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第三章 3.2.1 几种不同增长的函数模型


10 学年高一

第三章 3.2.1 几种不同增长的函数模型
一、教学目的 1、 利用函数图象及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异; 2、 结合实例让学生体会直线上升,指数爆炸,对数增长等不同增长的函数模型的意义; 3、 运用函数的三种表示法(解析式、图象、表格)并结合信息技术解决一些实际问题; 4、 以一些实际例子,让学生了解社会

生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、 幂函数、分段函数等)的广泛应用。 二、教学重点、难点 重点:将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模 型的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。 难点:怎样选择数学模型分析解决实际问题。 三、教学过程 1、复习引入 几类不同增长的函数模型 2、新课 例 1 假设你有一笔资金用于投资, 现有三种投资方案供你选择, 这三种方案的回报如下: 1) 每天回报 40 元; 2) 第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元; 3) 第一天回报 0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一番。 请问:你会选择哪一种投资方案?(让学生充分讨论) 设问: 投资方案选择原则: 投入资金相同,回报量多者为优 (1) 比较三种方案每天回报量 (2) 比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总回报量最多,我们就在那段时间选择该方案。 方案一 x/ 天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … y/ 元 40 40 40 40 40 40 40 40 40 … 增长量/ 元 0 0 0 0 0 0 0 0 0 … 方案二 y/ 元 10 20 30 40 50 60 70 80 90 … 10 10 10 10 10 10 10 10 … 增长量/ 元 方案三 y/元 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4 … 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 … 增长量/元

1

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30

40

0

300

10

214748364.8

107374182.4

根据上表我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型,再通过比较它们的增长 情况,为选择投资方案提供依据。 解:设第 x 天所得回报为 y 元,则 方案一:每天回报 40 元; y=40 (x∈N*) 方 案 二 : 第 一 天 回 报 10 元 , 以 后 每 天 比 前 一 天 多 回 报 10 元 ; y=10x (x∈N*) 方案三:第一天回报 0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一番。 Y=0.4×2x-1(x ? N )
*

从每天的回报量来看: 第 1~4 天,方案一最多: 每 5~8 天,方案二最多: 第 9 天以后,方案三最多; 设问: 有人认为投资 1~4 天选择方案一; 5~8 天选择方案二; 9 天以后选择方案三。 累积回报表 天 数 方 案 一

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

40

80

120

160

200

240

280

320

360

400

440

2

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二 三

10 0.4

30 1.2

60 2.8

100 6

150 12.4

210 25.2

280 50.8

360 102

450 204.4

550 409.2

660 816.8

结论 投资 1~6 天, 应选择第一种投资方案; 投资 7 天, 应选择第一或二种投资方案; 投资 8~10 天,应选择第二种投资方案;投资 11 天(含 11 天)以上,应选择第三种投资方案。 例题的启示: 解决实际问题的步骤: (1)实际问题 (2)读懂问题抽象概括 (3)数学问题 (4)演算推理 (5)数学问题的解 (6)还原说明 (7)实际问题的解 例 2 某公司为了实现 1000 万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案: 在销售利润达到 10 万元时, 按销售利润进行奖励, 且资金 y(单位: 万元)随着销售利润 x (单 位:万元)的增加而增加,但资金数不超过 5 万元,同时奖金不超过利润的 25%。现有三个 奖励模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求呢? 设问:本题中涉及了哪几类函数模型?实质是什么? 分析: 某个奖励模型符合公司要求, 就是依据这个模型进行奖励时, 奖金总数不超过 5 万元, 同时奖金不超过利润的 25%,由于公司总的利润目标是 1000 万元,所以人员销售利润一般 不会超过公司的总的利润。于是,只需在区间【10,1000】上,检验三个模型是否符合公司 要求即可。 解:见书本 P97 解:作出 y ? 5, y ? 0.25x, y ? log7 x ? 1, y ? 1.002x 图像, 1、 否决 y ? 0.25x, y ? 1.002x , 从图象上:看在[10,1000]上, y ? 0.25x, y ? 1.002x 都有一部分在 y ? 5 上面; 注意:图象的功能和误差性。 计算确认: (1) x ? 20 时 y ? 0.25 x ? 5, 且 x ? 20, y ? 5 ,所以该模型不符要求。
x x (2)解 1.002 ? 5 ,知 805 ? x ? 806 ,即在 ?805,806? 内有一点 x0 满足 1.002 ? 5

