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上海市宝山区2014学年高三数学一模考2015(含答案)


宝山区 2014 年第一学期期末 高三年级数学质量监测试卷
(满分 150 分,其中学业水平考试卷 120 分,附加题 30 分,完卷时间 130 分钟) 2014.12 考试注意: 1.答卷前,考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚. 2.本试卷共有 32 道试题,满分 150 分.考试时间 130 分钟. 3.请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答. 一.(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,要求直接填写结果,每题填对 3 分,否则一 律得 0 分. 1. 函数 y ? 3 tan x 的周期是 .

2.计算

2 4 1 3

=



3.计算 lim

n ??

1? 2 ? 3 ? n2
10

?n





4.二项式 (x ? 1) 展开式中, x 的系数为
8



5.设矩阵 A ? ?

? 2 ?2 ? ? 2 4? ?2 4? ? ,若 BA ? ? ? ,B ? ? ? ,则 x ? ? ?1 1 ? ?1 x? ? ?1 ?2 ?

.

6.现有 6 位同学排成一排照相,其中甲、乙二人相邻的排法有 7.若 cos(? ? ? ) ? ?

种.

1 3 , ? ? ? ? 2? ,则 sin ? ? 2 2



8.若一个球的体积为 4 3? ,则它的表面积为__________. 9.若函数 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,则 ? 的 值是 .

P E D A B

10.正四棱锥 P ? ABCD 的所有棱长均相等, E 是 PC 的中点, 那么异面直线 BE 与 PA 所成的角的余弦值等于 .

C

11.直线 x ? 2 y ? 0 被曲线 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ?15 ? 0 所截得的弦长等于



12.已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ), ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图像如图所示, 则 y ? f (x) 的解析式是 f (x) ? .

二.选择题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,每题都给出四个结论,其中有且只 有一个结论是正确的.考生必须把正确结论的代码写在题后的括号内,选对得 3 分,否则 一律得 0 分. 13.已知点 P(tan ? , cos ? ) 在第三象限,则角 ? 的终边在( (A)第一象限
?

) (D)第四象限 )

(B)第二象限

(C)第三象限

14.已知函数 y ? x ? b , x ? (0, ??) 是增函数,则 (

(A) ? ? 0 , b 是任意实数 (B) ? ? 0 , b 是任意实数 (C) b ? 0 , ? 是任意实数 (D) b ? 0 , ? 是任意实数 15.在 ?ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则这个三角形中角 A 的值是( ) (A) 30 ? 或 60 ? (B) 45? 或 60 ? (C) 60 ? 或 120 ? (D) 30 ? 或 150 ? 16.若 log a 3 ? logb 3 ? 0 ,则(



(A ) 0 ? a? b? 1 ( B )? 0 b? a? 1 C ( a )? b? 1 D ( b ) ? a ?
x2 y2 =1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12
(B)2 (C) 3

1

17.双曲线



(A) 2 3

(D)1

18.用数学归纳法证明等式 1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2n ? 1) ? n2 (n∈N*) 的过程中,第二步假设 n=k 时等式成立,则当 n=k+1 时应得到( )

(A) 1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2k ? 1) ? k 2 (B) 1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2k ? 1) ? (k ? 1) 2 (C) 1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2k ? 1) ? (k ? 2) 2 (D) 1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2k ? 1) ? (k ? 3) 2 19.设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则复数

2 2 ? z 对应的点位于( z



(A) 第一象限

(B) 第二象限

(C) 第三象限

(D) 第四象限 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m )

20.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为 ( (A) x ? 3 y ? 2 ? 0 (B) x ? 3 y ? 4 ? 0

(C) x ? 3 y ? 4 ? 0 21.“ tan x ? ?1 ”是“ x ? ? (A)充分非必要条件; (C)充要条件;

(D) x ? 3 y ? 2 ? 0

?
4

? 2k? (k ? Z ) ”的(



(B)必要非充分条件; (D)既非充分又非必要条件. )

22. 在四边形 ABCD 中, AC ? (1, 2) , BD ? (?4, 2) ,则四边形的面积为(

(A) 5

(B) 2 5

(C)5

(D)10

23.函数 y ?

x 2 ? 1 ? 1( x ? 0) 的反函数是(
x 2 ? 2 x ( x ? 0)



(A) y ?

