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山西省太原五中2013届高三4月月考数学文试题


山西省太原五中 2013 届高三 4 月月考 数 学(文)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的)
x ?1 1.已知集合 M ? {x | y ? 4

? x , x ? Z } , N ? { y | y ? 3 , x ? R} ,则 M ? N 的真子集个数为 ( ) A.5 B.7 C.31 D.3
2

2. = 1”是“复数 a ? 1 ? (a ? 1)i ( a ? R ,i 为虚数单位)是纯虚数”的( “a
2

)

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3.以下有关线性回归分析的说法不正确的是(

A.通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心 ( x, y )

B.用最小二乘法求回归直线方程,是寻求使

? ( y ? bx ? a)
i ?1 i i

n

2

最小的 a,b 的值

C.相关系数 r 越小,表明两个变量相关性越弱

D. R ? 1 ?
2

y ?(y ? ? )

n

2

? ( y ? y)
i ?1 i

i ?1 n

i

i

越接近 1,表明回归的效果越好
2

? 4.已知向量 a 、 b 的夹角为 60 ,且 a ? 2 , b ? 1 ,则向量 a 与向量 a +2 b 的夹角等于(



A. 150°

B. 90°

C. 60°

D. 30°

5.根据如图所示的伪代码,当输入 a,b 分别为 2,3 时, 最后输出的 m 的值是( ) A.2 B.3 C.5 D.1

6. 数列 {an } 的首项为 3, {bn } 为等差数列且

bn ? an ?1 ? an (n ? N * ) , 若 b3 ? ?2, b10 ? 12 ,
·1·

则 a8 ? ( A.0 7.函数

) B.3 与. C.8 D.11 )

在同一平面直角坐标系内的大致图象为(

8.要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ? A.右移

? ?

?? ? 的图象( ??



? ? ? ? 个单位 B.右移 个单位 C.左移 个单位 D.左移 个单位 ? ? ? ? 9.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的各个顶点都在表面积为 16? 的球 O 的球面上,其中
AB : AD : AA1 ? 2 : 1 : 3 ,则四棱锥 O ? ABCD 的体积为( )
A.

2 6 3

B.

6 3

C. 2 3

D. 3
2

10.已知实数 4, m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 x ? A.

y2 ? 1 的离心率为( ) m

30 6

B.

7

C.

30 或 7 6

D.

5 或7 6
1 9

11.偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,当 x ? ?0,1? 时, f ( x) ? 1 ? x ,则关于 x 的方程 f ( x) ? ( ) x 在
x ? ? 0,3? 上解的个数是(

) C.3 D.4

A.1

B.2

? 12. 已知数列 {a n } 满足: a n ? log ( n ?1) (n ? 2) ,定义使 a1 .a 2 .? ? a k ?1 ? a k 为整数的 k (k ? N ) 叫做

希望数,则区间[1,2013] 内所有希望数的和 M=( ) A.2026 B.2036 C.32046 D.2048 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 若某空间几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体 ______. 14. 若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,
4

积 是

则l 的

方程为
·2·

15. 已 知 函 数 f ( x) ? x 3 ? bx 2 ? cx ? d 在 区 间 [?1, 2] 上 是 减 函 数 , 那 么 b ? c 的 最 大 值 为 ________________; 16.下列四个命题: ①直线 y ? kx 与圆 ( x ? cos ? ) ? ( y ? sin ? ) ? 1 恒有公共点;
2 2

② ?A 为△ ABC 的内角,则 sin A ? cos A 最小值为 ? 2 ; ③已知 a,b 是两条异面直线,则过空间任意一点 P 都能作并且只能作一条直线与 a,b 都垂直; ④等差数列{ an }中,a1 ? 0, a1006 ? a1007 ? 0, a1006 ? a1007 ? 0, 则使其前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整 数为 2013; 其中正确命题的序号为 。 (将你认为正确的命题的序号都填上) 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。 ) 17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ? ABC 中 , ?A ?B ?C 所 对 边 分 别 为 a、 b c, 且 满 足 , , 、

cos

??? ??? ? ? A 2 5 ? , ? c ? 6. AB ? AC ? 3. b 2 5

(Ⅰ)求 a 的值;

2 sin(A ? ) sin(B ? C ? ) 4 4 的值. (Ⅱ)求 1 ? cos 2 A

?

?

