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北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编5:数列[来源:学优高考网3185664]


北京 2013 届高三理科数学最新模拟试题分类汇编 5:数列题
一、选择题 1 . ( 2013 届 北 京 西 城 区 一 模 理 科 ) 等 比 数 列 {an } 中 ,

a1 ? 0 , 则 “ a1 ? a3 ” 是 “ a3 ? a6 ” 的
( ) C .充分必

A.充分而不必要条件 要条件 D.既不充

分也不必要条件

B.必要而不充分条件

2 . ( 2013 北京海淀二模数学理科试题及答案) 若数列 {an } 满足 :存在正整数 T ,对于任意正整数 n 都有

an ? T ? a n 成 立 , 则 称 数 列 {an } 为 周 期 数 列 , 周 期 为 T . 已 知 数 列 {an } 满 足
?an ? 1, an ? 1, ? a1 ? m( m ? 0,)an ?1 = ? 1 0 ? an ? 1. ?a , ? n
则下列结论中错误 的是 .. A.若 a3 ? 4 ,则 m 可以取 3 个不同的值 B.若 m ? 2 ,则数列 {an } 是周期为 3 的数列 C. ?T ? N 且 T ? 2 ,存在 m ? 1 , {an } 是周期为 T 的数列
*





D. ?m ? Q 且 m ? 2 ,数列 {an } 是周期数
3 . (2013 届东城区一模理科)已知数列 {an } 中,a1

? 2 , an?1 ? 2an ? 0 ,bn ? log2 an ,那么数列 {bn } 的
( ) D. 50

前 10 项和等于 A. 130 B. 120 C. 55

4 . (2013 北京顺义二模数学理科试题及答案)已知数列

?an ?中, an ? ?4n ? 5 ,等比数列 ?bn ? 的公比 q 满
( )

足 q ? an ? an?1 ?n ? 2? ,且 b1 ? a 2 ,则 b1 ? b2 ? ? ? bn ? A. 1 ? 4
n

B. 4 ? 1
n

C.

1 ? 4n 3

D.

4n ? 1 3

5 . (2013 届房山区一模理科数学) 已知 {an } 为等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 a1 + a9 = 18, a4 = 7 , 则 S10 =

( A. 55 B. 81 C. 90 D. 100



6 . (2013 北京海淀二模数学理科试题及答案)已知数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,且 a1 ? a3 ? 4 , a4 ? 8 ,

则 a1 ? q 的值为 A. 3 B. 2 C. 3 或 ?2
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( D. 3 或 ? 3



7 . (2013 北京房山二模数学理科试题及答案)已知数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , 2S
1 n (3 ? 1) D. 2

n

? an ?1 ,则 Sn ?
( )

A. 2

n ?1

n B. 2 ? 1

C. 3

n ?1

8 . (2013 北京昌平二模数学理科试题及答案)设等比数列 {an } 的公比为 q ,其前 n 项的积为 Tn ,并且满足

条件 a1 ? 1 , a99 a100 ?1 ? 0 , ① 0 ? q ? 1;

a99 ? 1 ? 0 .给出下列结论: a100 ? 1 ② a99 ? a101 ? 1 ? 0 ;

③ T100 的 值 是 Tn 中 最 大 的 ;④ 使 Tn ? 1 成 立 的 最 大 自 然 数 n 等 于 198. 其 中 正 确 的 结 论 是 ( A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ )

9 . (2013 届北京丰台区一模理科)设 Sn 为等比数列

?an ? 的前 n 项和, 2a3 ? a4 ? 0 ,则
D.5

S3 ( a1



A.2
二、填空题

B.3

C.4

10 . (北京市石景山区 2013 届高三一模数学理试题) 在等差数列{an}中 ,al=-2013,其前 n 项和为 Sn,若

S12 S10 ? =2,则 S2013 的值等于___________. 12 10
11. (2013 届北京西城区一模理科) 设等差数列 {an } 的公差不为 0 , 其前 n 项和是 Sn . 若 S2

? S3 ,Sk ? 0 ,

则 k ? ______.
12. (2013 北京房山二模数学理科试题及答案)在数列 {an } 中,如果对任意的 n ? N* ,都 有

an ? 2 an ?1 ? ? ? (? an ?1 an

为常数),则称数列 {an } 为 比等差数列, ? 称为比公差.现给出以下命题: ①若数列 {Fn } 满足 F1 = 1,F2 = 1,Fn ? Fn?1 ? Fn ?2 (n ? 3) ,则该数列不是比等差数列 ; ②若数列 {an } 满足 an ? 3 ? 2
n?1

,则数列 {an } 是比等差数列,且比公差 ? ? 0 ;

③等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列; ④若 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,则数列 {anbn } 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是____ .
13 . ( 2013 届北京西城区一模理科) 记实数

x1 , x2 ,

, xn 中的最大数为 max{x1, x2 ,

, xn } ,最小数为

min{x1 , x2 ,

, xn } . 设△ ABC 的三边边长分别为 a, b, c ,且 a ? b ? c ,定义△ ABC 的倾斜度为

a b c a b c t ? max{ , , } ? min{ , , } . b c a b c a
(ⅰ)若△ ABC 为等腰三角形,则 t ? ______; (ⅱ)设 a ? 1 ,则 t 的取值范围是______.
14. (2013 届北京市延庆县一模数学理)以下是面点师一个工作环节的数学模型:如图,在数轴上截取与
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闭区间 [0,4] 对应的线段,对折后(坐标 4 所对应的点与原点重合)再均匀地拉成 4 个单位长度的线 段,这一过程称为一次操作(例如在第一次操作完成后,原来的坐标 1、3 变成 2,原来的坐标 2 变 成 4,等等).那么原闭区间 [0,4] 上(除两个端点外)的点,在第 n 次操作完成后 (n ? 1) ,恰好被拉 到与 4 重合的点所对应的坐标为 f (n) ,则 f (3) ? ; f ( n) ? . 状, 其 的 第

15. (2013 届东城区一模理科)数列{an}的各项排成如图所示的三角形形

中每一行比上一行增加两项,若 an ? a n (a ? 0) , 则位于第 10 行 8 列的项等于 , a2013 在图中位于 . (填第几行的第几列)

16 . (北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学)在等比数列

?an ?

中 , 2a3 ? a2 a4 ? 0 , 则 a3 ? ______, ?bn ? 为 等 差 数 列 , 且 b3 ? a3 , 则 数 列 ?bn ? 的 前 5 项 和 等 于 _______.
17 . ( 2013 北 京 东 城 高 三 二 模 数 学 理 科 ) 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列

?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 若

a3 ? 2 , S 4 ? 5S 2 ,则 a1 的值为___, S4 的值为___.
18 . ( 2013 北京西城高三二模数学理科) 在等差数列 {an } 中 , a2

? 5 , a1 ? a4 ? 12 , 则 an ? ______; 设

bn ?

1 (n ? N* ) ,则数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ? ______. a ?1
2 n

19 . ( 2013 届 门 头 沟 区 一 模 理 科 ) 在 等 差 数 列

?an ? 中 , a1 ? 3 , a4 ? 2 , 则 a4 ? a7 ?
n 的 前 n 项 1,3,7, {2 ? 1}

? a3n? 1等





20 . ( 2013 北 京 朝 阳 二 模 数 学 理 科 试 题 ) 数 列

, 2n ?1 组 成 集 合

An ? {1,3,7,

, 2n ?1}(n ? N? ) ,从集合 An 中任取 k (k ? 1, 2, 3,

,n )个数,其所有可能的 k 个数的

乘 积 的 和 为 Tk ( 若 只 取 一 个 数 , 规 定 乘 积 为 此 数 本 身 ), 记 Sn ? T1 ? T2 ?

