当前位置:首页 >> 数学 >>

经典正弦定理和余弦定理(教师版)


正弦定理和余弦定理
[知识回顾]
1.正弦定理:________=________=________=2R,其中 R 是三角形外接圆的半径.由正 弦定理可以变形为: (1)a∶b∶c=________________; (2)a=__________, b=__________, c=__________;(3)sin A=________,sin B=__________,sin C=________等形式,以 解决不同的三角形问题. 2.余弦定理:a2=________________,b2=________________,c2=________________.余 弦 定 理 可 以 变 形 为 : cos A = ________________ , cos B = ____________ , cos C = __________. 1 1 1 abc 1 3.S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+c)· r(r 是三角形内切圆的半径),并 2 2 2 4R 2 可由此计算 R、r. 4.在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一边,求其它边或角;(2) 已知两边及一边的对角,求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、二解、无解,应注 意区分. 余弦定理可解决两类问题: (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题;(2)已知三边 问题. [难点正本 疑点清源] 解三角形时,三角形解的个数的判断 在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 图形 关系式 解的个数 a=bsin A 一解 bsin A<a<b 两解 a≥b 一解 a>b 一解 A 为钝角或直角

[基础自测]
a+b+c 1.(课本精选题)在△ABC 中,若 A=60° ,a= 3,则 =________. sin A+sin B+sin C 2π 2.(2010· 北京)在△ABC 中,若 b=1,c= 3,C= ,则 a=________. 3 3.(课本改编题)在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cos B=________. π 4.△ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知 c=3,C= ,a=2b,则 3 b 的值为________. 5.已知圆的半径为 4,a、b、c 为该圆的内接三角形的三边,若 abc=16 2,则三角形的面 积为 A.2 2 B.8 2 C. 2
1

( D. 2 2

)

[典例分析]
题型一 利用正弦定理求解三角形 例1 在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° .求角 A、C 和边 c. (1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解 探究提高 即可. (2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角, 这是解题的难点,应引起注意. (典例新编)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a =1,b= 3,A+C=2B,则角 A 的大小为________. 题型二 利用余弦定理求解三角形 例2 cos B b 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 =- . cos C 2a+c

(1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积. 探究提高 的关键. (2)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用. (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题

在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且满足 cos =3. (1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值.

A 2 5 →→ = , AB · AC 2 5

题型三 正、余弦定理的综合应用 例3 (2011· 浙江)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 sin A+sin C= 1 psin B (p∈R),且 ac= b2. 4 5 (1)当 p= ,b=1 时,求 a,c 的值; 4 (2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围. 探究提高 在已知关系式中,若既含有边又含有角.通常的思路是:将角都化成边或将边 都化成角,再结合正、余弦定理即可求角. 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. π (1)若 c=2,C= ,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值; 3 (2)若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状.
2

例 3]试题:(12 分)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A+B),试判断△ABC 的 形状. 审题视角 (1)先对等式化简,整理成以单角的形式表示. (2)判断三角形的形状可以根据边的关系判断,也可以根据角的关系判断,所以可以从以 下两种不同方式切入:一、根据余弦定理,进行角化边;二、根据正弦定理,进行边化角. 规范解答 解 ∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B), ∴b2[sin(A+B)+sin(A-B)]=a2[sin(A+B)-sin(A-B)], ∴2sin Acos B· b2=2cos Asin B· a2, 即 a2cos Asin B=b2sin Acos B. 方法一 由正弦定理知 a=2Rsin A,b=2Rsin B, ∴sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B, 又 sinAsin B≠0,∴sin Acos A=sin Bcos B, ∴sin 2A=sin 2B. 在△ABC 中,0<2A<2π,0<2B<2π, ∴2A=2B 或 2A=π-2B, π ∴A=B 或 A+B= . 2 ∴△ABC 为等腰或直角三角形. 方法二 由正弦定理、余弦定理得: b2+c2-a2 2 a2+c2-b2 a2b =b a , 2bc 2ac ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), ∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, ∴a2-b2=0 或 a2+b2-c2=0. 即 a=b 或 a +b =c . ∴△ABC 为等腰或直角三角形. 批阅笔记 为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系,再判断. (2)本题也可分析式子的结构特征,从式子看具有明显的对称性,可判断图形为等腰或直 角三角形. (3)易错分析:①方法一中由 sin 2A=sin 2B 直接得到 A=B,其实学生忽略了 2A 与 2B 互 补的情况, 由于计算问题出错而结论错误. 方法二中由 c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)不少同 学直接得到 c2=a2+b2,其实是学生忽略了 a2-b2=0 的情况,由于化简不当致误.②结 论表述不规范.正确结论是△ABC 为等腰三角形或直角三角形,而不少学生回答为:等 腰直角三角形. 方法与技巧 1.正、余弦定理和三角形面积公式是本节的重点,利用三角形内角和、边、角之间的关系, [12 分] (1)利用正弦、余弦定理判断三角形形状时,对所给的边角关系式一般都要先化
2 2 2

