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第5章第1节 功 功率


第5章

机械能

第一节 功和功率

第5章

机械能

基础知识梳理

第 一 节 功 和 功 率

课堂互动讲练

经典题型探究

知能优化演练

第5章

/>机械能

基础知识梳理 一、功 1.做功的两个必要条件:__和物体在力的方 力 向上发生的____. 位移

2.公式:W=______.适用于_____做功.其中 恒力 Fscosα
α为F、s方向间夹角,s为物体对地的位移.

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机械能

思考感悟 一个力对物体做正功,另一个力做负功,这两个 力的方向一定相反吗? 提示:不一定,这两个力与v的夹角一个大于 90°,一个小于90°,但这两个力的夹角不一定 是180°.

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3.功的正负判断 夹角 0°≤α<90° 功的正负 正功 力对物体做____

负功 力对物体做____,或者说物体克服 90°<α≤180° ____这个力做了功

α=90°

不做功 力对物体______
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机械能

名师点拨:功是标量,正功表示对物体做功

的力为动力,负功表示对物体做功的力为阻
力,功的正负不表示功的大小.

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二、功率 比值 1.定义:功与完成这些功所用时间的____. 2.物理意义:描述力对物体做功的____. 快慢 3.公式 W (1)P= ,P为时间t内的____功率. 平均 t (2)P=Fvcosα(α为F与v的夹角) 平均 ①v为平均速度,则P为____功率; ②v为瞬时速度,则P为____功率. 瞬时 正常工作 4.额定功率:机械________时输出的最大功率. 5.实际功率:机械________时输出的功率,要求 实际工作 __________额定功率. 小于或等于
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课堂互动讲练

一、判断功正、负的方法
1.若物体做直线运动,依据力与位移的夹角来

判断.此法常用于恒力做功的判断.
2.若物体做曲线运动,依据F与v的方向夹角来 判断.当0°≤α<90°,力对物体做正功; 90°<α≤180°,力对物体做负功;α=90°,力 对物体不做功.
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3.从能量的转化角度来进行判断.若有能量转 化,则应有力做功.此法常用于判断两个相联系 的物体. 举例:如图5-1-1所示,弧面体a 放在光滑水平面上,弧面光滑,使 物体b自弧面的顶端自由下滑,试判 定a、b间弹力做功的情况.从能量 图5-1-1 转化的角度看,当b沿弧面由静止下滑时,a就由 静止开始向右运动,即a的动能增大了,因此b对 a的弹力做了正功.由于a和b组成的系统机械能 守恒,a的机械能增加,b的机械能一定减少,因 此a对b的支持力对b一定做了负功.
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特别提醒:判断力做功的正负问题,关键要明

确哪个力做的功,应根据具体问题选择合适的
方法.

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即时应用 1.(2011年广州测试)如图5-1-2所示,质量为m 的木块放在倾角为α的斜面上与斜面一起水平向 左匀速运动,木块( )

图5-1-2 A.对斜面的压力大小为mgcosα B.所受的支持力对木块不做功 C.所受的摩擦力对木块做负功 D.所受的摩擦力方向可能沿斜面向下
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解析:选AC.木块受力平衡,受力情况如图所 示.木块水平向左运动,则支持力FN对木块做 正功,摩擦力Ff对木块做负功,重力mg不做功, 木块对斜面的压力F′N=FN=mgcosα,综上所 述,可知选项A、C对,B 、D错.

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二、求功的几种方法 1.恒力及合力做功的计算 (1)恒力的功:直接用W=Fscosα计算. (2)合外力的功 ①先求合外力F合,再应用公式W合=F合scosα求 功,其中α为合力F合与位移的夹角.一般适用于 整个过程中合力恒定不变的情况. ②分别求出每个力的功W1、W2、W3…,再应用 W合=W1+W2+W3+…求合外力的功.这种方 法一般适用于在整个过程中,某些力分阶段作用 的情况. ③利用动能定理或功能关系求解.
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2.变力做功的计算 (1)用动能定理W=ΔEk或功能关系W=ΔE,即用 能量的增量等效代换变力所做的功.(也可计算 恒力功) (2)当变力的功率P一定时,可用W=Pt求功,如 机车恒功率启动时. (3)将变力做功转化为恒力做功 ①当力的大小不变,而方向始终与运动方向相同 或相反时,这类力的功等于力和路程(不是位移) 的乘积.如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等.
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②当力的方向不变,大小随位移做线性变化时,可 F1+F2 先求出力对位移的平均值 F= ,再由 W= 2 Fscosα 计算,如弹簧弹力做功.