? Tn . 例 如 当 n ? 1

n ? 2 时 , A2 ? {1,3} , T1 ? 1 ? 3 , T2 ? 1? 3 , S2 ? 1 ? 3 ? 1? 3 ? 7 . 则 时, A 1 ? {1} , T 1 ? 1 , S1 ? 1 ; 当
当 n ? 3 时, S3 ? ______;试写出 Sn ? ______.
三、解答题 21. (2013 届房山区一模理科数学)对于实数 x ,将满足“ 0 ? y ? 1且 x ? y 为整数”的实数 y 称为实数 x

的小数部分,用记号 x 表示.例如 1.2 ? 0.2, ?1.2 ? 0.8, 满足如下条件:
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8 1 ? .对于实数 a ,无穷数列 ?an ? 7 7

? 1 ? a1 ? a , an?1 ? ? an ? ?0
(Ⅰ)若 a ? (Ⅱ)当 a ?

an ? 0, an ? 0,

其中 n ? 1,2,3, .

2 ,求数列 ?an ? 的通项公式;
1 时,对任意的 n ? N* ,都有 a n ? a ,求符合要求的实数 a 构成的集合 A ; 4

(Ⅲ)若 a 是有理数,设 a ?

p ( p 是整数, q 是正整数, p , q 互质) ,对于大于 q 的任意正整数 q

n ,是否都有 an ? 0 成立,证明你的结论.
22. (2013 北京昌平二模数学理科试题及答案)本小题满分 14 分)

设数列 {an } 对任意 n ? N* 都有 (kn ? b)(a1 ? an ) ? p ? 2(a1 ? a2 (I)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 a1 ? a2 ? a3 ?

? an ) (其中 k 、b 、 p 是常数) .

? an ;

(II)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; (III) 若数列 ?an ? 中任意 ( 不同 ) 两项之和仍是该数列中的一项 , 则称该数列是“封闭数列”.当

k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? a1 ? 2 ,试问:是否存在这样的“封闭数
列”

?an ? ,使得对任意 n ? N* ,都有 Sn ? 0 ,且

1 1 1 1 ? ? ? ? 12 S1 S2 S3

?

1 11 ? .若存在,求数列 Sn 18

?an ? 的首项 a1 的所有取值;若不存在,说明理由.
23. (2013 届北京海滨一模理科) 设 A( x A , y A ), B( xB , yB ) 为平面直角坐标系上的两点, 其中 x A , y A , xB , yB ? Z .

令 ?x ? xB ? x A , ?y ? yB ? y A ,若 ?x + ?y =3 ,且 | ?x | ? | ?y |? 0 ,则称点 B 为点 A 的“相关点” ,

? Z为 ) 平 面 上 一 个 定 点 , 平 面 上 点 列 {Pi } 满 足 : 记 作 : B ? ? ( A) . 已 知 P0 ( x0 , y0 ) (x0 , y0 Pi ? ? ( Pi ?1 ) ,且点 Pi 的坐标为 ( xi , yi ) ,其中 i ? 1,2,3,..., n .
(Ⅰ)请问:点 P0 的“相关点”有几个?判断这些“相关点”是否在同一个圆上,若在同一个圆上, 写出圆的方程;若不在同一个圆上,说明理由; (Ⅱ)求证:若 P0 与 Pn 重合, n 一定为偶数; (Ⅲ)若 P0 (1,0) ,且 yn ? 100 ,记 T ? ? xi ,求 T 的最大值.
i ?0 n

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24. (2013 北京海淀二模数学理科试题及答案)(本小题满分 13 分)

设 A 是由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行 (或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表 A 如表 1 所示,若经过两次“操作”,使得到的数表 每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次 “操作”后所得的数表(写出一种方法即可);表 1 (Ⅱ) 数表 A 如表 2 所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数 之和均为非负整数,求整数 ..a 的所有可能值; (Ⅲ)对由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的任意一个数表 A , 1 2 1 3 0

?7
1

?2

a a 2 ? 1 ?a ?a 2 2 ? a 1 ? a2 a ? 2 a2

能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之 表 2 和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由. 【答案】(I)解:法 1:

1 2 3 ?7 1 2 3 7 1 2 3 7 改变第4列 改变第2行 ????? ? ????? ? ?2 1 0 1 ?2 1 0 ?1 2 ?1 0 1
法 2:

1 2 3 ?7 1 2 3 ?7 1 2 3 7 改变第2行 改变第4列 ????? ? ????? ? ?2 1 0 1 2 ?1 0 ?1 2 ?1 0 1
法 3:

1 2 3 ?7 ?1 2 3 ?7 ?1 2 3 7 改变第1列 改变第4列 ????? ? ????? ? ?2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 ?1
(II) 每一列所有数之和分别为 2,0, ?2 ,0,每一行所有数之和分别为 ?1 ,1; ①如果首先操作第三列,则

a a2 ? 1 a ?a 2 2 ? a 1 ? a2 2 ? a a2
则第一行之和为 2 a ? 1 ,第二行之和为 5 ? 2a , 这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数, 所以 a ? 当a ?

1 5 或a ? 2 2

1 时,则接下来只能操作第一行, 2
?a a 2 2 ? a a2

?a 1 ? a 2 2 ? a 1 ? a2

此时每列之和分别为 2 ? 2a,2 ? 2a 2 ,2 ? 2a,2a 2 必有 2 ? 2a 2 ? 0 ,解得 a ? 0, ?1 当a ?

5 时,则接下来操作第二行 2
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a a2 ? 1 a ?a 2 a ? 2 a 2 ? 1 a ? 2 ?a 2
此时第 4 列和为负,不符合题意 ② 如果首先操作第一行

?a 1 ? a 2 2 ? a 1 ? a2

a a2 a ? 2 a2

则每一列之和分别为 2 ? 2a , 2 ? 2a 2 , 2a ? 2 , 2 a 2 当 a ? 1 时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉 当 a ? 1 时, 2 ? 2a , 2a ? 2 至少有一个为负数, 所以此时必须有 2 ? 2a 2 ? 0 ,即 ?1 ? a ? 1 ,所以 a ? 0 或 a ? ?1 经检验, a ? 0 或 a ? ?1 符合要求 综上: a ? 0, ?1 (III)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数.证明如下: 记数表中第 i 行第 j 列的实数为 cij ( i ? 1,2, 各列的数字之和分别为 b1 , b2 , 和为 S ,则 S ? A ? B .记

, m; j ? 1,2,

, n ),各行的数字之和分别为 a1 , a2 ,

, am ,

, bn , A ? a1 ? a2 ?

? am , B ? b1 ? b2 ?

? bn ,数表中 m ? n 个实数之

K ? min k1ci1 ? k2ci 2 ?
1?i ?m

?

? kn cin | kl ? 1或 ? 1(l ? 1,2,

, n)且 k1ci1 ? k2ci 2 ?

? kncin ? 0

?

T ? min t1c1 j ? t2c2 j ?
1? j ?n

?

? tmcmj ts ? 1或 ? 1(s ? 1,2, , m)且 t1c1 j ? t2c2 j ?

|

? tmcmj ? 0

?

? ? min?K , T ? .
按要求操作一次时,使该行的行和(或该列的列和)由负变正,都会引起 A (和 B )增大,从而也就使得 S 增加,增加的幅度大于等于 2? ,但是每次操作都只是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改 变其绝对值,显然, S 必然小于等于最初的数表中 m ? n 个实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在 有限次之后终止.终止之时,必是所有的行和与所有的列和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该 列的符号, S 就又会继续上升,导致矛盾,故结论成立
25. (2013 届北京丰台区一模理科) 设满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , ???, an 为 n (n=2,3,4,?,) 阶 “期

待数列” : ① a1 ? a2 ? a3 ? ② a1 ? a2 ? a3 ?

? an ? 0 ;

? an ? 1.

(Ⅰ)分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列” ; (Ⅱ)若某 2k+1( k ? N * )阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; (Ⅲ)记 n 阶“期待数列”的前 k 项和为 Sk (k ? 1, 2,3,

, n) ,

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试证: (1) S k ? 1 ;
2

n (2) ? ai ? 1 ? 1 . 2 2n i ?1 i

【答案】解: (Ⅰ)数列 ?

1 1 , 0, 为三阶期待数列…………………………………1 分 2 2

数列 ?