[4 分]

[8 分]

[12 分]

[6 分]

[10 分]

3

三角函数的变形公式去判断三角形的形状,求解三角形,以及利用它们解决一些实际问 题. A B C π 2.应熟练掌握和运用内角和定理:A+B+C=π, + + = 中互补和互余的情况,结合 2 2 2 2 诱导公式可以减少角的种数. 3.正、余弦定理的公式应注意灵活运用,如由正、余弦定理结合得 sin2A=sin2B+sin2C- 2sin B· sin C· cos A,可以进行化简或证明. 4.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径: (1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 失误与防范 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角,进而求出其他 的边和角时,有时可能出现一解、两解或无解,所以要进行分类讨论.

课时规范训练
(时间:60 分钟) A 组 专项基础训练题组 一、选择题 1.(2011· 浙江)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 acos A=bsin B,则 sin Acos A+cos2B 等于 1 1 A.- B. 2 2 ( C.-1 D.1 )

2.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 a=2bcos C,则此三角形一定是 ( A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 a+b+c 3.在△ABC 中,若∠A=60° ,b=1,S△ABC= 3,则 的值为 sin A+sin B+sin C 26 3 2 39 39 13 3 A. B. C. D. 3 3 3 3 二、填空题 π 1 4.(2011· 北京)在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,sin A= ,则 a=________. 4 3 5.(2011· 福建)若△ABC 的面积为 3,BC=2,C=60° ,则边 AB 的长度等于________. 9 6.在△ABC 中,若 AB= 5,AC=5,且 cos C= ,则 BC=________. 10 三、解答题 7.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A 是锐角,且 3b=2a· sin B. (1)求 A; (2)若 a=7,△ABC 的面积为 10 3,求 b2+c2 的值. )

(

)

4

8. 在△ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 c.已知 a2-c2=2b, 且 sin B=4cos Asin C, 求 b. B 组 专项能力提升题组 一、选择题 1.(2011· 辽宁)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos2A b = 2a,则 等于 ( ) a A.2 3 B.2 2 C. 3 D. 2 ( 6 D. 6 ) 2. (2011· 天津)如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD, 2AB= 3BD,BC=2BD,则 sin C 的值为 3 3 6 A. B. C. 3 6 3 则 A.a>b C.a=b 二、填空题 4.在△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a,b,c 成等比数列,且 a2-c2=ac-bc,则∠A=________,△ABC 的形状为__________. b a tan C 5.(2010· 江苏)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 + =6cos C,则 a b tan A tan C + 的值是______. tan B 1 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若其面积 S= (b2+c2-a2),则 A 4 =________. 三、解答题 7.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状. 8.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,4sin2 (1)求∠A 的度数; (2)若 a= 3,b+c=3,求 b、c 的值. B+C 7 -cos 2A= . 2 2 B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定

3.(2010· 湖南)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若∠C=120° ,c= 2a, ( )

