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衡水中学2011-2012学年度高三上学期三调文科数学试题+答案


衡水中学 2011—2012 学年度上学期三调考试 高三数学(文科)
命题人: 刘静祎 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 共 120 分钟

8、不等式

x?5 ≥ 2 的解集是( ( x ? 1) 2

) C. ? , ? ?1, 1? 3?

A. ? ?3, ?

? ?

1? 2?

B. ? ? , 3?

? 1 ? ? 2 ?

?1 ? ?2 ?

D. ? ? , ? ?1 3? 1? ,

? 1 ? ? 2 ?
)

? ?x+1, x∈[-1,0? 9、已知 f(x)=? 2 ,则下列函数的图象错误的是( ?x +1, x∈[0,1] ? 一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填

涂在答题卡上) 1、 已知集合 U=R,集合 A ? {x | y ? 1 ? }, 则 ? A 等于( U A {x | 0 ? x ? 1} B {x | x ? 0或x ? 1}
2 2

1 x

) D {x | x ? 0} 10、对一切实数 x,不等式 x +a|x|+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.[-2,+∞) C.[-2,2] ) B.(-∞-2) D.[0,+∞) )
2

C {x | x ? 1} )

2、设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x +y ≥4”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

)

B.必要而不充分条件 D.即不充分也不必要条件

3、若平面向量 a ? (1, ?2) 与 b 的夹角是 180°,且 | b |? 3 5 ,则 b 等于( A. (?3, 6) B. (3, ?6) C. (6, ?3) ) D. a ? b ? 8
2 2

11、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120°,c= 2a,则( A. a ? b C. a ? b B. a ? b D.a 与 b 的大小关系不能确定

D. (?6,3)

4、若 a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ? 4 ,则下列不等式恒成立的是(

1 1 ? A. ab 2

1 1 B. ? ? 1 a b

C. ab ? 2 ) C. y ? 2x

x 12、已知函数 f ( x ) ? lg x ? ( ) 有两个零点 x1 , x 2 ,则有

1 2





5、下列函数中,在区间 (0, ? ) 上为增函数的是( A. y ? sin x B. y ?

A. x1 x2 ? 0 D. y ? x2 ? 2 x ? 1

B. x1 x2 ? 1

C. x1 x2 ? 1

D. 0 ? x1 x2 ? 1

1 x

第Ⅱ卷

非选择题 (共 90 分)

? x2 ? y 2 ? 1 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) ? 6、设O为坐标原点, A(1,1) ,点 B( x, y) 满足 ?0 ? x ? 1 ,则 OA? OB 取得最小值时,点B的个数是 π 1 ?0 ? y ? 1 13、已知 sin( +α)= ,则 cos(π+2α)的值为_________ 2 3 ?



) A.1 B.2 C.3 D.无数个

7、在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 A .40 B.42

? 13 ,则 a4 ? a5 ? a6 等于(
C.43 D.45



? ax ? b( x ≤ 0) ? 14、函数 f(x)= ? 的图象如图所示,则 a+b+c= 1 ? log c( x ? 9 )( x >0) ?

.

(第 14 题图)

15、已知函数 f (n) ? log( n?1) (n ? 2) ( n 为正整数),若存在正整数 k 满足: f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? k ,

] 那么我们将 k 叫做关于 n 的“对整数”.当 n ? [1,2012 时,则“对整数”的个数为
高三数学文科试题 第2页(共 4 页)

个.

高三数学文科试题 第1页(共 4 页)

16、给出下列四个结论: ①“若 am 2 ? bm 2 则 a ? b ”的逆命题为真; ②若 f ( x0 ) 为 f ( x ) 的极值,则 f ?( x0 ) ? 0 ; ③函数 f ( x) ? x ? sin x (x ? R )有 3 个零点; 20、已知函数 f ( x) ? a ln x ? 2ax ? 3 ( a ? 0 ). (1)求函数 f (x ) 的单调区间; (2) 函数 y ? f (x) 的图像在 x ? 2 处的切线的斜率为 , 若函数 g ( x) ?