3 1 1 3 , ? , , 为四阶期待数列,………………..…..3 分(其它答案酌情给分) 8 8 8 8
, a2k ?1 (k ? 1) 的公差为 d ,

(Ⅱ)设等差数列 a1 , a2 , a3 ,

a1 ? a2 ? a3 ?
? (2k ? 1)a1 ?
即 ak ?1

? a2k ?1 ? 0 ,

2k (2k ? 1)d ? 0, 所以 a1 ? kd ? 0 , 2
?????????????4 分

? 0 , ? ak ?2 ? d ,

当 d=0 时,与期待数列的条件①②矛盾, ???????????????5 分 当 d>0 时,据期待数列的条件①②得:

ak ? 2 ? ak ?3 ?
? kd ?

1 ? a2 k ?1 ? , 2

k (k ? 1) 1 1 d ? ,即d ? 2 2 k (k ? 1)

由 ak ?1

? 0 得 a1 ? k ?

1 1 ? 0,即a1 ? ? , k (k ? 1) k ?1

? an ? ?

1 1 n 1 ? (n ? 1) ? ? (n ? N ? , n ? 2k ? 1). k ?1 k (k ? 1) k (k ? 1) k ???7 分

当 d<0 时, 同理可得 kd ?

k (k ? 1) 1 1 d ? ? ,即d ? ? 2 2 k (k ? 1)

由 ak ?1

? 0 得 a1 ? k ?

1 1 ? 0,即a1 ? , k (k ? 1) k ?1

? an ?

1 1 n 1 ? (n ? 1) ?? ? (n ? N ? , n ? 2n ? 1). k ?1 k (k ? 1) k (k ? 1) k ??8 分

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(Ⅲ) (1)当 k=n 时,显然 当 k<n 时,据条件①得

Sn ? 0 ?

1 成立;????????9 分 2

Sk ? a1 ? a2 ?


? ak ? ?(ak ?1 ? ak ?2 ???? ? an ) ,


S k ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ak ?2 ? ? ? an
? ak ? ak ?1 ? ak ?2 ? ? an

? 2 Sk ? a1 ? a2 ?

? a1 ? a2 ?
? Sk ?

? ak ? ak ?1 ? ak ?2 ?
, n).

? an ? 1 ,

1 (k ? 1, 2,3, 2

??????????11 分

(2) ?
i ?1

n

ai a a a a ? 1? 2? 3? 4? i 1 2 3 4

?
?

an?1 an ? n ?1 n

? S1 ?

S2 ? S1 S3 ? S2 S4 ? S3 ? ? ? 2 3 4

Sn?1 ? Sn?2 Sn ? Sn ?1 ? n ?1 n

?

S S1 S2 S ? ? 3 ? 4 ? 2 2 ? 3 3? 4 4 ? 5 S S1 S S ? 2 ? 3 ? 4 ? 2 2 ? 3 3? 4 4 ? 5

?

Sn?1 S ? n (n ? 1)n n ? Sn?1 (n ? 1)n

?

1?1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 2 ? 3 3? 4 4 ? 5
1?1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 2 2 3 3 4 4 5

?

1 ? ? (n ?1)n ?
? 1 1? 1 1 ? ?? ? . n ?1 n ? 2 2n ??????14 分

26 . ( 2013 北 京 房 山 二 模 数 学 理 科 试 题 及 答 案 ) 设 m ? 3 , 对于项 数为 m 的有穷数列

?an ? , 令 bk 为

a1 , a2 ,?, ak (k ? m) 中的最大值,称数列 ?bn ? 为 ?an ? 的“创新数列”.例如数列 3,5,4,7 的创新数
列为 3,5,5,7.考查自然数 1, 2 ,?, m (m ? 3) 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列 ?cn ? . (Ⅰ)若 m ? 5 ,写出创新数列为 3,5,5,5,5 的所有数列 ?cn ? ; (Ⅱ)是否存在数列 ?cn ? 的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明 理由; (Ⅲ)是否存在数列 ?cn ? ,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有符合条件的数列 ?cn ? 的个数;
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若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)由题意,创新数列为 3,5,5,5,5 的所有数列

?cn ?有 6 个,

3,5,1,2,4; 3,5,1,4,2; 3,5,2,1,4; 3,5,2,4,1; 3,5,4,1,2; 3,5,4,2,1; (Ⅱ)存在数列 ?cn ? 的创新数列为等比数列. 设数列 ?cn ? 的创新数列为 {en } , 因为 em 为前 m 个自然数中最大的一个,所以 em ? m .若 {en } 为等比数列, 设公比为 q ,因为 ek ?1 ? ek (k ? 1,2,?, m ? 1) ,所以 q ? 1 当 q ? 1 时, {en } 为常数列满足条件,即为数列 m, m, ?, m 当 q ? 1 时, {en } 为增数列,符合条件的数列只能是 1,2, ?, m , 又 1,2, ?, m 不满足等比数列.综上符合条件的创新数列只有一个. (Ⅲ)存在数列 ?cn ? ,使它的创新数列为等差数列, 设数列 ?cn ? 的创新数列为 {en } ,因为 em 为前 m 个自然数中最大的一个, 所以 em ? m .若 {en } 为等差数列,设公差为 d ,
* 因为 ek ?1 ? ek (k ? 1,2,?, m ? 1) ,所以 d ? 0 .且 d ? N

当 d ? 0 时, {en } 为常数列满足条件,即为数列 m, m, ?, m (或写通项公式 en ? m (n ? 1,2,?, m) ),
m?1 此时数列 ?cn ? 是首项为 m 的任意一个排列,共有 Am ?1 个数列;

当 d ? 1 时,符合条件的数列 {en } 只能是 1,2, ?, m ,此时数列 ?cn ? 是 1,2, ?, m , 有 1 个; 当 d ? 2 时,? em ? e1 ? (m ? 1)d ? e1 ? 2(m ? 1) ? e1 ? m ? m ? 2 又 m ? 3

? m ? 2 ? 0 ? em ? m 这与 en ? m 矛盾,所以此时 {en } 不存在.
综上满足条件的数列 ?cn ? 的个数为 Am?1 ? 1 个(或回答 (m ? 1)!?1 个).
m?1

27. (2013 届东城区一模理科)设 A 是由 n 个有序实数构成的一个数组,记作: A ? (a1, a2 , , ai , , an ) .其中

ai (i ? 1, 2,

, i 称为 ai 的下标. 如果数组 S 中的每个“元”都是来自 数 , n) 称为数组 A 的“元”
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组 A 中不同下标的“元” , 则 称 S 为 A 的 子 数 组 . 定 义 两 个 数 组 A ? (a1 , a2 ,

, an ) ,

B ? (b1 , b2 ,

, bn ) 的关系数为 C( A, B) ? a1b1 ? a2b2 ?

? anbn .

(Ⅰ)若 A ? ( ? 值; (Ⅱ)若 A ? (

1 1 , ) , B ? (?1,1, 2,3) ,设 S 是 B 的含有两个“元”的子数组,求 C ( A, S ) 的最大 2 2

3 3 3 , , ) , B ? (0, a, b, c) ,且 a 2 ? b2 ? c2 ? 1 , S 为 B 的含有三个“元”的子数 3 3 3

组,求 C ( A, S ) 的最大值; (Ⅲ)若数组 A ? (a1 , a2 , a3 ) 中的“元”满足 a12 ? a22 ? a32 ? 1 .设数组 Bm (m ? 1, 2,3,

, n) 含有四个

“元” bm1 , bm2 , bm3 , bm4 ,且 bm12 ? bm22 ? bm32 ? bm42 ? m ,求 A 与 Bm 的所有含有三个“元”的子数 组的关系数 C ( A, Bm ) (m ? 1, 2,3,

, n) 的最大值.

【答案】解: (Ⅰ)依据题意,当 S ? (?1,3) 时, C ( A, S ) 取得最大值为 2.

(Ⅱ)①当 0 是 S 中的“元”时,由于 A 的三个“元”都相等及 B 中 a, b, c 三个“元”的对称性, 可以只计算 C ( A, S ) ?