(B) y ? ? x 2 ? 2 x ( x ? 0)

(C) y ?

x 2 ? 2 x ( x ? 2)

(D) y ? ? x 2 ? 2 x ( x ? 2)

24.曲线 y 2 ?| x | ?1 的部分图像是(



(A)

(B)

(C)

(D)

三、解答题(本大题满分 48 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 25.(本题满分 8 分)

?| x ? 1|? 3 ? 解不等式组 ? 2 ?1 ? ?x ?3

26.(本题满分 8 分) 如图,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长 AB ? 2 , 若异面直线 A1 A 与 B1C 所成角的大小为 arctan 柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的体积.
第 26 题

1 ,求正四棱 2

27.(本题满分 10 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分. 已知点 F 为抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点, 点 P 是准线 l 上的动点, 直线 PF 交抛物线 C 于

A, B 两点,若点 P 的纵坐标为 m (m ? 0) ,
点 D 为准线 l 与 x 轴的交点. (1)求直线 PF 的方程; (2)求 ?DAB 面积 S 的取值范围.
P

y

A D O F x

l

B

28.(本题满分 10 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分. 已知函数 f(x) ?

x?a (x ? R) . x2 ? 2

(1)写出函数 y ? f(x) 的奇偶性; (2)当 x ? 0 时,是否存实数 a ,使 y ? f(x) 的图像在函数 g(x) ? 求 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

2 图像的下方,若存在, x

29.(本题满分 12 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 4 分, 第 3 小题满分 5 分. 已知抛物线 x 2 ? 4 y ,过原点作斜率为 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 P 1 ,又过点

1 1 P1 作斜率为 的直线交抛物线于点 P2 ,再过 P2 作斜率为 的直线交抛物线于点 P3 , ,如 2 4 1 此继续。一般地,过点 Pn 作斜率为 n 的直线交抛物线于点 Pn ?1 ,设点 Pn ( xn , yn ) . 2
(1)求 x3 ? x1 的值; (2)令 bn ? x2 n ?1 ? x2 n ?1 ,求证:数列 {bn } 是等比 数列;

(3)记 P 为点列 P 的坐标. 1, P 3 , ???, P 2 n?1 , ??? 的极限点,求点 P 奇 (x 奇 , y 奇 ) 奇

四、附加题(本大题满分 30 分)本大题共有 3 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 30.(本题满分 8 分) 有根木料长为 6 米,要做一个如图的窗框,已知上框架与下框 架的高的比为 1∶2,问怎样利用木料,才能使光线通过的窗框面积 最大(中间木档的面积可忽略不计).

x 2x

31.(本题满分 10 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分. 在平面直角坐标系 xoy 中, 点 P 到两点 0, ? 3 、 0, 3 的距离之和等于 4. 设点 P 的轨迹为 C . (1)写出轨迹 C 的方程; (2)设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A 、 B 两点,问 k 为何值时 OA ? OB ? 此时| AB |的值是多 少?

?

? ?

?

32.(本题满分 12 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 4 分, 第 3 小题满分 5 分. 设数列 ?an ? 的首项 a1 为常数 ? a1 ?

? ?

3? n ? ,且 an?1 ? 3 ? 2an (n ? N*) . 5?

(1)证明: ?an ?

? ?

3n ? ? 是等比数列; 5?

(2)若 a1 ? 明理由.

3 ,?an ? 中是否存在连续三项成等差数列?若存在,写出这三项,若不存在说 2

(3)若 ?an ? 是递增数列,求 a1 的取值范围.

宝山区 2014 年第一学期期末 高三年级数学质量监测参考答案
2014.11.22

1.

?

2. 2

3.

1 2

4. 45

5. 2

6.240

7. ?

3 2

8. 12 ?

9.

? 2

10.

3 3

11. 4 5

12. f (x) ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??
? 4?

二.选择题 13. ( B ) 19.( A ) 三、解答题 25. 由题意得: 由(1)解得 ?2 ? x ? 4 由(2)解得 3 ? x ? 5 ?????????????????????3 分 ??????????????????????6 分 14. (A ) 20. ( D ) 15. (D) 16.(B) 17.( A ) 18.( B ) 24.( C )

21.( B ) 22.( C ) 23.(D)

???????????????8 分
所以,不等式解集为(3,4)

26.