) ④对于任意实数 x,有 f (? x) ? ? f ( x), g (? x ) ? g ( x且 x>0 时, f ?( x) ? 0, g ?( x) ? 0 , 则 x<0 时 间(1,3)上不是单调函数,求 m 的取值范围。

3 2

1 3 x ? x 2 [ f ' ( x) ? m] ,在区 3

f ?( x) ? g ?( x)

其中正确结论的序号是 三.解答题(共 6 个小题,共 70 分)

.(填上所有正确结论的序号) 21、已知函数 f ( x) ? ax ? ln x (a ?R) . (Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g (x) ? x 2 ? 2x ? 2 ,若对任意 x1 ? (0, ??) ,均存在 x2 ??0,1? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 求 a 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22、选修 4-1:平面几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径, P 在 AB 的延长线上,PC 与⊙O 相切于点 C, 点

17、如图,为了计算衡水湖岸边两景点 B 与 C 的距离,由于地形的限制,需要在岸上选取 A 和 D 两个测量点,现测得 AD⊥CD,AD=100m,AB=140m,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求两景点 B 与 C 之间的距离(假设 A, , , 在同一平面内, B C D 测量结果保留整数; 参考数据: 2=1.414, 3=1.732, 5=2.236).

18、若向量 a ? ( 3 cos ? x,sin ? x), b ? (sin ? x,0), 其中 ω ? 0 ,记函数 f ( x) ? ( a ? b) ? b ?

?

?

若函数 f ( x ) 的图像与直线 y ? m( m 为常数) 相切, 并且切点的横坐标依次成公差为 ? 的等差数列。 (1)求 f ( x ) 的表达式及 m 的值;

? ? ? 1 , 2

PC=AC=1.求⊙O 的半径.

? ? 7? ) 时,g ( x) ? cos ? (2) 将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移 , 得到 y ? g ( x) 的图像, x ? ( , 当 ? ?x=1+2t, 12 2 4 已知某条曲线 C 的参数方程为? (其中 t 是参数,a∈R),点 M(5,4)在该曲线上. 2
的交点横坐标成等比数列,求钝角 ? 的值。
?y=at ?

23、选修 4-4:极坐标和参数方程

(1)求常数 a; (2)求曲线 C 的普通方程. 19、数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 2 且 Sn ? Sn?1 ? 2n ( n ? 2 , n ? N* ). (1)求 Sn ; ( 2 ) 是否存在等比数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , b2 ? a3,b3 ? a9 ?若存在,则求出数列 {bn } 的通项公式; 若不存在,则说明理由.
高三数学文科试题 第3页(共 4 页)

24.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log2 (| 2 x ? 1 | ? | x ? 2 | ?m) . (1)当 m ? 4 时,求函数 f (x) 的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 1 的解集是 R ,求 m 的取值范围.
高三数学文科试题 第4页(共 4 页)

衡水中学 2011—2012 学年度上学期三调考试 高三数学(文科) 试题答案
1-5 AAADC 6-10 BBDDA AD
2

BC BD 由正弦定理,得: = , sin∠CDB sin∠BCD 又 AD⊥CD,∴∠CDB=30° , 160 ∴BC= · sin30° =80 2≈113(m). sin135° 即两景点 B 与 C 之间的距离约为 113m.

1 x (1)解:? a ? ( 3 cos ? x,sin ? x), b ? (sin ? x,0), D 【解析】函数 f ( x) ? lg x ? ( ) 的两个零点 x1 , x 2 ,即方程 f ( x) ? 0 的两根,也就是函数 y ?| lg x | 与 18、

?

?