3 (a ? b) 的最大值,其中 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 . 3

由 (a ? b)2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? 2(a2 ? b2 ) ? 2(a2 ? b2 ? c2 ) ? 2 , 得 ? 2 ? a?b ?

2.
2 时, a ? b 达到最大值 2 , 2

当且仅当 c ? 0 ,且 a ? b ? 于是 C ( A, S ) ?

3 6 . ( a ? b) ? 3 3 3 (a ? b ? c) 的最大值, 3

②当 0 不是 S 中的“元”时,计算 C ( A, S ) ?
2 2 2 由于 a ? b ? c ? 1 ,

所以 (a ? b ? c) ? a ? b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc .
2 2 2 2

? 3(a 2 ? b2 ? c2 ) ? 3 ,
当且仅当 a ? b ? c 时,等号成立.
第 10 页,共 26 页

即当 a ? b ? c ?

3 3 时, a ? b ? c 取得最大值 3 ,此时 C ( A, S ) ? ( a ? b ? c) ? 1 . 3 3

综上所述, C ( A, S ) 的最大值为 1. (Ⅲ)因为 Bm ? (bm1 , bm2 , bm3 , bm4 ) 满足 bm12 ? bm22 ? bm32 ? bm42 ? m . 由 bm1 , bm2 , bm3 , bm4 关系的对称性,只需考虑 (bm2 , bm3 , bm4 ) 与 (a1 , a2 , a3 ) 的关系数的情况. 当 bm1 ? 0 时,有 (

bm 2 m

)2 ? (

bm 3 m

)2 ? (
2 m2

bm 4 m

)2 ? 1 .

a1

bm 2 m

? a2

bm3 m

? a3

bm 4 m

?

a12 ?

b b2 b2 2 2 a2 ? m3 a3 ? m4 m ? m ? m 2 2 2

?

2 a12 ? a2 2 ? a32 bm ? b2 ? b2 ? 2 m3 m 4 2 2m

?

1 1 ? ?1. 2 2
bm 2 m
, a2 ?

即 bm1 ? 0 ,且 a1 ?

bm 3 m

, a3 ?

bm 4 m

时,

a1bm2 ? a2bm3 ? a3bm4 的最大值为 m .
当 bm1 ? 0 时, bm22 ? bm32 ? bm42 ? m , 得 a1bm2 ? a2bm3 ? a3bm4 最大值小于 m . 所以 C( A, Bm ) 的最大值为 m (m ? 1, 2,3,

, n) .

28. (2013 北京东城高三二模数学理科)已知数列 {an } , a1

? 1 , a2n ? an , a4n?1 ? 0 , a4n?1 ? 1 (n ? N*) .

(Ⅰ)求 a4 , a7 ; (Ⅱ)是否存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an ; (Ⅲ)设 S ?

a a1 a2 ? 2 ? 33 ? 10 10 10

?

an ? 10n

,问 S 是否为有理数,说明理由.

【答案】(共 13 分)解:(Ⅰ) a4

? a2 ? a1 ? 1 ; a7 ? a4?2?1 ? 0 .

(Ⅱ)假设存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an . 则存在无数个正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an . 设 T 为其中最小的正整数. 若 T 为奇数,设 T ? 2t ? 1 ( t ? N * ), 则 a4n?1 ? a4n?1?T ? a4n?1?2T ? a4( n?t )?1 ? 0 .
第 11 页,共 26 页

与已知 a4n?1 ? 1 矛盾. 若 T 为偶数,设 T ? 2t ( t ? N * ),则 a2n?T ? a2n ? an ,而 a2n?T ? a2n?2t ? an?t 从而 an?t ? an . 而 t ? T ,与 T 为其中最小的正整数矛盾. 综上,不存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an . (Ⅲ)若 S 为有理数,即 S 为无限循环小数, 则存在正整数 N 0 , T ,对任意的 n ? N * ,且 n ? N0 ,有 an?T ? an . 与(Ⅱ)同理,设 T 为其中最小的正整数. 若 T 为奇数,设 T ? 2t ? 1 ( t ? N * ), 当 4n ? 1 ? N0 时,有 a4n?1 ? a4n?1?T ? a4n?1?2T ? a4( n?t )?1 ? 0 .与已知 a4n?1 ? 1 矛盾. 若 T 为偶数,设 T ? 2t ( t ? N * ), 当 n ? N0 时,有 a2n?T ? a2n ? an ,而 a2n?T ? a2n?2t ? an?t 而 t ? T ,与 T 为其中最小的正整数矛盾. 故 S 不是有理数
29. (北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学)设 ?

从而 an?t ? an .

? ( x1 , x2 ,

, x10 ) 是数1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10

的任意一个全排列,定义 S (? ) ?

?| 2x
k ?1

10

k

? 3xk ?1 | ,其中 x11 ? x1 .

(Ⅰ)若 ? ? (10,9,8,7,6,5, 4,3, 2,1) ,求 S (? ) 的值; (Ⅱ)求 S (? ) 的最大值; (Ⅲ)求使 S (? ) 达到最大值的所有排列 ? 的个数.

第 12 页,共 26 页

北京市朝阳区高三年级第一次综合练
【答案】解:(Ⅰ) S (? ) ?

?| 2 x
k ?1

10

k

? 3xk ?1 | ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 28 ? 57

(Ⅱ)数 10,9,8,7,6,5, 4,3, 2,1 的 2 倍与 3 倍分别如下:

20,18,16,14,12,10,8,6, 4, 2, 30, 27, 24, 21,18,15,12,9,6,3
其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为 203 ? 72 ? 131,所以 S (? ) ? 131 . 对于排列 ? 0 ? (1,5,6,7, 2,8,3,9, 4,10) ,此时 S (? 0 ) ? 131 , 所以 S (? ) 的最大值为 131 (Ⅲ)由于数 1, 2,3, 4 所产生的 8 个数都是较小的数,而数 7,8, 9,10 所产生的 8 个数都是较大的数 ,所以使

S (? ) 取最大值的排列中,必须保证数 1, 2,3, 4 互不相邻,数 7,8,9,10 也互不相邻;而数 5 和 6 既不能
排在 7, 8, 9,10 之 一的后 面 , 又 不能排在 1, 2,3, 4 之 一的前 面 . 设 x1 ? 1 , 并参照 下面的符 号排列

1 △○□△○□△○□△○
其中 2,3, 4 任意填入 3 个□中,有 6 种不同的填法; 7,8,9,10 任意填入 4 个圆圈○中,共有 24 种不同 的填法; 5 填入 4 个△之一中,有 4 种不同的填法; 6 填入 4 个△中,且当与 5 在同一个△时,既可以在

5 之前又可在 5 之后,共有 5 种不同的填法,所以当 x1 ? 1 时,使 S (? ) 达到最大值的所有排列 ? 的个数
为 6 ? 24 ? 4 ? 5 ? 2880 ,由轮换性知,使 S (? ) 达到最大值的所有排列 ? 的个数为 28800

30. (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷 (解析) ) 已知 ?a n ? 为等差数列,且 a 2

? ?1, a5 ? 8 .

(I)求数列 a n 的前 n 项和; (II)求数列 2 n ? a n 的前 n 项和.

? ?

?

?

【答案】解:(I)设等差数列 ?a n ? 的公差为 d ,

因为 a 2 ? ?1, a5 ? 8 ,

第 13 页,共 26 页

所以 ?

?a1 ? d ? ?1, ?a1 ? 4d ? 8

解得 a1 ? ?4, d ? 3 , 所以 a n ? ?4 ? 3?n ? 1? ? 3n ? 7 , 因此 a n ? 3n ? 7 ? ?

?? 3n ? 7, n ? 1,2, ?3n ? 7, n ? 3

记数列 a n 的前 n 项和为 S n , 当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 4 , 当 n ? 2 时, S 2 ? a1 ? a 2 ? 5 , 当 n ? 3 时, S n ? S 2 ? a3 ? a 4 ? ? ? a n

? ?

? 5 ? ?3 ? 3 ? 7 ? ? ?3 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ?3n ? 7 ?
=5 ?

