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一元二次方程综合练习2


一元二次方程综合练习 【例题精选】:
例 1:下列方程中有两个相等实根的是: A. 5x 2 ? x ? 3 ? 0 B. 4 x 2 ? 2? x ? 1? C. 3x 2 ? 2 x ? 2 ? 0

D. x 2 ? 2 1 ? 3 x ? 4 ? 2 3 ? 0

?

?

分析:

要判定方程有两个相等的实根。就要看一元二次方程的判别式,因此 应当先将原方程化为标准形式,再求判别式。 解:应选 D。

∵ 2 1? 3 ? 4 4?2

??
?

?? ? 4?4 ? 2 3? 3 ? ? 4?4 ? 2 3 ?
2

?0 例 2:判定关于 x 的方程 x 2 ? 2ax ? a ? 1 的根的情况。 解:原方程变形为 x 2 ? 2ax ? a ? 1 ? 0 ? ? 4a 2 ? 4? a ? 1?
? 4a 2 ? 4a ? 4 ? 4 a2 ? a ? 1

?

?

1 3? ? ? 4? a 2 ? a ? ? ? ? 4 4? 1? ? ? 4? a ? ? ? 3 ? 2?
2

1? ? ∵? a ? ? ? 0 ? 2?

2

1? ? ∴4? a ? ? ? 3 ? 0 ? 2?

2

∴原方程有两个不等实根。 说明:当 b 2 ? 4ac 求出得 4 a 2 ? a ? 1 时,要用配方法配成完全平方形式,才

?

?

能说明判别式是大于 0 的。 配方法是一种重要的数学方法,配方法在这儿的应用 是很重要的一种应用。 例 3:已知关于 x 的方程 ? k ? 1? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 有实根,求 k 的取值范围。 分析:若一元二次方程有实根,应当判别式大于等于零,这个题目中只说关 于 x 的方程,并未说明是一元二次方程还是一元一次方程,因此应当都予考虑。 解:(1)当是关于 x 的一元二次方程时,应当 k 满足 ?2 2 ? 4? k ? 1? ? 3 ? 0 ? ?k ? 1 ? 0 2 ? ?k ? ? 即? 3 ? ? k ? ?1

2 ∴ k ? ? 且 k ? ?1 3 ?2 x ? 3 ? 0 x ? (2) 当方程是关于 x 的一元一次方程时, 即当 k ? ?1 时, 3 ; 2

有实根。 综上(1)(2)所述,当 k ? ?
2 时,关于 x 的方程 ? k ? 1? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 有实 3

根。 说明:解题时,一定要认真审题,看清题目的条件,特别要注意隐含条件的 发掘。 例 4:下列方程中,两根互为倒数的方程是: A. 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 B. 2 x 2 ? 11x ? 2 ? 0 C. 7 x 2 ? x ? 7 ? 0 D. 2 x 2 ? 13x ? 1 ? 0 分析:若从根系关系考虑,两根互为倒数,两根积为 1,A,B 都满足这一 条件,但是还要注意有两实根,即判别式必须大于等于零。而 A 中的判别式 b 2 ? 4ac ? 9 ? 4 ? 2 ? 2 ? 0 ,不合题意舍去。 解:应选 B。 ∵? ? 112 ? 4 ? 2 ? 2 ? 121 ? 16 ? 0;x1 ·x2 ? 1 例 5: ?,? 是方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两实根,且 ? 2 ? ?? ? ? 2 ? 5 ,求 q 的最 大整数值。 分析:题目中指出 ?,? 是方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两实根,因此 p 2 ? 4q ? 0 , ? ? ? ? ? p,?·? ? q ,由题意给出 ? 2 ? ?? ? ? 2 ? 5 ,可以变形为用 ? ? ?,?·? 表示,再将 p,q 关系式代入,就可以求出 q 的取值范围了。 解:∵ ?,? 是方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两实根, ∴? ? ? ? ? p,?·? ? q 且p 2 ? 4q ? 0
又∵? 2 ? ?? ? ? 2 ? 5 ∴?? ? ? ? ? ?? ? 5
2

∴? ? p? ? q ? 5,∴p 2 ? 5 ? q
2

又∵p 2 ? 4q ? 0 ∴ 4q ? p 2 又∵? ? p? ? q ? 5,∴p 2 ? 5 ? q代入 4q ? p 2 中,
2

∴q ?