x 而 y ? 1.002 在[10,1000]上是增函数,所以, x ? x0 时, 1.002 ? 5 ,所以,所以该模型
x

也不符要求。 2、 确定函数 y ? log7 x ? 1 的有效性:

y ? log7 x ? 1 在[10,1000]上为增函数,但当 x ? 1000 时, y ? log7 1000 ? 1 ? 4.55 ? 5
3

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所 以 , 符 合 不 超 过

5

万 元 的 要 求 , 再 有

y log 7 x ? 1 ? ? 0.25 , 令 x x

y ? l o7 g x ? 1 ?

0 x 2? 5 , . x?

?

, 0 , 出0 0 象 知 , 为 减 函 数 , 所 以 , 1 作 1 图 0

f ? x ? ? f ?10? ? ?0.3167 ? 0 ,所以, y ? log7 x ? 1 ? 0.25x ,所以,当 x??10,1000? 时,


y log 7 x ? 1 ? ? 0.25 ,所以,奖金不会超过利润的 25%。 x x

综上所述,模型 y ? log7 x ? 1 符合要求。 3.概括一般地: 例 3.探究函数模型 y ? a x , y ? xn , y ? loga x ? a ? 1, n ? 0? 的增长情况并分析差异。 先分析函数 y ? 2 x , y ? x 2 , y ? log2 x 的增长情况并分析差异。 1、 用几何画板作出三个函数的图象; 2、 指出都为增函数但增长速度不一样; 3、 在 x ? 0 时, y ? 2x 和 y ? x2 有两个交点 ? 2,4? , ? 4,16? ,即 x ? ?0, 2 ? 时 2x ? x2 ,

x?? 2,4? 时 2x ? x2 , x?? 4, ??? 时 2x ? x2 ,
4、 当 x 充分大时, 2 远大于 x 2 , 2 几乎是垂直上升,即为指数爆炸。 5、 在区间(0,+∞)上,随着 x 的增大, y ? log 2 x 增大得越一越慢,图象就像是渐渐地 与 x 轴平行一样。其趋势远小于 y ? 2 , y ? x 的增长;
x 2
x x

一般地, x n 结论 1:在区间(0,+∞)上,无论 n 比 a 大多少,尽管在 x 的一定范围内,a 会小于 x ,但 x n x n 由于 a 的增长快于 x 的增长,因此总存在一个 x0,当 x>x0 时,就会有 a >x . 结论 2:在区间(0,+∞)上,随着 x 的增大,logax 增大得越一越慢,图象就像是渐渐地与 x n n 轴平行一样。尽管在 x 的一定范围内, logax 可能大于 x ,但由于 log x 的增长慢于 x 的 a n 增长,因此总存在一个 x0,当 x>x0 时,就会有 logax<x . 综上所述:对指数函数、幂函数和对数函数,在(0,+∞)上,尽管指数函数 y=ax(a>1)、 对数函数 y=logax(a>1)和幂函数 y=xa(a>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同 一“档次”上,随着 x 的增大,指数函数 y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大 于幂函数 y=xa(a>0),而对数函数 y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢。因此,总会存在一 个 x0,当 x>x0 时,就有 logax<xn<ax。

4

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3、小结: (1)解决实际问题的步骤: 实际问题 读懂问题 将问题抽象化 (2)几种常见函数的增长情况: 常数函数 没有增长 一次函数 直线上升

数学模型 指数函数 指数爆炸

解决问题

作业:P98 练习 2 ; P107 A 组 1,2;P112-113 A:2,4;B:1,2 作业本: P55 3.2.1 课外作业:课本 P101 实习作业;成材之路:P92 3.2.1 ;背面 P53 3.2.1

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