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福建省漳州市八校2014届高三第四次联考数学文试卷


2014 届漳州八校第四次联考数学(文科)试卷
第Ⅰ卷(选择题
一、 只有一项是符合题目要求的。
开始

共 60 分)

2014.5.4

选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,

1. A ? {x | x ? 1}

, B ? {x | x ? 2 x ? 0},则 A
2

B?
输入 x

(A) (0,1)

(B) (??, ?2)

(C) (?2, 0)

(D) (??, ?2)

(0,1)



2. 设 i 为虚数单位,则复数 (A)1 (B)i

2i 的虚部为 1? i
(D)-i

x?0



(C)-1

f ( x) ? 4 x

f ( x) ? 2x

3. 根据给出的算法框图,计算 f (?1) ? f (2) ?
输出

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 4

f ( x)

4. 下列命题中的真命题是 设 m、n 是两条不同的直线,?、? 是两个不同的平面。下列四 结束 个命题正确的是( ) B. 若m ? ? , ? // ? , 则m // ? D. 若? ? ? , ? ? ? , 则? ? ? 第 3 题图

A. 若m、n ? ? , m // ? , n // ? , 则? // ? C. 若m ? ? , ? ? ? , n // ? , 则m ? n

5. 某几何体的三视图如右图,(其中侧视图中的圆弧是半圆 ),则该几何体的表面
2

积为 (A) 92 ? 14? (C) 92 ? 24? (B) 82 ? 14?
正视图

6

4

侧视图

(D) 82 ? 24?
4

x ? 0, ? y?3 ? y ? 0, 6. 若变量 x,y 满足约束条件 ? 则z ? 的取值范围是 x ?1 ? 4 x ? 3 y ? 12, ?
(A) (

5 俯视图 第5题图

3 ,7) 4

(B)[

2 ,5 ] 3

c[

7. 已知函数 f ( x) ? sin 2 x 向左平移 的说法正确的是 (A)图象关于点 ( ? (C)在区间 [?

?
6

2 ,7] 3

D [

3 ,7] 4

个单位后,得到函数 y ? g ( x) ,下列关于 y ? g ( x)

?
3

, 0) 中心对称

(B)图象关于 x ? ? (D)在 [ ?

?
6

轴对称

5? ? , ? ] 单调递增 12 6

? ?

, ] 单调递减 6 3

| x| 8. 函数 y ? a 与 y ? sin ax ( a ? 0 且 a ? 1 )在同一直角坐标系下的图象可能是

9. 若正实数 x , y 满足 x ? y ? A.3 B.4

1 1 ? ? 5 ,则 x ? y 的最大值是( x y
C.5 D.6

)

10. 在 ?ABC 中,角 A,B,C 对应边分别是 a,b,c, a ? 5 , b ? 8 , C ? 60? , 则 BC ? CA? | CA ? CB | 等于( (A) ?13 (B) 27 ) (C) 20 3 ? 5 (D) ?20 3 ? 5

x2 y 2 1 2 x ? 1与双曲线 11. 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦距为 2 5 ,抛物线 y ? 16 a b
C 的渐近线相切,则双曲线 C 的方程为 A.

x2 y 2 ? ?1 8 2

B.

x2 y 2 ? ?1 2 8

C.

x2 ? y2 ? 1 4

D. x ?
2

y2 ?1 4

12. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数, 则 (A) f (?10) ? f (3) ? f (40) (C) f (3) ? f (40) ? f (?10) (B) f (40) ? f (3) ? f (?10) (D) f (?10) ? f (40) ? f (3)

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. 13. 已知圆 C 的圆心是直线 x ? y ? 1 ? 0 与 y 轴的交点,且圆 C 与直线 x ? y ? 3 ? 0 相切, 则圆的标准方程为 14. 已知函数 f ( x) ? ? .

?log3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

,则 f ( f ( )) ?

