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1.多面体、2.棱柱与它的性质


9.9 棱柱与棱锥
——多面体、棱柱与它的性质

一、多面体的概念

多面体——由若干个平面多边形围成的空间图形。 多面体的面——各多边形 多面体的棱——两个面的公共边 多面体的顶点——棱与棱的公共点 多面体的对角线 ——连结不在同一面上的两个顶 点的线段

◆凸多面体——相对于多

面体的任一个面α,其 余各面都在α的同一侧 的多面体

凹多面体

二、棱柱与它的性质
1、棱柱的概念:
互相平行 一个多面体有两个面 ,其余
每相邻两个面的交线互相 互相平行 ,这样的

多面体叫做棱柱。

判断

1.有两个面互相平行;
2.其余各个面是平行四边形; 1.有两个面互相平行;

此多面体是棱柱。

此多面体是棱柱。

2.其余每相邻两个面的交线互相平行;

一个多面体有两个面互 棱柱的概念 相平行,其余每相邻两个面 的交线互相平行,这样的多 面体叫做棱柱。 两个底面 其余各面叫做 不在同一个 两个面的 的距离叫做 棱柱的侧面 面上的两个顶点 公共边叫做 棱柱的高 两个侧面的 侧面与底面的 的连线叫做棱柱 棱柱的棱 公共边叫做 公共顶点叫 的对角线 棱柱的侧棱 做棱柱的 顶点

· · · A’ · H’ · · · · H’ · · · · · · 平行的面
B’ E’ H’ H’ H’ H’ H’ H’ C’ H’ H’ D’ 两个互相 叫做棱柱 的底 E H



A H

· 底 ·H · H· H · · ·· · · · · · ·
H H H H H B C D

按底面多边形的边数分
(1)三棱柱

(2)四棱柱

(3)五棱柱

E’

A’
C’ B’

D’

E A B C D

棱柱的分类
按侧棱与底面是否垂直分
(1)侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱 E’ D’ C’ B’

A’

E A B C D

(2)侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱

思考1
有一个侧面是矩形的棱柱是不是直棱柱? 有两个相邻侧面是矩形的棱柱呢?为什么?
D A M N C

D1

C1

A1

特别地:底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱

棱柱的分类:

根据底面边数分为:三棱柱、四棱 柱、五棱柱等

正方体 是哪一类 棱柱?

根据侧棱与底面是否垂直分为: 正四棱柱就 是正方体, 斜棱柱 对吗? 正棱柱 直棱柱 按底面是否正多边形分为{

{

正 四 棱 柱

其它直棱柱

这两种分类彼此又可渗透,例如斜三 棱柱、直四棱柱、正五棱柱等

棱柱集合、斜棱柱集合、直棱柱集合、正 棱柱集合之间存在怎样的包含关系?
棱柱集合 直棱柱集合 斜棱柱 集合 正棱柱 集合

练一练
面数最少的棱柱是 三 棱柱。它有 5 个面,其中 2 个底面、 3 个侧面,它有 9 条棱,其中 3 条 侧棱,它有 6 个顶点, 0 条对角线 C A C1 A1 B1 B 对于四棱柱。它有 个面,其中 个底面、 个侧面,它有 条棱,其中 条侧棱,它有 个顶点, 条对角线

M 是底 例1 已知正三棱柱ABC ? A?B?C ? 的各棱长都为1,
1 面上 BC 边的中点,N 是侧棱 CC ?上的点,且CN ? CC, ? 4 求证:AB? ? MN 。
A'

B'

C'

c
a
B M A

b

N

C

解1:向量解法 设 AB ? a , AC ? b , AA? ? c ,则由已知条件和正三棱柱的性质 ,得 AB? ? a ? c, MN ?MC ? CN ? ? 1 a ? 1 b ? 1 c 2 2 4 1 1 ? ? 1 AB ? MN ? a ? b ? ? ? a ? b ? c ? 2 4 ? ? 2 1 2 1 1 1 1 1 ? ? a ? a ?b ? a ?c ? a ?b ? b ? b?c 2 2 4 2 2 4 1 ? a ? b ? c ? 1, a ? c ? 0, b ? c ? 0, a ? b ? 2 1 1 AB? ? MN ? ? ? ? ? 0 2 2

? ?

? AB? ? MN .

能不能建立直角坐标系解题?

教 学 参 考 ——一题多解
M 是底 例1 已知正三棱柱ABC ? A?B?C ? 的各棱长都为1,
1
面上 BC 边的中点,N 是侧棱 CC ?上的点,且CN ? CC, ? 4 求证:AB? ? MN 。 解2:直角坐标法 。 取 B?C?的中点G, 由 ? BC, 已知条件和正三棱柱的性质,得 AM Z A' 如图建立坐标系。则 1 1 3 1 ? B' C' M (0,0,0, ), N (0, , ), A(? ,0,0), B (0,? ,1), G 2 4 2 2

? 1 1 3 1 ? MN ? (0, , ); AB? ? ( ,? ,1) 2 4 2 2
A N

? AB? ? MN ? 1 1 ? 0? ? ? 0 4 4

3 1 1 1 ? 0 ? (? ) ? ?1 2 2 2 4

B

M

Y

C

X

? AB? ? MN .

教 学 参 考 ——一题多解
M 是底 例1 已知正三棱柱ABC ? A?B?C ? 的各棱长都为1,
面上 BC 边的中点,N 是侧棱 CC ?上的点,且CN ? CC, ? 4 求证:AB? ? MN 。 解3:纯几何法1 。联结AM、B?M , 由 已知条件和正三棱柱的性质,知 A'
B' C'

1

B?B BM AM ? 面BCC ?B?, 又 ? ? , MC CN ? Rt?B?BM相似于Rt?MCN , ? ?BMB? ? ?NMC ? 900 , ? B?M ? MN

A N

B

M

C

? MB?是斜线AB?在平面BCC ?B?的射影, 而MN在面BCC ?B?内,MB? ? MN , ? AB? ? MN

应用三垂线定理

棱柱、直棱柱、正棱柱的性质
1、棱柱:
①侧棱都 平行且相等,侧面和对角面都是平行四边形 ;
②两个底面与平行于底面的截面是 全等多边形 。

2、直棱柱:
①各侧面和各对角面都是 矩形 ; ②侧棱长与高相等 。

3、正棱柱:
①底面是 正多边形 ; ②各侧面都是 全等的矩形。



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