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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修一全册教案1.2.3函数的表示法(一)


1.2.3 函数的表示法(一)
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)了解函数的三种表示法的各自优点,掌握用三种不同形式表示函数. (2)提高在不同情境中用不同形式表示函数的能力. 2.过程与方法 通过示例的分析和求解, 明确函数三种不同表示法的优点, 从而培养学生恰当选用函数 的表示形式表示函数的能力. 3.情感、态度与价值观 在恰当应用不同形式表示函数的过程,感受数

与形结合的动态美,体会应用辨证思维的乐 趣. (二)教学重点与难点 重点:选用恰当形式表示函数;难点:体会函数三种表示形式的优点. (三)教学方法 尝试指导与合作交流相结合, 通过示例的探究, 使学生感知 “三种形式” 的各自优点. 从 而培养学生恰当选用不同形式表示不同情境下的函数的能力. (四)教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 1.回顾函数的有关概念. 2.函数的表示方法. 师: 函数的概念中的关键词是什么? 解析式:用数学表达式表示两个变量之 将新、旧知 复习回顾 间的对应关系. 生: 集合 A 中任何一个元素在 B 中都 识有机整 引入课题 图象法:用图象表示两个变量之间的对 有唯一元素与之对应. 合 应关系. 师生:共同回顾函数三种表示形式. 列表法:列出表格来表示两个变量之间 的对应关系. 师:同一函数用三种形式表示,它们 各自有何特点. 师生合作总结三种形式的特点即优 点. 通过范例 师: 举例说明在我们的日常生活中用 分析体会 三种形式表示的函数 三种表示 生: 年级日誌表——列表法; (1) (2) 法的优点, 工厂生产图——图象法; (3)银行利 感知不是 率表——列表法; (4)医务室的各年 所有函数 级身高统计图——不是图象法. 均能用三 一元一次函数 图象—图象法 种形式表 一元二次函数 解析式—解析法 示. 反比例函数 师: 是否所有函数均能用三种方法表 示呢?自示例 2 生:例 2 不方便使用解析法表示.

例 1 某种笔记本的单价是 5 元, 买 x (x∈{1, 2, 3, 4, 5})个笔记本需要 y 元. 试用函数的三种表示法表示函数 y = f (x). 解析:这个函数的定义域是数集 {1,2,3,4,5}. 用解析法可将函数 y = f (x)表示为 示例剖析 y = 5x, x∈{1, 2, 3, 4, 5}. 用列表法可将函数 y = f (x)表示为
笔记本数 x 钱数 y 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25

用图象法可将函数 y = f (x)表示为 下图.

例 2 解析: 从表中可以知道每 位同学在每次测试中的成绩,但不 太容易分析每位同学的成绩变化情 况. 如果将“成绩”与“测试序号” 之间的关系用函数图象表示出来, 如下图,那么就能比较直观地看到 成绩变化的情况. 这对我们的分析 很有帮助.

知识总结: ①解析法的优点: (1)简明,全面 地概括了变量间的关系; (2) 通过解析 式能求出任意一个自变量的值所对应 的函数值. ②图象法的优点: 直观形象地表示 自变量的变化, 相应的函数值变化的趋 势, 有利于通过图象来研究函数的某些 性质. ③列表法的优点: 不需计算便可以 直接看出自变量的值相对应的函数值. 例 2 下表是某校高一(1)班三 名同学在高一学年度六次数学测试的 成绩及班级平均分表.
成绩 测试 序号 第 1 次 98 90 68 第 2 次 87 76 65 第 3 次 91 88 73 第 4 次 92 75 72 第 5 次 88 86 75 第 6 次 95 80 82

从上图我们看到, 王伟同学的数学学 习成绩始终高于班级平均水平, 学习 情况比较稳定而且成绩优秀. 张城 同学的数学成绩不稳定, 总是在班级 平均水平上下波动, 而且波动幅度较 大. 赵磊同学的数学学习成绩低于 班级平均水平, 但他的成绩曲线呈上 升趋势, 表明他的数学成绩在稳步提 高.

姓名 伟 王 张 赵 城 磊

师生合作总结三种方法的优点.

班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6

请你对这三位同学在高一学年度 的数学学习情况做一个分析. 例 3 画出函数 y = |x|的图象. 例 4 某中学高一年级学生李鹏, 师生合作、讨论、探究函数的图象法 对某蔬菜基地的收益作了调查,该蔬菜 与解析法的互相转化途径, 并能利用 基地种植西红柿,由历年市场行情得 图象求值域. 知,从 2 月 1 日起的 300 天内,西红柿 例 3 解:由绝对值的概念,我们 应用举例 ? x, x ? 0, 市场销售与上市时间的关系用图一的 有y?? 一条折线表示;西红柿的种植成本与上 ?? x, x ? 0. 市时间的关系用图二的抛物线段表示, 所以,函数 y = |x|的图象如图所 试解答下列问题. 示. 能力提升 (表示法的 转化及函 数图象的 应用) 培养 形与数的 转化能力 和数形结 合思想应 用意识.