5? q 4 5 3

∴ 4q ? 5 ? q, 3q ? 5,∴q ? ∴q ? 5 且最大整数应取1。 3

答:q 的最大整数值为 1。 例 6:关于 x 的方程 3x 2 ? m 2 ? 9m ? 6 x ? ?m ? 2? ? 0 的两个实根的倒数和为 2,求 m 值。 分析: 由题意, 这个关于 x 的方程两实根的倒数和为 2, 即设两实根为 x1 ,x2 , 1 1 则 ? ? 2 ,再化为用两根和与积表示的形式,转化为用 m 表示的等式,特 x1 x 2 别要注意,得到的 m 值应满足判别式大于等于零的条件。 解:由题意与根与系数关系,得两根 x1 与 x2 , ?? m ? 2 ? m 2 ? 9m ? 6 x1 ? x 2 ? ,x 1 ·x 2 ? ?3 3 1 1 ? ?2 x1 x 2
即 x1 ? x 2 ?2 x1 x 2 m 2 ? 9m ? 6 ?3 ∴ ?2 m ? 2? ? ? 3

?

?

m 2 ? 9m ? 6 ?2 m?2 即m 2 ? 9 m ? 6 ? 2 m ? 4 ∴ m 2 ? 11m ? 10 ? 0

?m ? 1??m ? 10? ? 0
m1 ? 1,m2 ? 10

当 m1 ? 1 时,方程 3x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 中 ? ? 0 ,不合题意舍去。 当 m2 ? 10 时,方程 3x 2 ? 16 x ? 8 ? 0 中 ? ? 0 。 ∴m 值为 10。 说明:这里得到的 m 值代入验证是否合题意是十分必要的。因为有两实根倒 数和为 2 的条件,因此隐含着有实根的要求。同时先考虑判别式求 m 值也可以, 但计算起来可能会繁一些。 例 7:设 x1 ,x2 是关于 x 的方程 4 x 2 ? ?3m ? 5? x ? 6m2 ? 0 的两个实数根,且
x1 3 ? ,求 m 值。 x2 2

分析:这是一个综合题,题中考察了根与系数关系,也考查了公式变形,绝 x 3 ?6m2 ? 0 ,可知 x1 与 x2 异号,所以化简 1 ? 时,可 对值等知识。由 x1 ·x2 ? x2 2 4 x 3 得 1 ?? 。 这一个条件的运用是很重要的, 再由根与系数关系, 通过解方程组, x2 2

解出 m 值。 解:由题意, x1 ? x2 ?
3m ? 5 ?6m2 ,x1 ·x 2 ? 4 4 6 2 ∵x1 ,x 2 不为零,∴x1 ·x 2 ? ? m ? 0 4 x 3 3 ∴ 1 ?? 即x 1 ? ? x 2 x2 2 2

3 3m ? 5 x2 ? x2 ? 2 4 3 ?6m 2 ? x 2 ·x 2 ? 2 4 5 ? 3m ? ? x2 ? 2 得? ?x 2 ? m2 ? 2 ∴?
消去 x2 ,解得 m1 ? 1,m2 ? 5 。 将 m1 ? 1,m2 ? 5 代入原方程验证后,均合题意,因此都是要求的 m 值。 ∴ m1 ? 1,m2 ? 5 。 说明: 在求 m 值时, 列出含有 x2 , 与 m 的两个等式, 这时要消去 x2 而求出 m 值,这里实际用的是消参数的思想,这在求未知字母时也常常用到。 例 8:已知 x1 ,x2 是方程 x 2 ? 4 x ? 6 ? 0 的两实根,下列各式计算正确的是: x x 2 A. 1 ? 2 ? ? B. ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? 16 x2 x1 3 1 1 7 C. x12 ? x1 x2 ? x2 ? 10 D. 2 ? 2 ? 9 x1 x2 分析:这里四个结果是关于两根 x1 ,x2 的代数式的值,要将各代数式变为用 x1 ,x2 的和与积形式表示。 解: ∵x1 ? x2 ? ?4,x1 ·x2 ? ?6 将各式变形为用 x1 ? x2 ,x1 ·x2 的形式表示。并将 x1 ? x2 ? ?4,x1 ·x2 ? ?6 1 1 代入计算。得 2 ? 2 变形为 x1 x2
x1 ? x 2
2 2

x1 x 2
?

2

2

2 x1 ? x 2 ? ? 2 x1 x 2 ? ?

x1 x 2

2

2

? ?4? 2 ? 2? ?6? 16 ? 12 ? ? 16 ? ?4? 2

7 ,结果正确。应选 D。 9

例 9:直角?ABC 中,∠A=90?,AD ⊥BC 于 D, AC ? 2 2,AB ? 2 6 ,求 以 BD 和 DC 为根的一元二次方程。 分析:由题意画出图形后,是个典型的几何图形,即直角三角形 BAC 中,

AD 是斜边上的高,要求以 BD、DC 为根的一元二次方程,就要求出 BD ? DC 与 BD·DC 的值,这样可以根据相似三角形的知识求得。 解:∵ BD ? DC ? BC ,∵∠A=90?