?n ? 2??2 ? ?3n ? 7 ?? ?
2

又当 n ? 2 时满足此式,

3 2 11 n ? n ? 10 , 2 2

?4, n ? 1, ? 综上, S n ? ? 3 2 11 n ? n ? 10, n ? 2 ? 2 ?2
(II)记数列 2 n a n 的前 n 项和为 Tn . 则 Tn ? 2a1 ? 2 2 a 2 ? 2 3 a3 ? ? ? 2 n a n ,

?

?

2Tn ? 2 2 a1 ? 2 3 a 2 ? 2 4 a3 ? ? ? 2 n a n ?1 ? 2 n ?1 a n ,
所以 ? Tn ? 2a1 ? d 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? 2 n ?1 a n . 由(I)可知, a1 ? ?4, d ? 3, a n ? 3n ? 7 , 所以 ? Tn ? ?8 ? 3 ?

?

?

4 1 ? 2 n ?1 ? ?3n ? 7 ? ? 2 n ?1 ? ?20 ? ?3n ? 10 ? ? 2 n ?1 , 1? 2

?

?

故 Tn ? 20 ? ?3n ? 10 ? ? 2 n ?1
31. (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析) ) 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且点

?n, S n ? 在函数 y ? 2 x ?1 ? 2 的图像上.
第 14 页,共 26 页

(I)求数列 ?a n ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ?满足: b1 ? 0, bn ?1 ? bn ? a n ?n ? N *? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和公式; (III)在第(II)问的条件下,若对于任意的 n ? N * 不等式 bn ? ?bn ?1 恒成立,求实数 ? 的取值范围
【答案】解:(I)由题意可知, S n ? 2
n ?1

? 2.

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2 n ?1 ? 2 ? 2 n ? 2 ? 2 n , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 21?1 ? 2 ? 2 也满足上式, 所以 a n ? 2 n ?n ? N *? (II)由(I)可知 bn ?1 ? bn ? 2 n ?n ? N *? ,即 bk ?1 ? bk ? 2 k ?k ? N *? .
1 当 k ? 1 时, b2 ? b1 ? 2 ,①

?

?

当 k ? 2 时, b3 ? b2 ? 2 2 ,所以 ? b3 ? b2 ? ?2 2 ,② 当 k ? 3 时, b4 ? b3 ? 2 3 ,③ 当 k ? 4 时, b5 ? b4 ? 2 4 ,所以 ? b5 ? b4 ? ?2 4 ,④ 当 k ? n ? 1 时( n 为偶数), bn ? bn ?1 ? 2 n ?1 ,所以 ? bn ? bn ?1 ? ?2 n ?1 n ? 1 以上 n ? 1 个式子相加,得 bn ? b1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 4 ? ? ? 2 n ?1

2 1 ? ?? 2 ? ? 1 ? ?? 2 ?

?

n ?1

? ? 2?1 ? 2 ?
n ?1

3

2n 2 ? ? . 3 3
又 b1 ? 0 , 所以,当 n 为偶数时, bn ?

2n 2 ? . 3 3

同理,当 n 为奇数时, ? bn ? b1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 4 ? ? ? 2 n ?1

?

2 1 ? ?? 2 ? 1 ? ?? 2 ?

?

n ?1

? ? 2?2
3

n

,

所以,当 n 为奇数时, bn ?

2n 2 ? 3 3
第 15 页,共 26 页

因此,当 n 为偶数时,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn
2 ? 2n 2 ? 2 ? ? 23 2 ? ? 2 4 2 ? ?2 2? ?2 ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? ? 3? 3? ?3 3? ? 3 ? ? 3 3? ? 3 ? ? ?

?

2 22 2n 1 2 1 ? 2n 2 n ?1 2 ? ??? ? ? ? ? ; 3 3 3 3 1? 2 3 3

?

?

当 n 为奇数时,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? bn
2 ? 2 n ?1 2 ? ? 2 n 2 ? 2? ?2 2? ?2 ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? ??? ? 3? 3? ?3 3? ? 3 ? ? ? ? 3 ?

? 2 22 2 n ? 2 2 n ?1 4 ?? ? ?? ? ? ? ? ? . ?3 3 3 ? 3 3 ? ? 3
故数列 ?bn ?的前 n 项和

? 2 n ?1 2 ? ? ? 3 3 Tn ? ? n ?1 ?2 ? 4 ? 3 ? 3

?n为偶数? ?n为奇数? ?n为偶数? ?n为奇数?

? 2n 2 ? ? ? 3 3 (III)由(II)可知 bn ? ? n ?2 ? 2 ? 3 ? 3
bn bn ?1

①当 n 为偶数时,

2n 2 ? n 3 3 ? 2 ?2 ? 1 ? , ? 3 n ?1 n ?1 n ?1 2 2 2 ?2 2 2 ?2 ? 3 3

所以

bn 随 n 的增大而减小, bn ?1 bn b 的最大值是 2 ? 1 . bn ?1 b3
2n 2 ? n 3 3 ? 2 ?2 ? 1 ? , ? 3 n ?1 n ?1 n ?1 2 2 2 ?2 2 2 ?2 ? 3 3

从而,当 n 为偶数时,

②当 n 为奇数时,

bn bn ?1

所以

bn 随 n 的增大而增大, bn ?1
第 16 页,共 26 页



bn 1 3 1 ? ? n ?1 ? ? 1. bn ?1 2 2 ? 2 2 bn 的最大值是 1. bn ?1

综上,

因此,若对于任意的 n ? N * ,不等式 bn ? ?bn ?1 恒成立,只需 ? ? 1 , 故实数 ? 的取值范围是 ?1,?? ?

32 . ( 2013 北京朝阳二模数学理科试题) 已知实数 x1 , x2 ,

, xn ( n ? 2 ) 满足 | xi |? 1(i ? 1, 2, 3,

,记 , n)

S ( x1 , x2 ,

, xn ) ?

1?i ? j ?n

?

xi x j .

(Ⅰ)求 S ( ?1,1, ? ) 及 S (1,1, ?1, ?1) 的值; (Ⅱ)当 n ? 3 时,求 S ( x1 , x2 , x3 ) 的最小值; (Ⅲ)求 S ( x1 , x2 , 注:

2 3

, xn ) 的最小值. , xn 中任意两个数 xi , x j ( 1 ? i ?
2 3 2 2 ? ? ?1 . 3 3
j ? n )的乘积之和.

1?i ? j ? n

?

xi x j 表示 x1 , x2 ,

【答案】解:(Ⅰ)由已知得 S (?1,1, ? ) ? ?1 ?

S (1,1, ?1, ?1) ? 1 ?1 ?1 ?1 ?1 ? 1 ? ?2
(Ⅱ)设 S ? S ( x1 , x2 , x3 ) . 当 n ? 3 时, S ? S ( x1 , x2 , x3 ) ?

1?i ? j ?3

?

xi x j ? x1x2 ? x1 x3 ? x2 x3 .

若固定 x2 , x3 ,仅让 x1 变动,此时 S ? x1 x2 ? x1 x3 ? x2 x3 ? ( x2 ? x3 ) x 1 ?x 2x 3 , 因此 S ? min{S (1, x2 , x3 ), S (?1, x2 , x3 )} . 同理 S (1, x2 , x3 ) ? min{S (1,1, x3 ), S (1, ?1, x3 )} .

S (?1, x2 , x3 ) ? min{S (?1,1, x3 ), S (?1, ?1, x3 )} .
以此类推,我们可以看出, S 的最小值必定可在某一组取值 ?1 的 x1 , x2 , x3 所达到, 于是 S ? min{S ( x1 , x2 , x3 )} .
xk ??1 k ?1,2,3

当 xk ? ?1 ( k ? 1, 2,3 )时, S ?