(4)作出变力F随位移s变化的图象,图象与位移轴 所围的“面积”即为变力做的功.图5-1-3中甲 图表示恒力F做的功W,乙图表示变力F做的功W, 丙图中横轴上方的面积表示正功,横轴下方的面 积表示负功,其总功等于正、负功的代数和.
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即时应用

2.如图5-1-4所示,用恒 力F通过光滑的定滑轮把静 止在水平面上的物体(大小可 忽略)从位置A拉到位置B, 物体的质量为m,定滑轮离 水平地面的高度为h,物体 在位置A、B时细绳与水平方 向的夹角分别为θ1 和θ2,求 绳的拉力对物体做的功.

图5-1-4

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解析:人拉绳的力是恒力,但绳拉物体的力的方 向不断变化,故绳拉物体的力 F′是变力,但此 力对物体所做的功与恒力 F 所做的功相等.力 F 1 作用的位移与物体的位移相关联,即 s=h( - sinθ1 1 ),则细绳对物体的拉力 F′所做的功为 W= sinθ2 1 1 WF=Fh( - ). sinθ1 sinθ2 1 1 答案:Fh( - ) sinθ1 sinθ2
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三、机车两种启动方式的比较 对机动车等交通工具,在启动的时候,通常有 两种启动方式,即以恒定功率启动和以恒定加 速度启动.现比较如下: 两种 方式

以恒定功率启动 以恒定加速度启动

P-t图 和v-t图

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两种 方式

以恒定功率启动
v↑?F= P?不变? ↓ v F-F阻 ?a= m ↓

以恒定加速度启动

过 程 v↑ F 不变?P=Fv↑ 分 直到 P 额=Fv1 OA 析 段 运 动 加速度减小的加速 匀加速直线运动,维 性 直线运动 持时间t0= v1 a 质
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F-F阻 a= m 不变?

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两种 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 方式 P额 过 F=F 阻?a=0 v↑?F= v ↓ 程 P 分 ?F 阻= F-F阻 vm ?a= ↓ AB 析 m 段 运 动 以vm匀速直线运动 加速度减小的加速运动 性 质 F=F 阻?a=0 P额 BC段 无 ?以 vm= 匀速运动 F阻
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即时应用 3.一汽车额定功率为100 kW,质量为1.0×104 kg, 设阻力恒为车重的0.1倍,g取10 m/s2. (1)若汽车保持恒定功率运动,求运动的最大速度; (2)若汽车以0.5 m/s2的加速度匀加速运动,求其 匀加速运动的最长时间.

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解析:(1)当 a=0,即 F=Ff 时速度最大,设为 P P 100× 3 10 vmax,vmax= = = m/s=10 Ff kmg 0.1× 1.0× 4× 10 10 m/s,以后汽车保持 vmax 匀速运动. (2)匀加速启动时,汽车牵引力恒定,随着 v↑F 一定,P↑,直到达到额定功率后,v↑P 一定,F↓, 汽车改做 a 减小的变加速运动,直到 a=0,达 到最大速度 vmax 后做匀速运动. 匀加速运动中, 由 F-Ff=ma 得汽车牵引力 F=ma+Ff=

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第5章

机械能

P 1.5× 10 N.刚达到额定功率时的速度 v1= = F 100× 3 10 4 m/s≈6.7 m/s,此为匀加速运动的末速 1.5× 10 v1 度,所以匀加速运动的最长时间 t= =13.4 s. a
4

答案:(1)10 m/s

(2)13.4 s

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经典题型探究

做功的分析与计算
如图5-1-5所示,一质量 为m=2.0 kg的物体从半径为R= 5.0 m的圆弧的A端,在拉力作用下 沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在 竖直平面内).拉力F大小不变始终 为15 N,方向始终与物体在该点的 图5-1-5 切线成37°角.圆弧所对应的圆心 角为60°,BO边为竖直方向.(g 取10 m/s2)求这一过程中:
返回 例1

第5章

机械能

(1)拉力F做的功. (2)重力G做的功. (3)圆弧面对物体的支持力FN做的功. (4)圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功. 【思路点拨】 根据各个力的特点(是恒力还是变