(注:市场售价和种植成本的单 位:元/102kg,时间单位:天) (1)写出图一表示的市场售价间 接函数关系 P = f (t). 写出图二表示的 例 4 解: (1)由图一可得市场售 种植成本与时间的函数关系式 Q = g (t). 价间接函数关系为, ?300 ? t , (0 ? t ? 200) (2)认定市场售价减去种植成本 f (t) = ? 为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益 ?2t ? 300, (200 ? t ? 300) 最大? 由图二可得种植成本间接函数 关系式为 g (t) =
1 (t – 150)2 + 100,(0≤t 200

≤300) (2)设 t 时刻的纯收益为 h (t), 则由题意得: h (t) = f (t) – g (t). 即 h (t) =
? 1 2 1 175 ? ? 200 t ? 2 t ? 2 , (0 ? t ? 200) ? ? ? ? 1 t 2 ? 2 t ? 1025 , (200 ? t ? 300) ? 200 7 2 ?

当 0≤t≤200 时, h (t) = ? 得

1 200

(t – 50)2 + 100. ∴当 t = 50 时, h(t)取得在 t∈[0, 200]上的最大值 100; 当 200 < t≤ 300 时,得 h (t) =?
1 (t – 350)2 + 100. 200

∴当 t = 300 时,h (t)取得在 t∈ (200, 300]上的最大值 87.5. 综上所述由 100>87.5 可知, h(t) 在 t∈[0, 300]上可以取得最大值是 100,此时 t = 50,即从 2 月 1 日开 始的第 50 天时, 上市的西红柿收益 最大. 映射的定义:设 A,B 是两个非空 师:讲授映射的定义. 的集合,如果按某一个确定的对应关系 生:由映射观点定义函数. 形成映射 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x, 师生合作解答例 5. 的概念 在集合 B 中都有惟一确定的元素 y 与之 例 5 解析: (1)按照建立数轴的方 对应,那么就称对应 f:A→B 为从集合 法可知,数轴上的任意一个点,都有 了解映射 的含义. 通过例题 分析加深 映射概念

A 到集合 B 的一个映射. 例 5 以下给出的对应是不是从集 合 A 到 B 的映射? (1)集合 A = {P | P 是数轴上的 点},集合 B = R,对应关系 f:数轴上 的点与它所代表的实数对应; (2)集合 A = {P | P 是平面直角坐 标系中的点,集合 B = {(x | y) | x∈R,y ∈R},对应关系 f:平面直角坐标系中 的点与它的坐标对应; (3)集合 A = {x | x 是三角形},集 合 B = {x | x 是圆},对应关系 f:每一个 三角形都对应它的内切圆; (4)集合 A = {x | x 是新华中学的 班级},集合 B = {x | x 是新华中学的学 生},对应关系 f:每一个班级都对应班 里的学生.

惟一的实数与之对应, 所以这个对应 f: A→B 是从集合 A 到 B 的一个映射. (2)按照建立平面直角坐标系的 方法可知, 平面直角坐标系中的任意 一个点, 都有惟一的一个实数对与之 对应,所以这个对应 f:A→B 是从集 合 A 到 B 的一个映射. (3)由于每一个三角形只有一个 内切圆与之对应, 所以这个对应 f: A →B 是从集合 A 到 B 的一个映射. (4)新华中学的每一个班级里的 学生都不止一个, 即与一个班级对应 的学生不止一个, 所以这个对应 f: A →B 不是从集合 A 到 B 的一上映射.

的理解.

归纳 总结

1.函数的表示法:解析式、图象 法、列表法. 2.解析式与图象法能进行相互转 化. 师生合作完成 3.优点:解析式简明、全面、实 学生回顾总结, 老师引导点评、 阐述. 用、图象法和列表法直观、直接、方便 函数与映射的关系:函数是实数集 到实数集的特殊映射. 1.2 第三课时习案 学生独立完成

反思总结 提升对函 数表示的 理解与掌 握

课后作业

巩固知识, 提升能力

备选例题
例 1 下图中可作为函数 y = f (x)的图象是( D )

例 2 函数 y ? x ?

| x| 的图象为下图中的( C ) x

例 3 作出下列函数的图象: (1)y = |x – 1| + 2 |x – 2|; (2)y = |x2 – 4x + 3|.
?5 ? 3 x ( x ? 1), ? 【解析】 (1)y = |x – 1| + 2 |x – 2| = ?3 ? x (1 ? x ? 2), ?3 x ? 5 ( x ? 2). ?

函数的图象如图(1)所示. (2)y = |x2 – 4x + 3| = ?
? x 2 ? 4 x ? 3 ( x ? 1, 或x ? 3), ? 图象如图(2)所示 2 ?? x ? 4 x ? 3 (1 ? x ? 3). ?

图(1)

图(2)

例 4 已知 y = f (x)的图象如右图所示,求 f (x). 【解析】 f ( x) ? ?
? x ? 1, ( x ? 0), (0 ? x ? 1). ? ? x,


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