1 2 2 [( x1 ? x2 ? x3 ) 2 ? ( x12 ? x2 ? x3 )] 2

第 17 页,共 26 页

1 3 ? ( x1 ? x2 ? x3 ) 2 ? . 2 2
因为 | x1 ? x2 ? x3 |? 1 ,所以 S ? 因此 Smin ? ?1 (Ⅲ)设 S ? S ( x1 , x2 ,

1 3 ? ? ?1 ,且当 x1 ? x2 ? 1, x3 ? ?1 时, S ? ?1 . 2 2

, xn ) ?

1?i ? j ?n

?

xi x j
? x2 xn ? ? xn?1xn .

? x1x2 ? x1x3 ?
固定 x2 , x3 ,

? x1 xn ? x2 x3 ?

, xn ,仅让 x1 变动,此时 ? xn ) ? x1 ? ( x2 x3 ? ? x2 xn ? ? xn?1xn ) , , xn )}. , xn )} . , xn )} . , xn 所 达 到 , 于 是

S ? ( x2 ? x3 ?

因此 S ? min{S (1, x2 , x3 , 同理 S (1, x2 , x3 ,

, xn ), S (?1, x2 , x3 ,

, xn ) ? min{S (1,1, x3 ,

, xn ), S (1, ?1, x3 , , xn ), S (?1, ?1, x3 ,

S (?1, x2 , x3 ,

, xn ) ? min{S (?1,1, x3 ,

以 此 类 推 , 我 们 可 以 看 出 , S 的 最 小 值 必 定 可 在 某 一 组 取 值 ?1 的 x1 , x2 ,

S ? min {S ( x1 , x2 ,
xk ??1 k ?1,2, , n

, xn )} .
2 ? xn ) 2 ? ( x12 ? x2 ? 2 ? xn )]

1 , n )时, S ? [( x1 ? x2 ? 2 1 n ? ( x1 ? x2 ? ? xn ) 2 ? . 2 2 n ①当 n 为偶数时, S ? ? , 2
当 xk ? ?1 ( k ? 1, 2, 若取 x1 ? x2 ?

? xn ? 1, xn ? xn
2 2 ?1 2

?2

?

n n ? xn ? ?1 ,则 S ? ? ,所以 S min ? ? . 2 2

②当 n 为奇数时,因为 | x1 ? x2 ? 若取 x1 ? x2 ? 所以 S min ? ?

1 ? xn |? 1 ,所以 S ? ? (n ? 1) , 2
?1 ?2

? xn?1 ? 1 , xn?1 ? xn?1 ?
2 2 2

1 ? xn ? ?1 ,则 S ? ? (n ? 1) , 2

1 (n ? 1) 2

33. ( 2013 北京丰台二模数学理科试题及答案) 已知等差数列 ?an ? 的通项公式为 an=3n-2,等比数列 ?bn ?

中, b1 ? a1 , b4 ? a3 ? 1 .记集合 A ? x x ? an , n ? N * , B ? x x ? bn , n ? N * , U ? A ? B ,把集合 U 中的元素按从小到大依次排列,构成数列 ?cn ? .
第 18 页,共 26 页

?

?

?

?

(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式,并写出数列

?cn ? 的前 4 项;

(Ⅱ)把集合 CU A 中的元素从小到大依次排列构成数列 ?dn ? ,求数列 ?dn ? 的通项公式,并说明理由; (Ⅲ)求数列

?cn ? 的前 n 项和 S .
n

【答案】解:(Ⅰ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q,

? b1 ? a1 ? 1, b4 ? a3 ? 1 ? 8 ,则 q3=8,? q=2,? bn=2n-1,

? 数列 ?an ? 的前 4 项为 1,4,7,10,数列{bn}的前 4 项为 1,2,4,8, ? 数列 ?cn ? 的前 4 项为 1,2,4,7;
(Ⅱ)据集合 B 中元素 2,8,32,128 ? A,猜测数列 ?dn ? 的通项公式为 dn =2
2n-1

.

? dn=b2n ,? 只需证明数列{bn}中,b2n-1∈A,b2n ? A( n ? N ? ).
证明如下: ? b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即 b2n+1=b2n-1+3×4n-1, * n-1 n-1 若 ? m∈N ,使 b2n-1=3m-2,那么 b2n+1=3m-2+3×4 =3(m+4 )-2,所以,若 b2n-1∈A,则 b2n+1∈A.因为 b1∈A, 重复使用上述结论,即得 b2n-1∈A( n ? N ? ). 同理,b2n+2-b2n=2
2n+1

-2

2n-1

=2×4 -2×4 =3×2×4 ,即 b2n+2=b2n+3×2×4 ,因为“3×2×4 ” 数列 ?an ?
n n-1 n-1 n-1 n-1

的公差 3 的整数倍,所以说明 b2n 与 b2n+2 (n ? N ? ) 同时属于 A 或同时不属于 A, 当 n=1 时,显然 b2=2 ? A,即有 b4=2 ? A,重复使用上述结论, 2n-1 即得 b2n ? A,? dn =2 ; (Ⅲ)(1)当 n=1 时,所以因为 b1 ? a1 ? 1 ,所以 S1=1; (2)当 n≥2 时,由(Ⅱ)知,数列{bn}中,b2n-1∈A,b2n ? A,则 ?k ? N ? ,且 k<n,使得

Sn ? ? ai ? ? b2i ?
i ?1 i ?1

n?k

k

(n ? k )(a1 ? an?k ) b2 (1 ? 4k ) (n ? k )(3n ? 3k ? 1) 2(4k ? 1) ? ? ? 2 1? 4 2 3

下面讨论正整数 k 与 n 的关系: 数列 ?cn ? 中的第 n 项不外如下两种情况: ① b2k ? cn 或者② an?k ? cn , 若①成立,即有 3(n ? k ) ? 2 ? 22k ?1 ? 3(n ? k ? 1) ? 2 , 若②成立,即有 22k ?1 ? 3(n ? k ) ? 2 ? 22k ?1 ,

?有

22 k ?1 ? 3k ? 1 22 k ?1 ? 3k ? 2 22 k ?1 ? 3k ? 2 22 k ?1 ? 3k ? 2 或者 , ?n? ?n? 3 3 3 3 22 k ?1 ? 3k ?1 22 k ?1 ? 3k ? 2 22 k ?1 ? 3k ? 2 2 * 显然 = [k ? ? (22 k ? 2 ? 1)] ? N ,所以 . ?n? 3 3 3 3
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?1, n ? 1 综上所述, Sn ? ? . ? (n ? k )(3n ? 3k ? 1) 2(4k ? 1) 22 k ?1 ? 3k ? 1 22 k ?1 ? 3k ? 2 ? ,n?( , )(k , n ? N ? ) ? 2 3 3 3 ?

34. (2013 北京西城高三二模数学理科) 已知集合 Sn

? {( x1, x2 ,

, xn ) | x1, x2 ,

, xn 是正整数 1, 2,3,

,n 的

一个排列 } (n ? 2) ,函数

?1, x ? 0, g ( x) ? ? ??1, x ? 0.
对于 (a1 , a2 ,…an ) ? Sn , 定义: bi ? g (ai ? a1 ) ? g (ai ? a2 ) ? 称 bi 为 ai 的满意指数.排列 b1 , b2 ,

? g (ai ? ai ?1 ), i ?{2,3,

, n} , b1 ? 0 ,

, bn 为排列 a1 , a2 ,

, an 的生成列;排列 a1 , a2 ,

, an 为排列

b1 , b2 ,

, bn 的母列.

(Ⅰ)当 n ? 6 时,写出排列 3,5,1, 4,6, 2 的生成列及排列 0, ?1, 2, ?3, 4,3 的母列; (Ⅱ)证明:若 a1 , a2 ,

?, a2 ?, , an 和 a1

? 为 Sn 中两个不同排列,则它们的生成列也不同; , an , an 从左至右第一个满意指数为负数

(Ⅲ)对于 Sn 中的排列 a1 , a2 ,

, an ,定义变换 ? :将排列 a1 , a2 ,

的项调至首项 , 其它各项顺序不变 , 得到一个新的排列 . 证明 : 一定可以经过有限次变换 ? 将排列

a1 , a2 ,

, an 变换为各项满意指数均为非负数的排列.