力),选择相应的计算功的方法,如功的定义式W
=Fscosα或动能定理.
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第5章

机械能

AB 【解析】 (1)将圆弧 ? 分成很多小段 s1,2, s …, sn, 拉力在每小段上做的功为 W1,W2, …,Wn, 因拉力 F 大小不变,方向始终与物体在该点的 切线成 37° 角,所以: W1 = Fs1cos37° W2 = Fs2cos37° … , Wn = , , Fsncos37° , 所以 WF =W1 +W2 +…+Wn =Fcos37° 1 +s2 (s +…+sn) π =Fcos37° R=20π J=62.8 J. · 3
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第5章

机械能

(2)重力G做的功WG=-mgR(1-cos60°)=-50 J.

(3)物体受的支持力FN始终与物体的运动方向垂直,
所以WFN=0.

(4)因物体在拉力F作用下缓慢移动,动能不变,由
动能定理知:WF+WG+WFf=0.

所以WFf=-WF-WG=(-62.8+50) J=-12.8 J.
【答案】 (1)62.8 J (2)-50 J (3)0 (4)-12.8 J
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机械能

【规律总结】

在遇到求功的问题时,一定要

注意分析是求恒力做的功还是变力做的功,如

果是求变力做的功,看能否转化为求恒力做功
的问题,不能转化的,还可以借助动能定理或

能量守恒定律求解.

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机械能

变式训练1 用铁锤把小铁钉钉入木板,设木 板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比,已 知铁锤第一次将钉子钉进d,如果铁锤第二次敲 钉子时对钉子做的功与第一次相同,那么,第 二次钉子进入木板的深度是( )

A.( 3-1)d 5-1 C. d 2

B.( 2-1)d 2 D. d 2

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机械能

解析:选B.在将钉子钉入木板的过程中,随着 深度的增加,阻力成正比地增加,这属于变 力做功问题,由于力与深度位移成正比,可 求出力对位移的平均值,将变力转化为恒力 来处理. 根据题意可得 kd 第一次做功:W=F1d= d. 2 kd+k?d+d′? 第二次做功:W=F2d′= d′. 2 联立解得 d′=( 2-1)d.
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第5章

机械能

功率的分析和计算
例2

(2009年高考辽宁、宁夏卷)

质量为m的物体静止在光滑水平

面上,从t=0时刻开始受到水平
力的作用.力的大小F与时间t的 图5-1-6

关系如图5-1-6所示,力的方
向保持不变,则( )

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第5章

机械能

5F2t0 0 A.3t0 时刻的瞬时功率为 m 15F2t0 0 B.3t0 时刻的瞬时功率为 m C.在 t=0 到 3t0 这段时间内,水平力的平均功率 23F2t0 0 为 4m D.在 t=0 到 3t0 这段时间内,水平力的平均功率 25F2t0 0 为 6m
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第5章

机械能

【思路点拨】

(1)平均功率的计算方法.

W ①利用 P = .②利用 P =F v cosθ. t
(2)瞬时功率的计算方法.

P=Fvcosθ,v是t时刻的瞬时速度.

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第5章

机械能

F0 【解析】 0~2t0 时间内的加速度 a1= m , 2F0t0 末速度 v1=a1t1= m , 1 2 2F0t20 位移 x1= a1t1= m ; 2 3F0 2t0~3t0 时间内的加速度 a2= m . 1 2 7F0t0 位移 x2=a1t1t2+ a2t2= . 2 2m 5F0t0 末速度 v2=a1t1+a2t2= m .
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第5章

机械能

因此 3t0 时刻的瞬时功率 15F2t0 0 P3t0=3F0·2= v ,A 错误,B 正确; m 0~3t0 时间内,水平拉力的平均功率为: F0x1+3F0x2 25F2t0 0 P= = , 错误, 正确. C D 3t0 6m
【答案】 BD

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第5章

机械能

【规律总结】

对于功率问题,首先要弄清楚

是平均功率还是瞬时功率.在利用P=Fvcosα求 解时可以变化为P=Fv分=F分v,即力乘以沿力 方向的分速度,或沿速度方向的分力乘以速 度.