1 y ? ( ) x 的图象交点的横坐标,如图易得交点的横坐标分别为 x1 , x2 , 显然 x1 ? ?0,1?, x2 ? ?1,??? , 2
?? 1 ? x2 x1 ?? ? ? ? lg x1 ?1? ?1? ?? 2 ? 则 ? lg x1 x2 ? ? ? ? ? ? ? 0,? 0 ? x1 x2 ? 1 . ? x ?2? ? 2? 1? 2 ?? ? ? ? lg x 2 ? 2 ?? ?
x1

? ? ? 1 1 ? ? f ( x) ? (a ? b) ? b ? ? 3 sin ? x cos ? x ? sin 2 ? x ? ? sin(2? x ? ) ----------4 分 2 2 6
由题意可知其周期为 ? ,故 ? ? 1 ,则 f ( x) ? sin(2 x ?

?

(2)解:将 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) 的图像向左平移

由其对称性,可设交点横坐标分别为 x1 ,

13、 ?

7 9

1 14、解析:由图象可求得直线的方程为 y=2x+2,又函数 y=logc(x+ ) 9 1 13 1 的图象过点(0,2),将其坐标代入可得 c= , 所以 a+b+c=2+2+ = . 3 3 3 15、解析:∵ f (n) ? log( n?1) (n ? 2) ,

3? 9 ? x1 ) 2 ? x1 (? ? x1 ), 则x1 ? ? 2 16 9? ? 5? 5? cos ? ? sin ? ? sin ? cos 则? ? 8 8 8 8 (

3? ? x1 , ? ? x1 , 有 2

? ,得到 g ( x) ? sin 2 x ,-------------------8 分 12

6

) , m ? ?1 。--------------6 分

------------------------10 分 ------------------------------12

19、解: (I)因为 Sn ? Sn?1 ? 2n ,所以有 Sn ? Sn?1 ? 2n 对 n ? 2 , n ? N* 成立 ???2 分 即 an ? 2n 对 n ? 2 成立,又 a1 ? S1 ? 2 ? 1 , 所以 an ? 2n 对 n ? N* 成立 ???????3 分 所以 an?1 ? an ? 2 对 n ? N* 成立 ,所以 {an } 是等差数列, 所以有 Sn ? ???????4 分 ???????7 分 ??????8 分 ?????10 分 ?????12 分

lg 3 lg 4 lg( n ? 2) ? ??? ? log2 (n ? 2) lg 2 lg 3 lg( n ? 1) , ] ∴ n ? 2 ? 4,8,16,32,64,128 256,512,1024满足要求,∴当 n ? [1,2012 时,则“对整数”的个数为9个.
∴ k ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ?

a1 ? an ? n ? n 2 ? n , n ? N* 2

16、解析:m2 ? 0 ,可知①错; f ( x) ? x , x0 ? 0 ,则 f ?( x0 ) 不存在,可知②错;由单位圆知 sin x ? x (II)存在. 由(I) an ? 2n , n ? N* 对成立 , 故只有一个交点, 故③错。 由奇函数的增减性一致, 偶函数的增减性相反, x<0 时 f ?( x) ? 0, g ?( x) ? 0 , 知 所以有 a3 ? 6, a9 ? 18 ,又 a1 ? 2 , 故④正确。 b2 b3 ? ?3 所以由 b1 ? a1, b2 ? a3,b3 ? a9 ,则 b1 b2 17、解:在△ABD 中,设 BD=xm, 则 BA2=BD2+AD2-2BD· cos∠BDA, AD· 即 1402=x2+1002-2×100×x×cos60° , 整理得 x2-100x-9600=0, 解之得 x1=160,x2=-60(舍去), 故 BD=160m,
高三数学文科试题 第5页(共 4 页)

所以存在以 b1 ? 2 为首项,公比为 3 的等比数列 {bn } , 其通项公式为

bn ? 2 ? 3n?1 .
'

20、解: (I) f ( x ) ?

a (1 ? 2 x) ( x ? 0) x 1 2 f‘ ( x) ? 0即x ? 1 2

??2 分

当 a ? 0时, ( x) ? 0 即 0 ? x ? f'
高三数学文科试题 第6页(共 4 页)