∴BC ?

AB 2 ? AC 2 ?

?2 6 ? ? ?2 2 ?
2

2

? 32 ? 4 2

又∵AD?BC于D ∴AB·AC ? BC·AD AB·AC 2 6· 2 2 ? ? 6 BC 4 2 又∵Rt?ABD∽Rt?ACD ∴AD ? ∴AD 2 ? BD·DC ∴BD·DC ? 6 ∴以BD、DC为根的一元二次方程是 x2 ? 4 2x ? 6 ? 0

【习题】:
一、选择题: 1、已知 a ? 0,b ? 0,c ? 0, 则方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的根的情况是: A.有两个负根 C.有两个正根 B.两根异号且正根绝对值较大 D.两根异号且负根绝对值大 2、一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的一个根是另一根的 2 倍,则: A. 4b 2 ? 9a B. 2b 2 ? 9ac C. 2b 2 ? 9a D. 9b 2 ? 2ac 3、若关于 x 的方程 2 x? kx ? 4? ? x 2 ? 6 ? 0 无实根,则 k 的最小整数值是: A. ?1 B.1 C.2 D.3 2 2 4、 若 a 1 ? x ? 2bx ? c 1 ? x ? 0 有两个相等的实根, 且 a,b,c 是 ?ABC 三

?

?

?

?

边长,那么 ?ABC 形状是: A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.任意三角形 2 5、若关于 x 的方程 x ? 7 x ? m ? 0 有两个相等的实根,那么方程 2 x ? 7 x ? m ? 0 的根的情况是: A.有两个不等实根 B.有两个相等实根 C.无实根 D.无法判定 6、以 3 ? 1 和 3 ? 1 为两根的一元二次方程是: A. x 2 ? 2 3x ? 2 ? 0 B. x 2 ? 2 3x ? 2 ? 0 C. x 2 ? 2 3x ? 2 ? 0 D. x 2 ? 2 3x ? 2 ? 0 7、 ?,? 为方程 2 x 2 ? 6x ? 3 ? 0 的两个根,则 ? 2 ? ? ?? 2 的值为:

A. 9

B. ?9

C.

9 2

D. ?

9 2

二、填空: 1、方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? m ? 0 有两个相等的实数根,则 m 值为 。 2、关于 x 的二次方程 kx 2 ? 1 ? x ? x 2 有实根,则 k 的取值范围是 。 3、以 1 和 ?7 为根的一元二次方程是 。 4、若 2 ? 3 是方程 x 2 ? kx ? 1 ? 0 的一个根,则方程的另一个根和 k 值为 。 三、解答题: 1、 已知 a,b,c 是 ?ABC 的三边。 求证: 方程 bx 2 ? 2?a ? c? x ? ?a ? b ? c? ? 0 有 两个不相等的实数根。 2、已知方程 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的两实根分别为 ?,? ,不解方程,求下列各式的 值 ? 2 ? ? 2 ,? 3 ? ? 3 , ? ? ? 。 3、 已知直角?ABC 中, 两直角边 a,b 分别是关于 x 的方程 x 2 ? kx ? 3x ? 两实根, ?C ? 90? ,c ? 10 ,求 k 值。 4、当 m 是什么整数时,关于 x 的一元二次方程 mx 2 ? 4 x ? 4 ? 0 与 x 2 ? 4mx ? 4m2 ? 4m ? 5 ? 0 的根都是整数。 答案与提示: 一、 1、D
b c 2、B(提示:设一根为 x1 ,另一根为 2 x1 ,则 x1 ? x 2 ? ? ,x1 ·x 2 ? 。即 a a 2 b c b c b c x1 ? 2 x1 ? ? ,x1 · 2 x1 ? , 则 x1 ? ? ,x12 ? ,∴ 2 ? ,得 a a 3a 2a 2a 9a 2b 2 ? 9ac ) 21 ?0 2

3、C 二、 1、2

4、C

5、A

6、C

7、 C

3、 x 2 ? 6 x ? 7 ? 0 三、

3 2、 k ? ? 且k ? ?1 4 4、 3 ? 2,k ? 4

1、提示:先计算判别式,
2

∵? ? ?2?a ? c?? ? 4b ? ?a ? b ? c?

? 4? a ? c? ? 4b? a ? b ? c?
2

∵ 4?a ? c? ? 0
2 2

a ? b ? c ? 0, b ? 0

∴ 4?a ? c? ? 4b? a ? b ? c? ? 0

∴原方程有两个不等实数根。 2、提示:计算时要将各代数式变形为用两根和与两根积表示的式子。如
2

? ? ? 2 ? ?? ? ? ? ? 2??,? 3 ? ? 3 ? ?? ? ? ??? 2 ? ?? ? ? 2 ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? 3??
2 2

?