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第5章

机械能

变式训练2 一根质量为M的直木棒,悬挂在O点,有一只质量 为m的猴子抓着木棒,如图5-1-7所示.剪断悬 挂木棒的细绳,木棒开始下落,同时猴子开始沿木 棒向上爬.设在一段时间内木棒沿竖直方向下落, 猴子对地的高度保持不变,忽略空气阻力,则图5 -1-8所示的四个图象中能正确反映在这段时间内 猴子做功的功率随时间变化的关系是( )

图5-1-7
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第5章

机械能

图5-1-8

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第5章

机械能

解析:选B.猴子对地的高度不变,所以猴子受 力平衡.设猴子的质量为m,木棒对猴子的作 用力为F,则有F=mg;对木棒,设木棒的重力 为Mg,则木棒所受合力为F′+Mg=mg+Mg, 根据力的作用的相互性F=F′,根据牛顿第二定 律,Mg+mg=Ma,可见a是恒量,t时刻木棒 速度vt=at,猴子做功的功率P=mgvt=mgat,P 与t为正比例关系,故B正确.

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第5章

机械能

机车启动问题的计算

12分)汽车发动机 的功率为60 kW,汽车的质量为4 t, 当它行驶在坡度为0.02(sinα=0.02) 的长直公路上时,如图5-1-9所示,图5-1-9 所受摩擦阻力为车重的0.1倍(g=10 m/s2),求: (1)汽车所能达到的最大速度vm. (2)若汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度做匀加 速直线运动,则此过程能维持多长时间?
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例3 (满分样板

第5章

机械能

解题样板 (1)汽车在坡路上行驶,所受阻力由两部分构成. 即Ff=μmg+mgsinα=4000 N+800 N=4800 N.(2分) 又因为F=Ff时,P=Ff·m,所以(2分) v P 60× 3 10 vm= = m/s=12.5 m/s.(1 分) Ff 4800 (2)汽车从静止开始,以a=0.6 m/s2匀加速行驶, 由F=ma,有F′-Ff=ma.(2分) 所以F′=ma+Ff=4×103×0.6 N+4800 N =7.2×103 N.(1分)
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第5章

机械能

保持这一牵引力, 汽车可达到匀加速行驶的最大速 度 v′m,有 P 60× 3 10 v′m= = m/s=8.33 m/s.(2 分) F′ 7.2× 3 10 由运动学规律可以求出匀加速行驶的时间与位移 v′m 8.33 t= = s=13.9 s,(2 分) a 0.6

【答案】

(1)12.5 m/s

(2)13.9 s

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第5章

机械能

【规律总结】

不管对哪种启动方式,机动车

的功率均是指牵引力的功率,对启动过程的分 析也都是用分段分析法,并且将牛顿第二定律 和运动学公式相结合进行综合分析.有时也应 用动能定理求解.

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第5章

机械能

变式训练3 (2011年潍坊抽测)质量为m的汽车在 平直路面上启动,启动过程的速度图象如图5-1 -10所示.从t1时刻起汽车的功率保持不变,整 个运动过程中汽车所受阻力恒为Ff,则( )

图5-1-10
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第5章

机械能

v1 A.0~t1 时间内,汽车的牵引力等于 m t1 v1 B.t1~t2 时间内,汽车的功率等于(m +Ff)v1 t1 mv1 C.汽车运动的最大速度 v2=( +1)v1 Fft1 v1+v2 D.t1~t2 时间内,汽车的平均速度小于 2

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第5章

机械能

解析:选BC.当汽车匀加速启动时,汽车的牵 引力不变,功率逐渐增大,当实际功率等于额 定功率时,以后不能再做匀加速运动;当汽车 满功率运动时,随着速度增大,牵引力减小, 加速度减小,当加速度减小为零时,汽车达到 最大速度,因此此时汽车的功率为P=Ffv2, 在0~t1时间内,汽车做匀加速运动,功率逐渐 增大,加速度为a=v1/t1,由牛顿第二定律得: F-Ff=ma,在t1时刻,汽车的功率P1=Fv1,

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第5章

机械能

v1 解得:P1=(m +Ff)v1,汽车的最大速度 v2= t1 mv1 P1/Ff,解得:v2=( +1)v1;在 t1~t2 时间内, Ff t 1 图象包围的面积大于匀加速运动图象包围的面 积(梯形 At1t2B 的面积),所以汽车的平均速度 v1+v2 大于 ,故 BC 正确. 2

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