5

A级

课时对点练

(时间:40 分钟 满分:60 分) 一、选择题(本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 1.在△ABC 中,A=60° ,B=75° ,a=10,则 c= A.5 2 B.10 2 10 6 C. 3 D.5 6 ( )

解析:由正弦定理得: 10 c = , sin 60° sin 45° 2 10× 2 10 6 ∴c= = . 3 3 2 答案:C 2.(2010· 茂名调研)已知 a,b,c 是△ABC 三边之长,若满足等式(a+b-c)(a+b+c)=ab, 则角 C 的大小为 A.60° B.90° C.120° D.150° ( )

解析:由(a+b-c)(a+b+c)=ab 得(a+b)2-c2=ab.c2=a2+b2+ab=a2+b2-2abcos C. 1 ∴cos C=- ,C=120° . 2 答案:C 3.在△ABC 中,已知 sin Acos B=sin C,那么△ABC 一定是 A.直角三角形 C.等腰直角三角形 B.等腰三角形 D.正三角形 ( )

解析:利用正弦定理、余弦定理把已知转化为三边关系,可得 b2+c2=a2,因此 A=90° . 答案:A 4.△ABC 中,AB= 3,AC=1,∠B=30° ,则△ABC 的面积等于 A. 3 2 B. 3 4 C. 3 或 3 2 D. 3 3 或 2 4 ( )

解析:

1 3 3 = ,∴sin C= . sin 30° sin C 2

∵0° <C<180° ,∴C=60° 或 120° . (1)当 C=60° 时,A=90° ,∴BC=2,此时,S△ABC= (2)当 C=120° 时,A=30° , 3 ; 2

6

1 3 S△ABC= × 3×1×sin 30° = . 2 4 答案:D 5. (2010· 上海卷)若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13, 则△ABC( A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 解析:∵sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c ∴a∶b∶c=5∶11∶13 设 a=5k,b=11k,c=13k, a2+b2-c2 25k2+121k2-169k2 23 则 cos C= = =- <0, 2ab 110 2×5k×11k ∴C 为钝角. 答案:C 二、填空题(本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 3 6.在△ABC 中,2b=a+c,∠B=30° ,△ABC 的面积为 ,那么 b 等于________. 2 1 1 3 解析:由 2b=a+c,两边平方 a2+c2=4b2-2ac,又 S△ABC= acsin B= ac= , 2 4 2 ∴ac=6,∴a2+c2=4b2-12, ∴b2=a2+c2-2accos B=4b2-12-6 3, ∴b2=4+2 3. ∴b=1+ 3. 答案:1+ 3 7.(2010· 广东卷)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3,A+C=2B,则 sin A=________. 解析:在△ABC 中,A+B+C=180° , 又∵A+C=2B, ∴3B=180° 即 B=60° . a b asin B 由正弦定理 = ,所以 sin A= sin A sin B b 1× = 3 2 1 = . 2 3
7

)

1 答案: 2 8.(2010· 山东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2,sin B +cos B= 2,则角 A 的大小为________. 解析:∵sin B+cos B π? ? π? = 2sin? ?B+4?= 2,∴sin?B+4?=1, π a b 解得 B= .由正弦定理 = 4 sin A sin B 1 π 得 sin A= ,即 A= . 2 6 π 答案: 6 三、解答题(本题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分) 9.(2010· 重庆卷)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3b2+3c2-3a2=4 2 bc. (1)求 sin A 的值; π? ? π? 2sin? ?A+4?sin?B+C+4? 1-cos 2A

(2)求

的值.