【答案】(Ⅰ)解:当 n ? 6 时,排列 3,5,1, 4,6, 2 的生成列为 0,1, ?2,1, 4, ?3 ;

排列 0, ?1, 2, ?3, 4,3 的母列为 3, 2, 4,1,6,5 (Ⅱ)证明:设 a1 , a2 ,

, an 的生成列是 b1 , b2 ,

?, a2 ?, , bn ; a1

? 的生成列是与 b1?, b2 ?, , an

?. , bn

从 右 往 左 数 , 设 排 列 a1 , a2 ,

?, a2 ?, , an 与 a1

? 第 一 个 不 同 的 项 为 ak 与 ak ? , , an

? , an?1 ? an ? ?1 , 即: an ? an ??1 , ? , bn?1 ? bn 显然 bn ? bn

?. ? ?1 , ak ? ak , ak ?1 ? ak ??1 ,下面证明: bk ? bk ? , bk ?1 ? bk , an 中前 i ? 1 项中比 ai 小的项的个数减去比 ai

由满意指数的定义知 , ai 的满意指数为排列 a1 , a2 , 大的项的个数. 由于排列 a1 , a2 ,

, an 的前 k 项各不相同,设这 k 项中有 l 项比 ak 小,则有 k ? l ? 1 项比 ak 大,从而

bk ? l ? ( k ? l ?1) ? 2l ? k ?1. ?, a2 ?, 同理,设排列 a1 ? 中有 l ? 项比 ak ? ? 2l ? ? k ? 1 . ? 小,则有 k ? l ? ? 1 项比 ak ? 大,从而 bk , an
第 20 页,共 26 页

因为 a1 , a2 ,

?, a2 ?, , ak 与 a1

? 是 k 个不同数的两个不同排列,且 ak ? ak ?, , ak

?. 所以 l ? l ? , 从而 bk ? bk
所以排列 a1 , a2 ,

?, a2 ?, , an 和 a1

? 的生成列也不同 , an , bn ,且 ak 为 a1 , a2 , , an 中从左至右第一个满意

(Ⅲ)证明:设排列 a1 , a2 ,

, an 的生成列为 b1 , b2 ,

指数为负数的项,所以 b1 ? 0, b2 ? 0, 进 行 一次 变 换 ? 后 , 排列 a1 , a2 ,

, bk ?1 ? 0, bk ? ?1 a k? 1 , a k ? 1, ,a n, 设 该 排 列的 生成 列为

, an 变 换 为 ak , a1 , a2 ,

?, b1?, b2

?. , bn ? ) ? (b1 ? b2 ? ? bn ? bn ) ? g (ak ? ak ?1 )]

? ? b2 ?? 所以 (b1

? [ g (a1 ? ak ) ? g (a2 ? ak ) ?
? ?2[ g (ak ? a1 ) ? g (ak ? a2 ) ?

? g (ak ?1 ? ak )] ? [ g (ak ? a1 ) ? g (ak ? a2 ) ?
? g (ak ? ak ?1 )]

? ?2bk ? 2
因此,经过一次变换 ? 后,整个排列的各项满意指数之和将至少增加 2 . 因为 ai 的满意指数 bi ? i ? 1,其中 i ? 1, 2,3,

,n,
? (n ? 1) ? (n ? 1)n , 2

所以,整个排列的各项满意指数之和不超过 1 ? 2 ? 3 ?

即整个排列的各项满意指数之和为有限数, 所以经过有限次变换 ? 后,一定会使各项的满意指数均为非负数
35. (2013 届北京大兴区一模理科)已知数列 {an } 的各项均为正整数,且 a1

? a2 ?

? an ,

设集合 Ak ? {x | x ?

? ? a ,?
i ?1 i i

n

i

? ?1,或?i ? 0,或?i ? 1} ( 1 ≤ k ≤ n) 。
k

性质 1 若对于 ?x ? Ak ,存在唯一一组 ?i ( i ? 1,2, ???,k )使 x ? ? ?i ai 成立,则称数列 {an } 为完备
i ?1

数列,当 k 取最大值时称数列 {an } 为 k 阶完备数列。

( ) 性质 2 若记 mk ? ? a , 且对于任意 x ≤ mk ,x ? Z , 都有 x ? Ak 成立, 则称数列 {an } 为 i 1≤ k ≤ n
i ?1

k

完整数列,当 k 取最大值时称数列 {an } 为 k 阶完整数列。 性质 3 若数列 {an } 同时具有性质 1 及性质 2, 则称此数列 {an } 为完美数列, 当 k 取最大值时 {an } 称 为 k 阶完美数列;
第 21 页,共 26 页

(Ⅰ)若数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1 ,求集合 A2 ,并指出 {an } 分别为几阶完备数列,几阶 完整数列,几阶完美数列; (Ⅱ)若数列 {an } 的通项公式为 an ? 10n?1 ,求证:数列 {an } 为 n 阶完备数列,并求出集合 An 中所 有元素的和 S n 。 (Ⅲ)若数列 {an } 为 n 阶完美数列,求数列 {an } 的通项公式。
【答案】解: (Ⅰ) A2

? {?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4} ;

{an } 为 2 阶完备数列, n 阶完整数列,2 阶完美数列;
(Ⅱ)若对于 ?x ? An ,假设存在 2 组 ? i 及 ?i ( i ? 1,2?, n )使 x ?

?? a
i ?1 i

n

i

成立,则有

?1100 ? ?2102 ? ? ? ?n 10n?1 ? ?1100 ? ?2102 ? ? ? ?n 10n?1 ,即
(?1 ? ?1 )100 ? (?2 ? ?2 )101 ? ? ? (?n ? ?n )10n?1 ? 0 , 其 中 ?i , ?i ?{?1,0,1} , 必 有

?1 ? ?1 , ?2 ? ? 2 ??n ? ? n ,
所以仅存在唯一一组 ? i ( i ? 1,2?, n )使 x ? 即数列 {an } 为 n 阶完备数列;

?? a
i ?1 i

n

i

成立,

S n ? 0 , 对 ?x ? An , x ? ? ?i ai , 则 ? x ? ?? ?i ai ?? (??i )ai , 因 为 ?i ? {?1,0,1} , 则
i ?1

n

n

n

i ?1

i ?1

? ?i ? {?1,0,1} ,所以 ? x ? An ,即 S n ? 0
(Ⅲ)若存在 n 阶完美数列,则由性质 1 易知 An 中必有 3 个元素,由(Ⅱ)知 An 中元素成对出现 (互为相反数) ,且 0 ? An ,又 {an } 具有性质 2,则 An 中 3 个元素必为
n n

An ? {?

3n ? 1 3n ? 3 ,? , 2 2

? 1,0,1,
n ?1

3n ? 3 3n ? 1 3n ? 1 , } , mn ? 。 2 2 2

下面用数学归纳法证明 a n ? 3

显然 n ? 1,2 时命题成立,假设当 n ? k ( k ? 1, k ? N ) 时命题成立,即

Ak ? {?

3k ? 1 3k ? 3 3k ? 3 3k ? 1 ,? , ? ? 1,0,1, ? , } 2 2 2 2
第 22 页,共 26 页

当 n ? k ? 1 时,只需证

Ak ?1 ? { ,0,

3k ? (3k ? 2) , 2

,

3k ? 1 3k ? 1 , 2 2

,

3k ? 3k ? 2 n 3k ?1 ? (3k ? 2) ,3 , 2 2

,

3k ?1 ? 1 }由 2

于对称性只写出了 Ak ?1 元素正的部分,其中 1 ?

