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函数的连续性


第四章 函数的连续性
§1 连续性的概念
(一) 教学目的:掌握函数连续性概念. (二) 教学内容: 深刻理解函数连续,函数左右连续,区间上函数连续,间断点及其分类等概念.对一般的函 数特别是初等函数可以讨论其间断点并且分类. 基本要求: 1)掌握函数连续性概念,可去间断点,跳跃间断点,第二类间断点,区间上的连续函数 的定义. 2) 较高要求:讨论黎曼函数的连

续性. (三) 教学建议: (1) 函数连续性概念是本节的重点.对学生要求懂得函数在一点和在区间上连续的定 义,间断点的分类. (2) 本节的难点是用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性,对较好学生布置有关习 题.

————————————————————————————



函数在一点 x0 的连续
x ? x0

先回顾一下函数在 x0 点的极限 lim f ( x) ? A 设函数 f (x) 在 x0 的某个空心邻域内有定义, A 是一个确定的数,若对

?? ? 0 , ? ? ? 0 ,当 0 ? | x ? x0 | ? ? 时,都有 | f ( x) ? A | ? ? ,则称 f (x) 在 x ? x0
时,以 A 为极限。 这里 f ( x0 ) 可以有三种情况 1) f ( x0 ) 无定义,比如上章讲过的特殊极限 lim
x ? x0

sin(x ? x0 ) ?1 x ? x0

2) f ( x0 ) ? A ,比如 f ( x) ? ?

? x , x ? x0 , lim f ( x) ? x0 ? f ( x0 ) x ? x0 ? x ? 1 , x ? x0

x0

x0

3) f ( x0 ) ? A

x0

对 1,2 两种情况,曲线在 x0 处都出现了间断; 第 3 种情况与前两种情况不同,曲线在

x0 处连绵不断,我们称这种情况为, f (x) 在 x0 处连续。
定义 1 设函数 f (x) 在 x0 的某邻域内有定义,若
x ? x0

lim f ( x) ? f ( x0 )

( 2)

则称函数 f (x) 在 x0 点连续。 例如 函数

f ( x) ? 2 x ? 1 在点 x ? 2 连续,因为
lim f ( x) ? lim(2 x ? 2) ? 5 ? f (2)
x?2 x?2

1 ? ? x sin , x ? 0 又如,函数 f ( x) ? ? x ? 0 , x?0 ?
lim f ( x) ? lim x sin
x ?0 x ?0

在 x ? 0 处连续。因为

1 ? 0 ? f (0) x
x ? x0

若记 ?x ? x ? x0 ,
x ? ?x

?y ? f ( x) ? f ( x0 ) 则 lim f ( x) ? f ( x0 ) 可等价的叙述为

lim ?y ? 0 ,于是函数 f (x) 在 x0 点连续的定义又可以叙述为
定义 1(2) 设函数 f (x) 在 x0 的某邻域内有定义,若

?x ? 0

lim ?y ? 0

则称 f (x) 在 x0 点连续。 另外,由于函数 f (x) 在 x0 点连续是用极限形式表述的,若将 用 ? ? ? 语言叙述,则 f (x) 在 x0 点连续又可以定义为: 定义 1(3) 设函数 f (x) 在 x0 的某邻域内有定义,若对 ? ? ? 0 ,
x ? x0

lim f ( x) ? f ( x0 ) 改

? ? ? 0 ,使得当

| x ? x0 | ? ? 时,都有
| f ( x) ? f ( x0 ) | ? ? ,
则称 f (x) 在 x0 点连续。 注意 函数 f (x) 在 x0 点连续,不仅要求 f (x) 在 x0 点有定义,而且要求 x ? x0 时,

( 2)

f (x) 的极限等于 f ( x0 ) ,因此这里在极限的“ ? ? ? ” 语言叙述中把
“ 0 ? | x ? x0 | ? ? ”换成了“ | x ? x0 | ? ? ”。最后, (1) 式又可表示为
x ? x0

lim f ( x) ? f ( lim x) ,
x ? x0 x? x0

可见“ f 在 x ? 0 连续”意味着极限运算 lim 对应法则 f 的可交换性。 例 1 证明函数 f ( x) ? xD( x) 在点 x ? 0 连续,其中 D (x ) 为狄利克雷函数。 证明 由 f (0) ? 0 及 D( x) ? 1 ,对于任意的 ? ? 0 ,为使

f ( x) ? f (0) ? xD( x) ? x ? ?
只要取 ? ? ? ,即可按 ? ? ? 定义推得在连续。 相应于在的左、右极限的概念,我们给出左右连续的定一如下: 定义 2 设函数 f (x) 在 x0 的某左(右)邻域内有定义,若
x ? x0 ?

lim f ( x) ? f ( x0 ) ( lim f ( x) ? f ( x0 ) )
x ? x0 ?

则称 f (x) 在 x0 点左(右)连续。 由极限与单侧极限的关系不难得出: 定理 4.1 函数 f (x) 在 x0 点连续的充分必要条件为: f (x) 在 x0 点既左连续又右连续。 例 2 讨论函数 f ( x) ? ?