解:(1)由余弦定理得 cos A=

b2+c2-a2 2 2 = , 2bc 3

1 又 0<A<π,故 sin A= 1-cos2A= . 3 π? ? π? 2sin? ?A+4?sin?π-A+4? (2)原式= 1-cos 2A π? ? π? 2sin? ?A+4?sin?A-4? 2sin2A 2? = = 2 2 2 ?? 2 ? ? 2 sin A+ 2 cos A?? 2 sin A- 2 cos A? 2sin2A



sin2A-cos2A 2sin2A

7 =- . 2

10.已知平面四边形 ABCD 中,△BCD 为正三角形,AB=AD=1,∠BAD= θ,记四边形的面积为 S.
8

(1)将 S 表示为 θ 的函数, (2)求 S 的最大值及此时 θ 的大小. 解:(1)在△ABD 中,由余弦定理得 BD2=2-2cos θ, 1 1 π 又 S=S△ABD+S△BCD= sin θ+ (2-2cos θ)sin . 2 2 3 π 3 θ- ?+ ,θ∈(0,π). 所以 S=sin? ? 3? 2 π π 2π (2)∵θ∈(0,π),∴- <θ- < . 3 3 3 π π 5π 3 所以 θ- = 时,即 θ= 时,S 取得最大值,最大值为 1+ . 3 2 6 2

B级

素能提升练

(时间:30 分钟 满分:40 分) 一、选择题(本题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) a 1.(2010· 长春调研)锐角△ABC 中,若 A=2B,则 的取值范围是 b A.(1,2) C.( 2,2) B.(1, 3) D.( 2, 3) ( )

解析:∵△ABC 为锐角三角形,且 A=2B,

?0<2B<2, ∴? π ?0<π-3B<2,
π π ∴ <B< . 6 4 ∵A=2B,∴sin A=sin 2B=2sin Bcos B, a sin A ∴ = =2cos B∈( 2, 3). b sin B 答案:D 2. 在△ABC 中, 如果 lg a-lg c=lg sin B=-lg A.等边三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等腰直角三角形 2, 并且 B 为锐角, 则△ABC 的形状是( )

π

a 2 π 解析:由已知得 =sin B= ,得 B= ,由余弦定理知:b2=a2+c2-2accos B,∴b2 c 2 4 π =a2+( 2a)2-2· a· 2a· cos =a2,∴a=b,又 c= 2a,∴a2+b2=c2.∴△ABC 为等腰 4 直角三角形.
9

答案:D 二、填空题(本题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 1 3.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若三角形的面积 S= (a2+b2-c2), 4 则角 C 的度数是________. 1 解析:由 S= (a2+b2-c2) 4 1 1 得 absin C= · 2abcos C. 2 4 ∴tan C=1.又 0<C<π,∴C=45° . 答案:45° 4.已知△ABC 三边满足 a2+b2=c2- 3ab,则此三角形的最大内角为________. 解析:∵a2+b2-c2=- 3ab, a2+b2-c2 3 ∴cos C= =- , 2ab 2 故 C=150° 为三角形的最大内角. 答案:150° 三、解答题(本题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分) 5.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已知 a2-c2=2b,且 sin Acos C =3cos Asin C,求 b. 解:由余弦定理得:a2-c2=b2-2bc cos A.又 a2-c2=2b,b≠0. 所以 b=2c cos A+2,① 又 sin Acos C=3cos Asin C, ∴sin Acos C+cos Asin C=4cos Asin C, sin(A+C)=4cos Asin C,即 sin B=4cos Asin C. b 由正弦定理得 sin B= sin C,故 b=4c cos A,② c 由①,②解得 b=4. 6.在△ABC 中,角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c,设 a、b、c 满足条件 b2+c2-bc= c 1 a2 和 = + 3,求角 A 和 tan B 的值. b 2 b2+c2-a2 1 解:由 b2+c2-bc=a2,得 = , 2bc 2 1 π 即 cos A= ,又 0<A<π,∴A= . 2 3

10

c 1 sin C 1 又 = + 3, = + 3, b 2 sin B 2 2π C=π-A-B= -B, 3 2π ? ?1 ? ∴sin? ? 3 -B?=?2+ 3?sin B, 整理得 ∴ 3 1 1 cos B+ sin B= sin B+ 3sin B. 2 2 2

1 1 cos B=sin B,则 tan B= . 2 2

答案
要点梳理 a b c 1. (1)sin A∶sin B∶sin C sin A sin B sin C a b c (3) 2R 2R 2R (2)2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C