3 k ? (3 k ? 2) 2

既 Ak 中正的部分的

3k ? 1 3k ? i 个元素统一为 ,其中 i ? 1,3,5, ?,3 k ? 2 2 2

3k ? 1 3k ? i 3k ? i 3k ? 3k ? 2 3k ? 1 k ? 则 Ak ?1 中从 ,到 这 个元素可以用 3 ? 唯一表示其中 2 2 2 2 2

i ? 1,3,5, ?,3k ? 2 ,
Ak ?1 中从( 3 k +1)到最大值
其中 i ? 1,3,5, ?,3 k ? 2

3 k ?1 ? 1 3 k ? 1 3 k ? i 3 k ?1 ? i k ? 这 个元素可用 3 ? 唯一表示 2 2 2 2

Ak ?1 中正的部分

n 3 k ?1 ? 1 个元素都存在唯一一组 ? i ( i ? 1,2?, n )使 x ? ? ?i ai 成立, 2 i ?1

所以当 n ? k ? 1 时命题成立。 即{ an }为 n 阶完美数列, an ? 3n?1
36. (北京市石景山区 2013 届高三一模数学理试题)给定有限单调递增数列{xn}(n∈N ,n≥2)且 xi≠0(1≤ i
*

≤n),定义集合 A={(xi,xj)|1≤i,j≤n,且 i,j∈N }.若对任意点 A1∈A,存在点 A2∈A 使得 OA1⊥OA2(O 为坐标原点),则称数列{xn}具有性质 P. (I)判断数列{xn}:-2,2 和数列{yn}:-2,-l,1,3 是否具有性质 P,简述理由. (II)若数列{xn}具有性质 P,求证: ①数列{xn}中一定存在两项 xi,xj 使得 xi+xj =0: ②若 x1=-1, xn>0 且 xn>1,则 x2=l. (Ⅲ)若数列{xn}只有 2013 项且具有性质 P,x1=-1,x3 =2,求{xn}的所有项和 S2013.
【答案】

*

第 23 页,共 26 页

37. (2013 届北京西城区一模理科)已知集合 Sn

? {X | X ? ( x1, x2 ,

, xn ), xi ? N* , i ? 1, 2,

, n} (n ? 2) .

对于 A ? (a1 , a2 ,

, an ) , B ? (b1, b2 ,

, bn ) ? Sn ,定义 AB ? (b1 ? a1, b2 ? a2 ,

, bn ? an ) ;
n

? (a1, a2 , , an ) ? (?a1, ?a2 , , ?an ) (? ? R) ; A 与 B 之间的距离为 d ( A, B) ? ? | ai ? bi | .
i ?1

(Ⅰ)当 n ? 5 时,设 A ? (1, 2,1, 2, a5 ) , B ? (2, 4, 2,1,3) .若 d ( A, B) ? 7 ,求 a5 ; (Ⅱ) (ⅰ)证明:若 A, B, C ? Sn ,且 ?? ? 0 ,使 AB ? ? BC ,则 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) ; (ⅱ)设 A, B, C ? Sn ,且 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) .是否一定 ?? ? 0 ,使 AB ? ? BC ? 说明理由; (Ⅲ)记 I ? (1,1,

,1) ? Sn .若 A , B ? Sn ,且 d ( I , A) ? d ( I , B) ? p ,求 d ( A, B) 的最大值.

【答案】 (Ⅰ)解:当 n ? 5 时,由 d ( A, B) ?

?| a ? b | ? 7 ,
i ?1 i i

5

第 24 页,共 26 页

得 |1 ? 2 | ? | 2 ? 4 | ? |1 ? 2 | ? | 2 ?1| ? | a5 ? 3| ? 7 ,即 | a5 ? 3| ? 2 . 由 a5 ? N* ,得 a5 ? 1 ,或 a5 ? 5 . (Ⅱ) (ⅰ)证明:设 A ? (a1 , a2 , 因为 ?? ? 0 ,使 AB ? ? BC , 所以 ?? ? 0 ,使得 (b1 ? a1 , b2 ? a2 , ??????3 分

, an ) , B ? (b1 , b2 ,

, bn ) , C ? (c1 , c2 ,

, cn ) .

,bn ? an ) ? ? ((c1 ? b1, c2 ? b2 ,
,n.

,cn ? bn ) ,

即 ?? ? 0 ,使得 bi ? ai ? ? (ci ? bi ) ,其中 i ? 1, 2, 所以 bi ? ai 与 ci ? bi (i ? 1, 2, 所以 d ( A, B) ? d ( B, C ) ?
n

, n) 同为非负数或同为负数.
n

5分

?| ai ? bi | ??| bi ? ci |
i ?1 i ?1

? ? (| bi ? ai | ? | ci ? bi |)
i ?1
n

n

? ? | ci ? ai | ? d ( A, C ) .??6 分
i ?1

? d ( B, C ?) ( ⅱ ) 解 : 设 A, B, C ? Sn , 且 d ( A, B)

d ( A, , C )此 时 不 一 定 ?? ? 0 , 使 得

AB ? ? BC .
反例如下:取 A ? (1,1,1,

??????7 分

,1) , B ? (1, 2,1,1,

,1) , C (2, 2, 2,1,1,

,1) ,

则 d ( A, B) ? 1 , d ( B, C ) ? 2 , d ( A, C ) ? 3 ,显然 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) . 因为 AB ? (0,1,0,0,

,0) , BC ? (1,0,1,0,0,

,0) ,

所以不存在 ? ? ? ,使得 AB ? ? BC .
n

?8 分

(Ⅲ)解法一:因为 d ( A, B) ? ? | bi ? ai | ,
i ?1

设 bi ? ai (i ? 1, 2,

, n) 中 有 m (m ? n) 项 为 非 负 数 , n ? m 项 为 负 数 . 不 妨 设 i ? 1, 2,
, n 时, bi ? ai ? 0 .

,m 时

bi ? ai ? 0 ; i ? m ? 1, m ? 2,
所以 d ( A, B) ? ? | bi ? ai |
i ?1 n

? [(b1 ? b2 ?

? bm ) ? (a1 ? a2 ?

? am )] ? [(am?1 ? am?2 ?

? an ) ? (bm?1 ? bm?2 ?

? bn )]





d ( I , A) ? d ( I , B) ? p ,
所以

? (a ?1) ? ? (b ?1) ,
i ?1 i i ?1 i

n

n

整理得

? a ? ?b .
i ?1 i i ?1 i

n

n

第 25 页,共 26 页





d ( A, B) ? ? | bi ? ai |? 2[b1 ? b2 ?
i ?1

n

? bm ? (a1 ? a2 ?

? am )]







b1 ? b2 ?

? bm ? (b1 ? b2 ?

? bn ) ? (bm?1 ? bm?2 ?

? bn )

? ( p ? n) ? (n ? m) ?1 ? p ? m ;
又 a1 ? a2 ?

? am ? m ?1 ? m ,

所以 d ( A, B) ? 2[b1 ? b2 ?

? bm ? (a1 ? a2 ?

? am )]
?????12 分

? 2[( p ? m) ? m] ? 2 p .即 d ( A, B) ? 2 p .
对于 A ? (1,1,

,1, p ? 1) , B ? ( p ? 1,1,1,

,1) ,有 A , B ? Sn ,且 d ( I , A) ? d ( I , B) ? p ,

d ( A, B) ? 2 p .
综上, d ( A, B) 的最大值为 2 p . 13 分

解法二:首先证明如下引理:设 x, y ? R ,则有 | x ? y | ? | x | ? | y | . 证明:因为 ? | x | ? x ? | x | , ? | y | ? y ? | y | , 所以 ? (| x | ? | y |) ? x ? y ? | x | ? | y | , 即 | x ? y | ?| x | ? | y | . 所以 d ( A, B) ?
n

?| bi ? ai | ? ?| (bi ?1) ? (1 ? ai ) |
i ?1 i ?1

n

n

? ? (| bi ? 1| ? |1 ? ai |)
i ?1 n

? ? | ai ? 1| ? ? | bi ? 1| ? 2 p ??11 分
i ?1 i ?1

n

上式等号成立的条件为 ai ? 1 ,或 bi ? 1 ,所以 d ( A, B) ? 2 p . 对于 A ? (1,1,

12 分

,1, p ? 1) , B ? ( p ? 1,1,1,

,1) ,有 A , B ? Sn ,且 d ( I , A) ? d ( I , B) ? p ,

d ( A, B) ? 2 p .
综上, d ( A, B) 的最大值为 2 p . 13 分

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