1 9



15. 在区间 [-2 , 3] 上任取一个数 a ,则函数 f ( x) ? 为 .

1 3 x ? ax 2 ? (a ? 2) x 有极值的概率 3

16. 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 (??, ?1)

(1, ??) , 其 图 象 上 任 一 点 P( x, y) 满 足

x2 ? y 2 ? 1,则下列说法中 ①函数 y ? f ( x) 一定是偶函数;

②函数 y ? f ( x) 可能是奇函数;

③函数 y ? f ( x) 在 (1, ??) 单调递增;④若 y ? f ( x) 是偶函数,其值域为 (0, ??) 正确的序号为_______________.(把所有正确的序号都填上) 三、解答题:本大题共6小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (1+cos? , ? sin ? ) . (Ⅰ)若 ? ?

?
3

, ? ? (0, ? ) ,且 a ? b ,求 ? ;

(Ⅱ)若 ? =? ,求 a ? b 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关,随机 抽取了 55 名市民,得到数据如下表: 喜欢 大于 40 岁 20 岁至 40 岁 合计 20 10 30 不喜欢 5 20 25 合计 25 30 55

(Ⅰ)判断是否有 99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关? (Ⅱ)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取 6 人作进一步调查, 将这 6 位市民作为一个样本,从中任选 2 人,求恰有 1 位“大于 40 岁”的市民和 1 位“20 岁至 40 岁”的市民的概率. 下面的临界值表供参考:

P( K 2 ? k )
k

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

(参考公式: K ?
2

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19. (本小题满分 12 分)已知正项数列 ?a n ? 中, a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n (n ? N * ) ,当

n ? 2 时,有 Sn ? Sn?1 ? 3 .(1)求数列 ?a n ? 的通项公式;
(2)记 Tn 是数列 ?b n ?的前 n 项和,若 bn 是

1 1 的等比中项,求 Tn . , an an?1

20. (本小题满分 12 分如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,

PD ? 底面 ABCD ,∠ADC=90°,BC=

1 AD=1, PD=CD=2,Q 为 AD 的中点. 2

(Ⅰ)若点 M 在棱 PC 上,设 PM=tMC,是否存在实数 t,使得 PA//平面 BMQ,若存在,给 出证明并求 t 的值,若不存在,请说明理由; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求三棱锥 P ? BMQ 的体积. P

M D C B

Q A

21. (本小题满分 12 分)定义在实数集上的函数 f ( x) ? x ? x, g ( x) ?
2

1 3 x ? 2x ? m 。 3

⑴求函数 f ( x ) 的图象在 x ? 1 处的切线方程; ⑵若 f ( x) ? g ( x) 对任意的 x ? [?4, 4] 恒成立,求实数 m 的取值范围。

22.(本小题满分 14 分)如图;.已知椭圆 C:

3 x2 y 2 ,以椭圆 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 a 2 b2

的左顶点 T 为圆心作圆 T: (x ? 2) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0), 设圆 T 与椭圆 C 交于点 M、N. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)求 TM ? TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程; (Ⅲ)设点 P 是椭圆 C 上异于 M,N 的任意一点,且直线 MP,NP 分别与 x 轴交于点 R,S, O 为坐标原点。求证: OR ? OS 为定值.

2014 文科数学 5 月份联考参考答案
一、选择题:每小题 5 分,满分 60 分。

1-6:D A A B A D; 13.X^2+(Y-1)^2=8;
17. (本小题满分 12 分)

7-12:C D B B C D 14.1/4; 15.2/5; 16.


二、填空题:每小题 4 分,满分 16 分。

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 解: (Ⅰ)∵ a ? b ∴ a ? b ? cos ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 0 ∵? ?

----------------1 分

sin ? ? 0 3 3 3 ? 1 整理得 cos( ? ? ) ? ? ----------------------3 分 3 2 ? 2? ? 4? ? 2 k? 过 ? ? ? ? 2k? , k ? z ----------------------4 分 ∴? ? ? 3 3 3 3 3
∴ cos

?