2.b2+c2-2bccos A a2+c2-2accos B a2+b2-2abcos C a2+b2-c2 2ab 基础自测 1.2 2.1 3. 6 3 4. 3 5.C

b2+c2-a2 a2+c2-b2 2bc 2ac

题型分类· 深度剖析 例1 a b 解 由正弦定理得 = , sin A sin B 3 2 3 = ,∴sin A= . sin A sin 45° 2

∵a>b,∴A=60° 或 A=120° . 当 A=60° 时,C=180° -45° -60° =75° , 6+ 2 bsin C c= = ; sin B 2 当 A=120° 时,C=180° -45° -120° =15° , 6- 2 bsin C c= = . sin B 2 π 变式训练 1 6 例2 解 (1)由余弦定理知:

11

a2+c2-b2 cos B= , 2ac 2 2 2 a +b -c cos C= . 2ab cos B b 将上式代入 =- 得: cos C 2a+c a2+c2-b2 2ab b ·2 , 2 2=- 2ac a +b -c 2a+c 整理得:a2+c2-b2=-ac. a2+c2-b2 -ac 1 ∴cos B= = =- . 2ac 2ac 2 2 ∵B 为三角形的内角,∴B= π. 3 2 (2)将 b= 13,a+c=4,B= π 代入 b2=a2+c2-2accos B, 3 得 b2=(a+c)2-2ac-2accos B, 1? ∴13=16-2ac? ?1-2?,∴ac=3. 1 3 3 ∴S△ABC= acsin B= . 2 4 A 2 5 变式训练 2 解 (1)∵cos = , 2 5 A 3 ∴cos A=2cos2 -1= , 2 5 4 →→ ∴sin A= .又 AB · AC =3,∴bccos A=3,∴bc=5. 5 1 1 4 ∴S△ABC= bcsin A= ×5× =2. 2 2 5 (2)由(1)知,bc=5,又 b+c=6, 根据余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A =(b+c)2-2bc-2bccos A 3 =36-10-10× =20,∴a=2 5. 5

例3



?a+c=4, (1)由题设并由正弦定理,得? 1 ?ac=4,

5

1 a=1, ? ? ? ?a=4, 解得? 1 或? c= ? ? ? 4 ?c=1.

(2)由余弦定理,b2=a2+c2-2accos B =(a+c)2-2ac-2accos B 1 1 =p2b2- b2- b2cos B, 2 2 3 1 即 p2= + cos B. 2 2 3 ? 因为 0<cos B<1,所以 p2∈? ?2,2?, 由题设知 p>0,所以 6 <p< 2. 2

π 变式训练 3 解 (1)∵c=2,C= , 3

12

∴由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C 得 a2+b2-ab=4. 又∵△ABC 的面积为 3, 1 ∴ absin C= 3,ab=4. 2 2 2 ? ?a +b -ab=4, ? 联立方程组 ?ab=4, ? 解得 a=2,b=2. (2)由 sin C+sin(B-A)=sin 2A, 得 sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Acos A, 即 2sin Bcos A=2sin Acos A, ∴cos A· (sin A-sin B)=0, ∴cos A=0 或 sin A-sin B=0, 当 cos A=0 时,∵0<A<π, π ∴A= ,△ABC 为直角三角形; 2 当 sin A-sin B=0 时,得 sin B=sin A,由正弦定理得 a=b,即△ABC 为等腰三角形. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 课时规范训练 A组 1.D 2.C 3.B 5 2 4. 3 5.2 6.4 或 5

7.解 (1)∵ 3b=2a· sin B,由正弦定理知 3sin B=2sin A· sin B. ∵B 是三角形的内角,∴sin B>0, 3 从而有 sin A= , 2 ∴A=60° 或 120° ,∵A 是锐角,∴A=60° . 1 (2)∵10 3= bcsin 60° ,∴bc=40, 2 又 72=b2+c2-2bccos 60° ,∴b2+c2=89. 8.解 ∵sin B=4cos Asin C, b c 由正弦定理,得 =4cos A , 2R 2R ∴b=4ccos A, b2+c2-a2 由余弦定理得 b=4c· , 2bc ∴b2=2(b2+c2-a2),∴b2=2(b2-2b), ∴b=4. B组 1.D 2.D 3.A 4.60° 正三角形 5.4

13

6.