?x ? 2 , x ? 0 在 x ? 0 的连续性。 ?x ? 2 , x ? 0

解 因为

x ?0? x ?0?

lim f ( x) ? lim( x ? 2) ? 2 ? f (0)
x ?0 x ?0

lim f ( x) ? lim( x ? 2) ? ?2 ? f (0)
2

所以 f (x) 在 x ? 0 右连续,但不左连续,从 而 f (x) 在 x ? 0 不连续。

0 -2

二 间断点及其分类
定义 3 设函数 f 在某 U o ( x0 ) 内有定义。若 f 在点 x0 无定义,或在点 x0 有定义但不连续,则称点 x0 为函数 f 的间断点或不连续点。 由连续的定义知,函数 f (x) 在 x0 点不连续必出现如下情形: 1) lim f ( x) ? A ,而 f 在点 x0 无定义,或有定义但 lim f ( x) ? A ? f ( x0 )
x ? x0 x ? x0

2)左、右极限都存在,但不相等, 称 ? ? | lim f ( x) ? lim f ( x) | 为跳跃度
x ? x0 ? x ? x0 ?

3)左、右极限至少一个不存在 据此,函数 f 的间断点可作如下分类: 1.可去间断点 情况 1) x0 称为 可去间断点(或可去不连续点);



? sin x ,x ? 0 ? f ( x) ? ? x , ? ?1 , x ? 0 ?

lim f ( x) ? 1 ? ?1 ? f (0)
x ?0

x ? 0 是 f (x) 的可去间断点。



f ( x) ?| sgn( x ? a ) | , lim f ( x) ? 1 ,
x ?a

f (a) ? 0 , x ? a 是 f (x) 的可去间断点。

2.跳跃间断点 情况 2) x0 称为可跳跃间断点; 情况 1),2)统称第一类间断点。 例 y ? [x] 因为 lim f ( x) ? n ,
x ?n ? x ? x0 ?

lim ? n ? 1 ,所以 y ? [x] 的整数点为跳跃间断

点,跳跃度等 1.

4 3 2 1

-4 -3 -2 -1 o

-1 -2 -3 -4
x ?0 ?

1 2 3 4 5

x

例 f ( x) ? sgn x 因为 lim sgn x ? 1 ,
x ?0 ?

lim sgn x ? ?1

所以 f ( x) ? sgn x 在 x ? 0 处为跳跃间断点,跳跃度等 2. 3.情况 3) x0 称为可第二类间断点; 例 f ( x) ?

1 , lim f ( x) 不存在,所以 x ? 0 是 f (x) 的第二类不连续点。 x? 0 x

为了加强理解和记忆,我们画出两类不连续点的图象(c41)

subplot(2,2,1) ezplot('sin(x)/x',[-0.5,0.5]) hold on plot(0,1,'r*') subplot(2,2,2) ezplot('sin(x)+sign(x)',[-pi/3,pi/3]) hold on plot(0,0,'r*'), subplot(2,2,3)

ezplot('sin(1./x)',[-0.5,0.5]) hold on plot(0,0,'r*') subplot(2,2,4) ezplot('abs(1./(x+eps))',[-0.5,0.5]), hold on plot(0,28,'r*')

sin(x)/x 1 0.99 0.98 0.97 0.96 -0.5 0 x sin(1/x) 0.5 2 1 0 -1 -2 -1

sin(x)+sign(x)

-0.5

0 0.5 x abs(1/(x+eps))

1

1 0.5 0 -0.5 -1 -0.5 0 x 0.5

25 20 15 10 5 -0.5 0 x 0.5

三 区间上的连续函数
定义 若函数 f (x) 在区间 I 上每一点都连续,则称 f (x) 为 I 上的连续函数,对于区间端 点上的连续性则按左、右连续来确定。

例如 y ? c , y ? x, y ? sin x , y ? cos x 是 (?? , ? ?) 内的连续函数, y ? 1 ? x 2 在

(?1 , 1) 的每一点都连续,在 x ? 1 左连续性,在 x ? ?1 右连续性,因而是 [?1, 1] 上的连续函
数(参见上章§1 的例题)。 定义 如果 f (x) 在区间 [a , b] 上仅有有限个第一类不连续点,则称函数 f (x) 在间 [a , b] 上按段连续。 例如 y ? [ x] , y ? sgn x 是按段连续函数。 例 3 讨论黎曼函数

p ?1 ? , x? q R( x) ? ? q ?0 , x ? 0 , 1 ?
的连续性

,(p,q)为正整数,p/q 为既约真分数

及 (0,1) 内的无理数

证明 设 ? ? (0,1) 为无理数,任给 ? ? 0 不妨设?〈 1

?

2

?,满足 1 ? ? 正数显然只有有限个 q

q (但至少有有一个,如 q ? 2 ),从而使 R(x) ? ? 的有理数 x ? (0,1) 只有有限个(至少有有一个,


1 ),设为 x1 ,?, xn ,取 2

? ? min? x1 ? ? ,? xn ? ? ,? ,1 ? ? ?,(显然 ? ? 0 )
则对任何 x ? U (? ; ? )(? (0 , 1)), 当 x 为有理数时有 R(x) ? ? ,当 x 为无理数时 R( x) ? 0 .于 是,对任何 x ? U (? ; ? ) ,总有

R( x) ? R(? ) ? R( x) ? ?
这就证明了 R (x) 在无理点 ? 处连续。 现设

p 1 p 为 (0,1) 内任一有理数,取 ? 0 ? ,对任何正数 ? (无论多么小),在 U ( ; ? ) q q 2q

内总可取无理数 x0 (? (0,1)) ,使得

p 1 R( x 0 ) ? R( ) ? ? ? 0 q q

所以 R (x) 在任何有理点处都不连续。 小结:1)函数在一点连续的三个等价定义;2)函数的左右连续性; 3)不连续的分类:可去不连续点;跳跃不连续;第二类不连续点;

4)区间上连续函数的定义。


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