?

? ?? ?

?? ? ? ? 2

?

?? ? ? ? 2 ? 4?? 的形式。

1 45 17 计算结果: ? 2 ? ? 2 ? 3 ,? 3 ? ? 3 ? ,? ? ? ? 4 8 2

3、提示:方程先整理成标准式 x 2 ? ?3 ? k ? x ?
a· b ?

21 ? 0 。由题意 a ? b ? k ? 3 , 2

21 2 ,而在 Rt?ABC 中, a 2 ? b 2 ? c 2 ,即 102 ? ?a ? b? ? 2ab ,即 2 21 2 100 ? ? k ? 3? ? 2 ? ,解得 k1 ? 14,k 2 ? ?8 ,代入验证后, k ? ?8 舍去。 2 ∴k 值为 14。

4、提示:题目中要求这二个一元二次方程的根都是整数,即要求判别式一 定是大于等于零的数,这样由含 m 的两个不等式,求出整数 m 的范围,而确定 整数 m 的值。还要代入原方程进行验证,看是否合题意,再确定 m 值。 答案为 m = 1。 【竟赛题与提高题】: 1、甲、乙两人同解一个一元二次方程,甲抄错了常数项,得两根为 3 和 2, 乙抄错了一次项系数,解得两根为 ?5 和 ? 1,求原来的方程。

? x ? xy ? y ? 1 2、关于 Z 的一元二次方程的两个根是方程组 ? 2 的解,不求 x, 2 ? x y ? xy ? ?2 y 的值,求这个关于 Z 的一元二次方程。
3、甲乙丙丁四人,分别按下列要求作一个解为 x1 ,x2 的一元二次方程 x ? px ? q ? 0 。
2

甲: p、q、x1 、x2 都取被 3 除余 1 的整数。 乙: p、q,x1 、x2 都取被 3 除余 2 的整数。 丙: p、q 取被 3 除余 1 的整数, x1 、x2 取被 3 除余 2 的整数。 丁: p、q 取被 3 除余 2 的整数, x1 、x2 取被 3 除余 1 的整数。 请判断,甲、乙、丙、丁四人能否按上述要求各自做出方程,如果可以,写 出一个,若不能,请说明。 答案或提示: 1、提示:根据根与系数的关系,甲抄错了常数项,但未抄错一次项,因此 乙抄错了一次项系数, 因此未抄错常数项, 则 q ? ??5???1? ? 5 , p ? ??3 ? 2? ? ?5 , 所以原来的方程为 x 2 ? 5x ? 5 ? 0 。 2、提示:关于 Z 的一元二次方程若设为 Z 2 ? pZ ? q ? 0 ,关键求出 p,q 的 值,又因为 x,y 是关于方程组的解,因此只要求出 x ? y 与 x·y 的值就行了。将
? ?x ? y ? 2 ?? x ? y ? ? xy ? 1 方程组变形为 ? ,将 x ? y , x·y 看做一个整体,解得 ? 或 ? ? xy ? ?1 ? xy? x ? y ? ? ?2 ? x ? y ? ?1 这样关于 Z 的方程为 Z 2 ? 2 Z ? 1 ? 0 或 Z 2 ? Z ? 2 ? 0 ,特别注意这里 ? ? xy ? 2

整体代换思想的应用。 3、提示:若按甲的条件,设 x1 ? 3k1 ? 1,x2 ? 3k 2 ? 1则 x1·x2 ? 3?3k1k2 ? k1 ? k 2 ? ? 1,x1 ? x2 ? 3? k1 ? k 2 ? ? 2 ,因此 q 被 3 除余 1,而

p ? ?? x1 ? x2 ? ? ?3? k1 ? k 2 ? ? 2 ? ?3? k1 ? k2 ? ? 3 ? 1也是被 3 除余 1。因此可写出

无数个这样的方程。例如设 x1 ? 4,x2 ? 7 ,则可写出方程 x 2 ? 11x ? 28 ? 0 就满 足要求。 若按乙的条件,设 x1 ? 3k1 ? 2,x2 ? 3k 2 ? 2 ,则由根与系数的关系, p ? ?? x1 ? x2 ? , q ? x1 ·x2 ,则 q ? x1·x2 ? 3?3k1k2 ? 2k1 ? 2k2 ? 1? ? 1,不可能 满足被 3 整除余 2 的条件, 因此不可能做出满足条件乙的方程。同理也可以逐一 说出不可能作出满足丙,丁的方程来。


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