1+x2=2. (Ⅰ)AB 的中垂线经过点 P(0,2) ,求直线 A 的方程; (Ⅱ)AB 的中垂线交 x 轴于点 M,△AMB 的面积的最大值及此时直线 AB 的方程. 考 直线的一般式方程;直线的一般式方程与直线的垂直关系;点到直线的距离公式. 点: 专 综合题;压轴题;直线与圆. 题: 分 方法一: 2 析: (I)设直线 AB 的方程为 y=kx+b,与 y =4x 联立,利用韦达定理结合 x1+x2=2 可求得直 线 AB 的方程为 y=k(x﹣1)+ ,而 AB 中点的坐标为(1, ) ,AB 的中垂线经过点 P(0, 2) ,可求得 AB 的斜率,从而可求直线 AB 的方程; 2 2 (Ⅱ)依题意,直线 AB 的方程为 k x﹣ky+2﹣k =0,利用点到直线间的距离公式可求得 点 M 到直线 AB 的距离 d,联立 AB 的方程与抛物线方程,结合韦达定理可求得|AB|,于 是可得到面积表达式,通过导数法即可求得△AMB 的面积的最大值及此时直线 AB 的方 程; 法二: (Ⅰ)设 AB 的中点为 Q(1,t) ,可求得 kAB= ,由(t﹣2)? =﹣1,可求得 t 继 而可得直线 AB 的方程为 y= x﹣ ;
2

13

(Ⅱ) 依题意可得直线 AB 的方程, 继而可求点 M 到直线 AB 的距离为 d=

=



从而可得面积表达式,利用基本不等式即可求得△AMB 的面积的最大值及此时直线 AB 的方程. 解 解:方法一: 答: (I)当 AB 垂直于 x 轴时,显然不符合题意, 2 2 2 2 所以设直线 AB 的方程为 y=kx+b,代入方程 y =4x 得:k x +(2kb﹣4)x+b =0 ∴x1+x2= =2,?(2 分)

得:b= ﹣k, ∴直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1)+ , ∵AB 中点的横坐标为 1, ∴AB 中点的坐标为(1, ) ?(4 分)

∴AB 的中垂线方程为 y=﹣ (x﹣1)+ =﹣ x+ , ∵AB 的中垂线经过点 P(0,2) ,故 =2,得 k= ∴直线 AB 的方程为 y= x﹣ ,?(7 分) (Ⅱ)由(I)可知 AB 的中垂线方程为 y=﹣ x+ , ∴M 点的坐标为(3,0)?(8 分) 2 2 因为直线 AB 的方程为 k x﹣ky+2﹣k =0, ∴M 到直线 AB 的距离 d= = ?(10 分) ?(6 分)





y ﹣ky+2﹣k =0,

2

2

y1+y2= ,y1y2=



|AB|=

|y1﹣y2|=

?(12 分)

∴S△AMB=4(1+



,设

=t,则 0<t<1,

14

S=4t(2﹣t )=﹣4t +8t,S′=﹣12t +8,由 S′=0,得 t= 即 k=± 时 Smax= ,

2

3

2



此时直线 AB 的方程为 3x± y﹣1=0.?(15 分) (本题若运用基本不等式解决,也同样给分) 法二: (1)根据题意设 AB 的中点为 Q(1,t) ,则 kAB= 由 P、Q 两点得 AB 中垂线的斜率为 k=t﹣2,?(4 分) 由(t﹣2)? =﹣1,得 t= ,?(6 分) ∴直线 AB 的方程为 y= x﹣ ,?(7 分) (2)由(1)知直线 AB 的方程为 y﹣t= (x﹣1) ,?(8 分) AB 中垂线方程为 y﹣t=﹣ (x﹣1) ,中垂线交 x 轴于点 M(3,0) , = ?(2 分)

点 M 到直线 AB 的距离为 d=

=

,?(10 分)



得:4x ﹣8x+(t ﹣2) =0,

2

2

2

∴|AB|=

|x1﹣x2|=

,x1+x2=2,x1x2=

∴S= |AB|?d=

=



=



当 t = 时,S 有最大值

2

,此时直线 AB 方程为 3x±

y﹣1=0?(15 分)

点 本题考查:直线的一般式方程,考查:直线的一般式方程与直线的垂直关系,突出考查 评: 点到直线的距离公式,属于难题.

15


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