? AA1 // BB1 ? ?CB1 B为AA1、B1C所成的角

且 tan ?CB1 B ?
? BC ? 2

1 2

???????????????4 分

第 25 题

? BB1 ? 4
?V ? sh ? 16

????????????6 分 ?????????8 分

27. 解:(1)由题知点 P, F 的坐标分别为 (?1, m) , (1, 0) , 于是直线 PF 的斜率为 ?

m , 2

???????????????2 分

所以直线 PF 的方程为 y ? ?

m ( x ? 1) ,即为 mx ? 2 y ? m ? 0 . ???????4 分 2

(2)设 A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ,

? y 2 ? 4 x, ? 由? 得 m 2 x 2 ? (2m 2 ? 16) x ? m 2 ? 0 , m ? y ? ? ( x ? 1), ? 2
2m 2 ? 16 , x1 x2 ? 1 . m2

所以 x1 ? x2 ?

??????????????6 分

于是 | AB |? x1 ? x2 ? 2 ?

4m2 ? 16 . ???????????????7 分 m2
2|m| m2 ? 4

点 D 到直线 mx ? 2 y ? m ? 0 的距离 d ?

, ?????????8 分

所以 S ?

1 1 4(m2 ? 4) 2 | m | 4 | AB | d ? ? 4 1? 2 . 2 2 2 m m m2 ? 4

因为 m ? R 且 m ? 0 ,于是 S ? 4 ,所以 ?DAB 的面积 S 范围是 (4, ??) .??10 分

28.解:(1)因为 y ? f(x) 的定义域为 R ,所以

??????????1 分

当 a ? 0 时, f(x) ?

x 是奇函数; x ?2
2

???????????2 分

当 a ? 0 时, f(x) ?

x?a (x ? R) 是非奇非偶函数. ?????????4 分 x2 ? 2

(2)若 y ? f(x) 的图像在函数 g(x) ?

2 图像的下方, x
????????????6 分



4 x ?a 2 ? ,化简得 a ? ? x 恒成立, 2 x x ?2 x

因为 ? x ?

? ?

4? ? ? 4 , ???????????????????????8 分 x?
2 图像的下方.??10 分 x

所以,当 a ? 4 时, y ? f(x) 的图像都在函数 g(x) ?

29. 解:(1)直线 OP 1 的方程为 y ? x ,由

?x 2 ? 4 y 解得 P1 (4, 4) ,??1 分 ? ?y ? x

直线 P2P1 的方程为 y ? 4 ?

1 1 ? x ? 4 ? ,即 y ? x ? 2 2 2



?x 2 ? 4 y ? 得 P2 (?2,1) ,?????????????2 分 ? 1 ?y ? x ? 2 ? 2
1 1 3 ? x ? 2 ? ,即 y ? x ? 4 4 2

直线 P2P3 的方程为 y ? 1 ?



?x 2 ? 4 y 9 ? ? 1 3 解得, P3 (3, ) 4 ?y ? x ? ? 4 2
?????????????????????3 分
1

所以 x3 ? x1 ? 3 ? 4 ? ?1 .
1

(2)因为 Pn ( xn , xn 2 ) , Pn ?1 ( xn ?1 , xn ?12 ) ,由抛物线的方程和斜率公式得到
4
4

1 xn?12 ? xn 2 1 4 ? n ? xn?1 ? xn ? n ??????????????????5 分 4 xn?1 ? xn 2 2
所以 xn ? xn ?1 ?

8 4 ,两式相减得 xn ?1 ? xn ?1 ? ? n n 2 2

??????????6 分

用 2n 代换 n 得 bn ? x2 n ?1 ? x2 n ?1 ? ?

4 , 4n

由(1)知,当 n ? 1 时,上式成立, 所以 {bn } 是等比数列,通项公式为 bn ? ? (3)由 x2 n ?1 ? x2 n ?1 ? ?

4 . ??????????????7 分 4n

4 得, 4n

4 4 4 x3 ? x1 ? ? , x5 ? x3 ? ? 2 ,??, x2 n ?1 ? x2 n ?1 ? ? n , ????????8 分 4 4 4
以上各式相加得 x2 n ?1 ? 所以 x奇 ? lim x2 n ?1 ?
n ??