?

? cos

?

cos ? ? sin

?

∵ ? ? (0, ? ) ∴ ? ? (Ⅱ) a ? b ? cos ? ? cos 令 t ? cos ? , t ???1,1?
2

?

3

--------------6 分 ----------------------8 分

? ? sin 2 ? ? cos ? ? 2cos2 ? ?1

1 9 a ? b ? 2t 2 ? t ? 1 ? 2(t ? ) 2 ? ----------------------9 分 4 8 1 9 ∴当 t ? 1 时, a ? bmax ? 2 ,当 t ? ? 时, a ? b min ? ? ----------------------11 分 4 8 9 ∴ a ? b 的取值范围为 [? , 2] . ----------------------12 分 8
18 解: (1)由公式 K 2 ?

55(20 ? 20 ? 10 ? 5) 2 ? 11.978 ? 7.879 30 ? 25 ? 25 ? 30
??

所以有 99 .5% 的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关 5分 (2)设所抽样本中有 m 个“大于 40 岁”市民,则

m 6 ? ,得 m ? 4 人 20 30

所以样本中有 4 个“大于 40 岁”的市民,2 个“20 岁至 40 岁”的市民,分别记作

B1 , B2 , B3 , B4 , C1 , C2 ,从中任选 2 人的基本事件有

( B1 , B2 ), ( B1 , B3 ), ( B1 , B4 ), ( B1 , C1 ), ( B1 , C 2 ), ( B2 , B3 ), ( B2 , B4 ), ( B2 , C1 ), ( B2 , C 2 ),
( B3 , B4 ), ( B3 , C1 ), ( B3 , C2 ), ( B4 , C1 ), ( B4 , C 2 ), (C1 , C 2 ), 共 15



?????9 分

其中恰有 1 名“大于 40 岁”和 1 名“20 岁至 40 岁”之间的市民的事件有

( B1 , C1 ), ( B1 , C 2 ), ( B2 , C1 ), ( B2 , C 2 ), ( B3 , C1 ), ( B3 , C2 ), ( B4 , C 2 ), 共 8 个
所以恰有 1 名“大于 40 岁”和 1 名“20 岁至 40 岁”之间的市民的概率为 P ? 12 分

8 ???? 15

19.

解析: (1)
n

sn ? sn?1 ? 3
s1 ? a1 ? 3, 公差d ? 3的等差数列 ?????1 分
?????2 分

? 数列

? s ?为首项为

? sn ? 3 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ,
即sn ? 3n2

????????????????3 分

? an ? sn ? sn?1 ? 6n ? 3(n ? 2) ???????????????4 分
当n ? 1时,上式也成立 ? an ? 6n ? 3(n ? N * ) ?????6 分
(2)

bn 是

1 1 , 的等比中项, an ?1 an
?????????????7 分

? bn ?
?

1 1 ? an an?1 (6n ? 3)(6n ? 3)
1 1 1 ( ? ) 6 6n ? 3 6n ? 3

?????????????8 分

Tn ?
?

1? 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) ?????10 分 6? 9 15 6n ? 3 6 n ? 3 ? ? 3 9 ?
1 1 1 ( ? ) 6 3 6n ? 3

?

n 9(2n ? 1)

???????????????12 分

20.

解:解: (1)存在 t=1 使得 PA//平面 BMQ,理由如下: P

连接 AC 交 BQ 于 N ,连接 MN , 因为∠ADC=90°,Q 为 AD 的中点 所以 N 为 AC 的中点 D

M

Q A B

C

当 M 为棱 PC 的中点,即 PM=MC 时, MN 为 ?PAC 的中位线 故 MN // PA ,又 MN ? 平面 BMQ 所以 PA//平面 BMQ (2)由(1)可知,PA//平面 BMQ

所以, P 到平面 BMQ 的距离等于 A 到平面 BMQ 的距离
所以 VP? BMQ ? VA? BMQ ? VM ? ABQ 取 CD 中点 K ,连接 MK,所以 MK//PD 且 MK=

1 PD=1 2

又 PA ? 底面 ABCD ,所以 MK ? 底面 ABCD

1 AD=1, PD=CD=2,所以 AQ ? 1, BQ ? 2 2 1 1 1 所以 VP? BMQ ? VA? BMQ ? VM ? ABQ = ? AQ ? BQ ? MK = 3 2 3
又 BC=

21.