1 1 ???4 分 ? f(x)的单调递增区间为(0, ),单调递减区间为( , ? ?) 2 2 1 1 ‘ 当 a ? 0时, f ( x ) ? 0即x ? , f ' ( x) ? 0 即 0 ? x ? 2 2 1 1 f(x)的单调递增区间为( , ? ?) ,单调递减区间为(0, ) ??6 分 2 2 3a 3 ' ? 得 a ? ?1 (II) f (2) ? ? ??8 分 2 2 1 1 g ( x) ? x 3 ? (? ? 2 ? m) x 2 ??9 分 f ( x) ? ? ln x ? 2 x +3 3 x ' 2 ???10 分 ? g ( x) ? x ? (4 ? 2m) x ? 1 ' ? g ( x)在区间(, 1 3)上不是单调函数,且 (0) ? ?1 ??11 分 g

(或者举出反例:存在 f (e3 ) ? ae3 ? 3 ? 2 ,故不符合题意.)

??????10 分

1 1 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 (? , ??) 上单调递减, a a
故 f ( x ) 的极大值即为最大值, f (? ) ? ?1 ? ln( 所以 2 ? ?1 ? ln(?a) , 解得 a ? ?

1 a

1 ) ? ?1 ? ln(? a) , ?a

???11 分

1 . e3

??????12 分

22、解:连接 OC. 设∠PAC=θ.因为 PC=AC,所以∠CPA=θ,∠COP=2θ. 又因为 PC 与⊙O 相切于点 C,所以 OC⊥PC. 所以 3θ=90° ,所以 θ=30° . 设⊙O 的半径为 r,在 Rt△POC 中,

? g (1) ? 0 ? ?? ' ??12 分 ? g (3) ? 0 ?
'

?4 ? 2m ? 0 10 ? m ? ?2 即: ? ?? 3 ?20 ? 6m ? 0
1 ( x ? 0) , x

??14 分

21、解:(1)由已知 f ?( x) ? 2 ?

??????2 分 r=CP· tan30° =1× ??????4 分 ??????5 分 3 3 = . 3 3

f ?(1) ? 2 ? 1 ? 3 .
故曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率为 3 . (2) f '( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? ( x ? 0) . x x

?1+2t=5, ?t=2, ? ? 23、解:(1)由题意,可知? 2 故? 所以 a=1. ? ? ?at =4, ?a=1. ? ?x=1+2t, x-1 (2)由已知及(1)可得,曲线 C 的方程为? 由第一个方程,得 t= ,代入第二个方程,得 2 2 ?y=t , ? x-1 2 y=( ) ,即(x-1)2=4y 为所求 2

①当 a ? 0 时,由于 x ? 0 ,故 ax ? 1 ? 0 , f '( x) ? 0 所以, f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) . ??????6 分

1 ②当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ? . a 1 1 在区间 (0, ? ) 上, f ?( x) ? 0 ,在区间 (? , ??) 上 f ?( x) ? 0 , a a 1 1 所以,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ? ) ,单调递减区间为 (? , ??) . a a
??????7 分 (3)由已知,转化为 f ( x)max ? g ( x)max . ??????8 分 ??????9 分

24、24(1) ? x x ? ? 或x ? ? ——————————5 分

? ?

7 3

1? 3?

g ( x)max ? 2

由(Ⅱ)知,当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,值域为 R ,故不符合题意.
高三数学文科试题 第7页(共 4 页)

? ? ?3x ? 5, x ? ?2 ? 1 ? (2) m ? 2x ? 1 ? x ? 2 ? 2 及 g ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 2 ? ?? x ? 1, ?2 ? x ? ? 2 ? 1 ? ? 3x ? 1, x ? ? 2 ? 1 ? g ( x) ? ? 2 1 ? m ? ? ——————————5 分 2
高三数学文科试题 第8页(共 4 页)

高三数学文科试题 第9页(共 4 页)

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