8 4 ? ,????????????????????10 分 3 3 ? 4n

8 1 2 16 , y奇 ? x奇 ? . 3 4 9

即点 P 的坐标为 ? , 奇

? 8 16 ? ? . ???????????????????????12 分 ?3 9 ?

四、附加题 30. 解:如图设 x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 ?7x ∴窗框的高为 3x,宽为

6 ? 7x . 3

???????????2 分

x 2x

即窗框的面积 y = 3x ·

6 ? 7x 6 2 =?7x + 6x ( 0 < x < ) ??5 分 3 7
????????7 分

2 配方:y = ? 7( x ? ) ?

3 7

9 ( 0 < x < 2 ) 7

∴当 x =

3 3 6 米时,即上框架高为 米、下框架为 米、宽为 1 米时,光线通过窗框面积 7 7 7

最大. ????????????????????????????8 分 31. 解:(1)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3), (0, 3) 为焦点, 长半轴为 2 的椭圆. ????????????????????????2 分 它的短半轴 b ?

22 ? ( 3) 2 ? 1,

故曲线 C 的方程为 x 2 ?

y2 ? 1 .???????????????????4 分 4

? 2 y2 ?1 ?x ? (2)设 A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ) ,其坐标满足 ? 4 ? y ? kx ? 1 ?
消去 y 并整理得 (k 2 ? 4) x 2 ? 2kx ? 3 ? 0 ,

故 x1 ? x2 ? ?

2k 3 . ????????????????5 分 ,x1 x2 ? ? 2 k ?4 k ?4
2

由 OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 而 y1 y2 ? k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ,

??????????????????6 分

于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ?

3 3k 2 2k 2 ?4k 2 ? 1 . ? ? ? 1 ? k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4

所以 k ? ?

1 时, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,故 OA ? OB .?????????????8 分 2

当k ? ?

4 1 12 时, x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? . 17 2 17

AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ,

而 ( x2 ? x1 ) 2 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

42 4 ? 3 43 ?13 , ? 4 ? ? 17 2 17 17 2

所以 AB ?

4 65 .???????????????????????10 分 17

1 n ?1 ? 3? ? 3n ? 5 32. 证明:(1)因为 ? ?2 ,所以数列 ?an ? ? 是等比数列;??3 分 1 n 5? ? an ? ? 3? 5 an ?1 ?
(2) ?an ?

? ?

3 9 3n ? ? 是公比为-2,首项为 a1 ? ? 的等比数列. 5 10 5?

通项公式为 an ?

3n ? 3? 3n 9 ? ? a1 ? ? (?2)n?1 ? ? (?2)n?1 , ???????4 分 5 ? 5? 5 10

若 ?an ? 中存在连续三项成等差数列,则必有 2an?1 ? an ? an? 2 ,

即 2[

3n ?1 9 3n 9 3n?2 9 ? (?2) n ] ? ? (?2) n ?1 ? ? (?2) n ?1 5 10 5 10 5 10

解得 n ? 4 ,即 a 4 , a5 , a6 成等差数列. ???????????????7 分

(3)如果 an?1 ? an 成立,即 数均成立. 化简得

3n?1 ? 3? 3n ? 3? ? ? a1 ? ? (?2)n ? ? ? a1 ? ? (?2)n?1 对任意自然 5 ? 5? 5 ? 5?

4 n 3 ? 3 ? ?(a1 ? )( ?2) n 15 5
3 4 3 n ? ( ) , 5 15 2

????????????????9 分

当 n 为偶数时 a1 ? 因为 p (n) ?

3 4 3 n ? ( ) 是递减数列,所以 p(n) max ? p(2) ? 0 , 5 15 2
???????????????????????10 分

即 a1 ? 0 ;

当 n 为奇数时, a1 ?

3 4 3 n 3 4 3 ? ( ) ,因为 q(n) ? ? ( ) n 是递增数列, 5 15 2 5 15 2

所以 q(n) min ? q(1) ? 1,即 a1 ? 1 ;???????????????11 分 故 a1 的取值范围为 (0,1) . ???????????????????12 分


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