解: :⑴∵ f ( x) ? x2 ? x ,当 x ? 1 时, f (1) ? 2

∵ f '( x) ? 2 x ? 1 ? f '(1) ? 3 ∴所求切线方程为 y ? 2 ? 3( x ? 1) ? 3x ? y ? 1 ? 0 。……….(4 分) ⑵令 h( x) ? g ( x) ? f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x ? m ? h '( x) ? ( x ? 3)( x ? 1) 3

∴当 ?4 ? x ? ?1 时, h '( x) ? 0 ; 当 ?1 ? x ? 3 时, h '( x) ? 0 ; 当 3 ? x ? 4 时, h '( x) ? 0 ; 要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 h( x)max ? 0 . 由上知 h( x) 的最大值在 x ? ?1 或 x ? 4 取得.

5 20 5 5 , h(4) ? m ? ? m? ? 0? m? ? 3 3 3 3 5 ∴实数 m 的取值范围 (??, ? ] 。…………..13 分 3
而 h(?1) ? m ?

22.

?c 3 , ? ? 解: (I)由题意知 ? a 2 解之得; a ? 2, c ? 3 ,由 c 2 ? a 2 ? b 2 得 b=1, ?a ? 2, ?

故椭圆 C 方程为

x2 ? y 2 ? 1 ;…………………3 分 4

(II)点 M 与点 N 关于 x 轴对称, 设 M ( x1 , y1 ), N ( x1 , ? y1 ) 不妨 设 y1 ? 0 . 由于点 M 在椭圆 C 上,? y12 ? 1 ?
x12 , 4

由已知 T (?2,0), 则TM ? (x1 ? 2, y1 ),TN ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ,
?TM ? TN ? ( x1 ? 2, y1 ) ( x1 ? 2, ? y1 ) ? ( x1 ? 2)2 ? y12 ,

阶段 ? (x1 ? 2)2 ? (1 ?

x12 5 8 1 ) ? ( x1 ? )2 ? ; 4 4 5 5
8 5

由于 ?2 ? x ? 2, 故当 x1 ? ? 时, TM ? TN 取得最小值为当 x1 ? ? 时 y1 ? ,故 M (? , 的方程为: (x ? 2)2 ? y 2 ?
8 5 3 5 8 5

1 , 5

3 13 ,故圆 T ), 又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得 r 2 ? 5 25

13 ;.……………………………………………………………..8 分 25
y0 ? y1 ( x ? x0 ), x0 ? x1

(III)设 P( x0 , y0 ) ,则直线 MP 的方程为 y ? y0 ? 令 y ? 0 ,得 xR ?

x1 y0 ? x0 y1 x y ?x y x 2y 2 ? x 2y 2 ,同理 xS ? 1 0 0 1 , 故 xR ? xS ? 1 0 2 0 2 1 ,??10 分 y0 ? y1 y0 ? y1 y0 ? y1

又点 M 与点 P 在椭圆上,故 x02 ? 4(1 ? y02 ), x12 ? 4(1 ? y12 ) , 得 xR ? xS ?
4(1 ? y12 ) y0 2 ? 4(1 ? y0 2 ) y12 4( y0 2 ? y12 ) ? ?4, y0 2 ? y12 y0 2 ? y12

? O R ? O S ? R x ? S x ? R x ?S x 4 为定值. ? …………………………………………….14 分


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