π 4 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得 a =b +c -2bccos A, 1 故 cos A=- ,又∵0° <A<180° , 2 ∴A=120° . (2)由①得 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C. 3 ∴ =(sin B+sin C)2-sin Bsin C, 4 又 sin B+sin C=1, 1 ∴sin Bsin C= . 4 1 解②③联立的方程组,得 sin B=sin C= . 2 因为 0° <B<60° ,0° <C<60° ,故 B=C. ② ③
2 2 2

7.解 (1)由已知,根据正弦定理得 ①

所以△ABC 是等腰的钝角三角形. B+C π A 8.解 (1)∵B+C=π-A,即 = - , 2 2 2 B + C 7 由 4sin2 -cos 2A= , 2 2 A 7 得 4cos2 -cos 2A= , 2 2 7 即 2(1+cos A)-(2cos2A-1)= , 2 整理得 4cos2A-4cos A+1=0, 即(2cos A-1)2=0. 1 ∴cos A= ,又 0° <A<180° ,∴A=60° . 2 (2)由 A=60° , b2+c2-a2 根据余弦定理 cos A= , 2bc b2+c2-a2 1 即 = ,∴b2+c2-bc=3, 2bc 2 又 b+c=3, ∴b +c +2bc=9. ①-③整理得:bc=2.
?b=1, ?b=2, ? ? 解②④联立方程组得? 或? ? ? ?c=2, ?c=1.
2 2

① ② ③ ④

14


相关文章:
正弦定理余弦定理老师版
正弦定理余弦定理老师版_数学_高中教育_教育专区。授课日期及时段 1、解三角形是历年来高考重点内容之一,正余弦定理的考查,选择题、填空题解答题都有可 能出现...
经典正弦定理和余弦定理(学生版)
经典正弦定理和余弦定理(学生版) 隐藏>> 广州学大教育技术有限公司 Guangzhou Xueda Education Technology Ltd 个性化教学辅导教案学科:数学 任课教师:刘士华(1302515652...
第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例(教师版)
第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例(教师版)_数学_高中教育_教育专区。授课学案...(组)得出 所要求的解. 三、经典例题 题型一:测量距离问题 1.例题:为了测量...
第15讲-正弦定理、余弦定理及其应用专题(教师版)
(3)边与角关系:正弦定理 、余弦定理 正、余弦定理的五大命题热点正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具, 其主要作用是将已知条件中的边、 ...
《正弦定理和余弦定理》教材分析
正弦定理和余弦定理》教材分析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。非常经典、完整...作为教师一定要清楚这两个 定理在解三角形思维体系中的地位与作用,一定要向学...
正弦定理、余弦定理应用举例(教师版)
正弦定理余弦定理应用举例(教师版) 第7讲【2013 年高考会这样考】 正弦定理余弦定理应用举例 考查利用正弦定理余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测...
第三章第7讲正弦定理与余弦定理(教师版)
第三章第7讲正弦定理与余弦定理(教师版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 7 讲 正弦定理与余弦定理 , 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 a ...
正弦定理、余弦定理知识点教师版
正弦定理、余弦定理知识点教师版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。必修五第一...课件:正弦定理和余弦定... 暂无评价 19页 2下载券 经典正弦定理和余弦定理.....
正弦定理、余弦定理的应用1教师版
正弦定理余弦定理的应用1教师版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。1.3 目标: 正弦定理余弦定理的应用(1) 1.能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形...
2016.5.10张心悦第八次正弦定理和余弦定理的应用举例教...
2016.5.10张心悦第八次正弦定理和余弦定理的应用举例教师版_数学_高中教育_...知识梳理+经典例题 三、随堂检测 四、归纳总结 五、课后作业 上节课回顾: 一...
更多相关标签: