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辽宁省抚顺市六校联合体2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题


一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.如果向量 a ? (k ,1) 与 b ? (4, k ) 共线且方向相反,则 k =( A、 ?2 B、 ?2 C、2 D、0 )

2. 若n ? Z, 在① sin( n? ? 中,与 sin A. ①和②

?
3

), ② sin(2n? ?


?
3

), ③ sin[n? ? (?1) n

?
3

)], ④ cos[2 n? ? ( ?1) n

?
6

]

? 相等的是( 3
B. ③和④

C. ①和④

D. ②和③

3.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子的身高数据如下: 父亲身高 x(cm) 儿子身高 y (cm) 174 175 175 175 176 176 176 177 179 177

则,对 A.

x 的线性回归方程为( )
B. y ? x ? 1 C. y ? 88 ?

y ? x ?1

1 x 2

D. y ? 176 ? ) D.

1 x 2

4.若 sin ?

?? ? 1 ?? ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 2? ? 等于 ( ?3 ? 4 ?3 ? 7 1 1 A. ? B. ? C. 4 8 4

7 8

5. 已知 ? ABC 和点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 , 若存在实数 n 使得 AB ? AC ? nAM 成立,则 n = ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6 .已知 A (- 3 , 0 ) 、B(0,2) , O 为坐标原点,点 C 在∠ AOB 内,且∠ AOC = 45 °,设

OC ? ?OA ? (1 ? ?)OB, (? ? R) ,则 ? 的值为(
A、



1 5

B、

1 3

C、

2 5

D、

2 3

7.如下图所示程序框图,已知集合 A ? {x | x 是程序框图中输出的值},

集合 B ? { y | y 是程序框图中输出的值},全集 U=Z,Z 为整数集, 当 x ? ?1 时, (CU A) ? B 等于( ) A. ??3, ?1,5? C.{-3, -1,7} B.{-3. -1,5,7} D.{-3, -1,7,9}

8.已知函数 y ? f ( x) ,将 f ( x) 图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的 2 倍,然后把所 得到的图象沿 x 轴向左平移 解析式为( ) B. f ( x) ? 3 sin( 2 x ? D. f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

? 个单位,这样得到的曲线与 y ? 3 sin x 的图象相同 , 那么 y ? f ( x) 的 4

x ? ? ) 2 4 x ? C. f ( x) ? 3 sin( ? ) 2 4
A. f ( x) ? 3 sin(

? ?
4

) )

4

9. 己知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为奇函数, 该函数的部分图象如图所示, △EFG 是边长为 2 的等边三角形,则 f (?1) 的值为( )

A. ?

3 2

B. ?

6 2
2

C. 3

D. ? 3

10.函数 y ? cot(

?
4

x?

?

) , x ? (2,6) 的图象与 x 轴交于 A 点,过点 A 的直线 l 与函数
) D. 32 )

的图象交于 B, C 两点,则 (OB ? OC) ? OA ? ( A.4 B.8

11.关于 f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
4

C.16

) 有以下命题,其中正确的个数(

①若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 则 x1 ? x2 ? k? (k ? Z ) ;② f ( x) 图象与 g ( x) ? 3 cos( 2 x ? ③ f ( x) 在区间 [ ? 是 A、0 . B、1 C、2 D、3

?
4

) 图象相同;

7? 3? ? ,? ] 上是减函数;④ f ( x) 图象关于点 (? ,0) 对称。其中正确的命题 8 8 8

12.在四边形 ABCD 中, AB ? DC ? (1,1) ,

BA | BA |

?

BC | BC |

?

3 BD | BD |

, C D

B

A

则四边形 ABCD 的面积为( A. 3 B. 2 3

) C.2 D.1

第Ⅱ卷(20 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.已知 | a |? 1 , | b |? 2 , ? a, b ?? 60? ,则 | 2a ? b |? 14.sin15°cos75°+cos15°sin105°=_________; 15.设 a ? sin ;

5? 2? 2? , b ? cos , c ? tan ,则 a, b, c 的大小关系为 7 7 7
(2)存在实数 ? ,使 sin ? ? cos ? ?

(按由

小至大顺序排列) 16.(1)存在实数 ? ,使 sin ? cos ? ? 1

3 2

(3)函数 y ? sin( ? ? x ) 是偶函数 (4)若 ?、? 是第一象限的角,且 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? .其 中正确命题的序号是________________ 三、解答题 17.(本小题满分 10 分)已知 | a |? 1 , | b |? 2 . (I)若 a // b ,求 a ? b ; (II)若 a ? b 与 a 垂直,求当 k 为何值时, (k a ? b) ? (a ? 2b) 。 18.(本小题满分 12 分)掷甲、乙两颗骰子,甲出现的点数为 x ,乙出现的点数为 y ,若令 p ( A) 为

3 2

| x ? y |? 1 的概率, P ( B ) 为 xy ? x2 ? 1 的概率,试求 P( A) ? P( B) 的值。
19. (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos2 x ? 1( x ? R) ⑴求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间 ?0,

? ?? ? 上的最大值和最小值; ? 2?

⑵若 f ( x 0 ) ?

6 ? ?? ? ? , x 0 ? ? , ? ,求 cos( 2 x 0 ? ) 的值。 5 6 ?4 2?
2

20、 (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中,角 ? , ? 的始边为 x 轴的非负半轴,点 P(1,2 cos 在角 ? 的终边上,点 Q (sin ⑴求 cos 2? ;
2

?)

? ,?1) 在角 ? 的终边上,且 OP ? OQ ? ?1 .

⑵求 P,Q 的坐标,并求 sin(? ? ? ) 的值。

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) , (?? ? ? ? 0) , y ? f ( x) 图象的一条对称轴是直线 x ?

?
8

.

(1)求 ? ;

(2) 求函数 y ? f ( x) 的单调增区间;

(3)画出函数 y ? f ( x) 在区间[0,π ]上的图象. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? A ? 0, ? ? 0, ? ? (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ? ? ?6, ? ? 时,求函数 y ? f ( x) ? f ( x ? 2) 的最大值与最小值及相应的 x 的值. 3

? ?

?

? , x ? R ? 图象的一部分如图所示. 2 ?

? ?

2? ?

22.

2π π 22.解 (1)由图象知 A=2,T=8,∵ T= =8,∴ ω= . ω 4 π π π? π π ? 又图象过点(-1,0),∴ 2sin? f(x)=2sin? ?-4+φ?=0.∵|φ|<2,∴φ=4.∴ ?4x+4?.(6 分)

π π? π ?π π π? ?π π? (2)y=f(x)+f(x+2)=2sin? ?4x+4?+2sin?4x+2+4?=2 2sin?4x+2?=2 2cos 4x. ?-6,-2?,∴-3π≤πx≤-π. ∵ x∈ 3? ? 2 4 6 2π π 解 (1)由图象知 A=2,T=8,∵ T= =8,∴ ω= . ω 4 π π π ?πx+π?.(6 分) - +φ?=0.∵ 又图象过点(-1,0),∴ 2sin? | φ |< ,∴ φ = . ∴ f ( x ) = 2sin ? 4 ? ?4 4 ? 2 4 π π π π π π π π ? ? ? ? ? (2)y=f(x)+f(x+2)=2sin? ?4x+4?+2sin?4x+2+4?=2 2sin?4x+2?=2 2cos 4x. ?-6,-2?,∴-3π≤πx≤-π. ∵ x∈ 3? ? 2 4 6 π 当 x= - ? 时,即 x=-4 时, ymin ? ?2 2 4 2 π π 当 x= - 时,即 x= ? 时, ymax ? 6 4 6 3





2013-2014 学年抚顺市六校联合体高一下学期期末考试试题
班 级







号 答案:一、选择 1——5 B、B、C、A、B


6——10 C、D、D、C、D

11——12 D、A

二、填空 13、 2 3


14、1

15、 b ? a ? c

16、 (3)

三、 17.(I) a ? b ? ? a ? b ? ?2 ………(4 分)
2

线

(II) 若 a ? b 与 a 垂直 ∴ a ? b ? a =0 ∴ a ? b ? a



? ? ?1 使得 ?k a ? b ? ? ? a ? 2 b ?,只要 ?k a ? b ?? ? a ? 2 b ? ? 0 ………(6 分)
2

即k a


? ?2k ? 1? a ? b ? 2 b
………(10 分)

2

?0

………(8 分)

∴k ? 3

18.解: P ( A) ?


20 5 22 11 7 ? , P( B) ? ? ,则 P ( A) ? P ( B ) ? 36 9 36 18 6

19. 1)由题可知: f ( x) ? 2 sin( 2 x ?


?

? ? ? 7? ? ? ? x ? [0, ] ,?2 x ? ? [ , ] , 所以 f ( x) max ? f ( ) ? 2 , f ( x) min ? f ( ) ? ?1 2 6 6 6 6 2
2)由 1)可知 f ( x 0 ) ? 2 sin( 2 x 0 ?

6

) ,所以函数的最小正周期为 T ? ? ;

?



? ? ? 2? 7? 又? x0 ? [ , ] ? 2 x0 ? ? [ , ] 6 4 2 6 3 6 ? ? 4 则 cos( 2 x 0 ? ) ? 0 ? cos( 2 x 0 ? ) ? ? 6 6 5
则 f ( x0 ) ? 2 sin( 2 x0 ?

?

6

)

)?

6 5

20. 1



1 ? cos 2? 1 ? OP ? OQ ? ?1? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? ?1? ? (1 ? cos 2? ) ? ?1? cos 2? ? 2 3 1 ? cos 2 ? 2 1 ? cos 2 ? 1 4 1 2 ? , sin 2 ? ? ? ? P(1, ), Q( ,?1) 2)由 1)可知 cos ? ? 2 3 2 3 3 3

? | OP |?

5 10 4 3 3 10 10 , | OQ |? ? sin ? ? , cos? ? , sin ? ? ? , cos ? ? 3 3 5 5 10 10

sin(? ? ? ) ? ?

10 10

? 是 函 数 y=f ( x ) 的 图 象 的 对 称 轴 , 8 ? ? ? 所 以 sin(2 + φ ) = ±1, 即 + φ = k π + , k ∈ Z . 8 4 2 3? 因 为 -π< φ < 0, 所 以 φ = ? . 4 3? 3? ( 2) 由 ( 1) 知 φ = ? , 因 此 y = sin(2 x ? ). 4 4 ? 3? ? 由 题 意 得 2 k π ? ≤2 x ? ≤2 k π + , k ∈ Z , . 4 2 2 3? ? 5? 所 以 函 数 y = sin(2 x ? )的 单 调 增 区 间 为 [kπ+ , kπ+ ] , k ∈ Z. 4 8 8 3? ( 3 ) 由 y = sin(2 x ? )知 : 4
21.( 1 ) 因 为 x = π x 0 8 8 8 8 3π 5π 7π π

.y

?

2 2

-1

0

1

0

?

2 2

故 函 数 y=f ( x ) 在 区 间 [0 , π ] 上 的 图 象 是 .

22. 2π π 22.解 (1)由图象知 A=2,T=8,∵ T= =8,∴ ω= . ω 4 π π π? π π ? 又图象过点(-1,0),∴ 2sin? f(x)=2sin? ?-4+φ?=0.∵|φ|<2,∴φ=4.∴ ?4x+4?.(6 分) π π? π π π π π π x+ +2sin? x+ + ?=2 2sin? x+ ?=2 2cos x. (2)y=f(x)+f(x+2)=2sin? 4 4 4 2 4 4 2 ? ? ? ? ? ? 4 2 3 π π π ?-6,- ?,∴- ≤ x≤- . ∵ x∈ 3? ? 2 4 6 2π π 解 (1)由图象知 A=2,T=8,∵ T= =8,∴ ω= . ω 4 π π π ?πx+π?.(6 分) - +φ?=0.∵ 又图象过点(-1,0),∴ 2sin? | φ |< ,∴ φ = . ∴ f ( x ) = 2sin ? 4 ? ?4 4? 2 4

π π? π ?π π π? ?π π? (2)y=f(x)+f(x+2)=2sin? ?4x+4?+2sin?4x+2+4?=2 2sin?4x+2?=2 2cos 4x. ?-6,-2?,∴-3π≤πx≤-π. ∵ x∈ 3? ? 2 4 6 π 当 x= - ? 时,即 x=-4 时, ymin ? ?2 2 4 2 π π 当 x= - 时,即 x= ? 时, ymax ? 6 4 6 3



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