(本小题满分12分)某电视台举办了“中华好声音”大型歌手选秀活动,过程分为初 赛、复赛和决赛,经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班,由 组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训。下面是根据这40名选手参 加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图:

·3·

赛制规定:参加复赛的40名选手中,获得的支持票数排在前5名的选手可 进入决赛,若第5名出现并列,则一起进入决赛;另外,票数不低于95票的选 手在决赛时拥有“优先挑战权”。
1、从进入决赛的选手中随机抽出 3 名,求其中恰有 1 名拥有“优先挑战权”的概率; 2、电视台决定,复赛票数不低于 85 票的选手将成为电视台的“签约歌手” ,请填写下面的 2×2 列联表,并判断“能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为成为‘签约歌手’与选择的 导师有关? 甲班 签约歌手 末签约歌手 合计 下面临界值表仅供参考: P(K2≥k) k 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 乙班 合计

参考公式:K =

2

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19. (本小题满分 12 分)如图,在底面为直角梯形的四棱锥 D, 0 ∥B ° C C , ? ? B D P AC 中 AB A 9 PD? 平 面 A C , ? BD

P E

B? 3, B 4. C? A D?1, A ⑴求证: B D? P C ;
·4·

A B

D C

?? ? ? ?? ?? (2)设点 E 在棱 P C 上, P ? P ,若 DE ∥平面 PAB ,求 ? 的值. E ?C

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆的两个焦点 F1 ( ? 3 ,0) , F2 ( 3 ,0) ,过 F1 且与坐标轴不平行的直 线 l1 与椭圆交于 M , N 两点,如果 ?MNF2 的周长等于 8。 (1)求椭圆的方程; (2)若过点 (1,0) 的直线 l 与椭圆交于不同两点 P, Q ,试问在 x 轴上是否存在定点 E (m,0) ,使

PE ? QE 恒为定值?若存在,求出点 E 的坐标及定值;若不存在,说明理由。

21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ?

1? a 2 x ? ax ? ln x(a ? R). 2

(Ⅰ) 当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x) 的单调性. (Ⅲ)若对任意 a ? (3, 4) 及任意 x1 , x2 ? [1, 2] ,恒有

(a 2 ? 1) m ? ln 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,求实数 m 的取值范围. 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时请写清题号。

22.(本题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 内接于⊙ O , AB 是⊙ O 的直径,

PA 是过点 A 的直线, 且 ?PAC ? ?ABC .
(1)求证: PA 是⊙ O 的切线; (2)如果弦 CD 交 AB 于点 E , AC ? 8 ,

CE : ED ? 6 : 5 , AE : EB ? 2 : 3 , 求直径 AB 的长.
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程选讲

·5·

? 2 t ?x ? ? 5 ? ? 2 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos? ,直线 l 的参数方程是: ? ? y? 5? 2t ? 2 ? ( t 为参数). (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程,直线 l 的普通方程;
(Ⅱ)将曲线 C 横坐标缩短为原来的 直线 l 距离的最小值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 | ax ? 2 | ? | ax ? a |? 2(a ? 0) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求此不等式的解集; (Ⅱ)若此不等式的解集为 R ,求实数 a 的取值范围.

1 ,再向左平移 1 个单位,得到曲线 C1 ,求曲线 C1 上的点到 2

太 高
一、

原 三 数
6 B





2012—2013 学年度第二学期 4 月月考

学(文)
7 C 8 A 9 0 A 1 1 C 1 2 D 1 A

选择题(每小题 5 分,共 60 分)

题号

1 D

2 C

3 C

4 D

5 B

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 15. 2 ; 14.

4x ? y ? 3 ? 0
; 16.

; (1)(3);

?

15 2
cos

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
17. 解 : I ) ? (

A 2 5 A 3 ? , cos A ? 2cos 2 ? 1 ? ? 2 5 2 5 bc cos A ? 3 ? bc ? 5 ?? ?? 3 分 ?b ? 5 ? b ? 1 又b?c ? 6 ? ? 或? ? c ? 1 ?c ? 5
·6·

?? 1

分又?

??? ???? ? AB ? AC ? 3,



由余弦定理得 a (II)

2

? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 20 ? a ? 2 5

?? 6 分

2 sin(A ? ) sin(B ? C ? ) 2sin( A ? )sin(? ? A ? ) 4 4 = 4 4 = 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 A

?

?

?

?

2sin( A ? )sin( A ? ) 4 4 ?8分 1 ? cos 2 A cos 2 A ?? 10 分 =? 1 ? cos 2 A
7 ? 3 7 7 ? cos A ? ? cos 2 A ? 2cos 2 A ? 1 ? ? ?原式= ? 25 ? 7 32 5 25 1? 25
18. (19)解: (Ⅰ)进入决赛的选手共6名,其中拥有“优先挑战权”的选手共3名. ????2分 为拥有“优先挑战权”的选手编号为 1,2,3,其余 3 人编号为 A,B,C. 被选中 3 人的编号所有可能的情况共 20 种,列举如下: 123,12A,12B,12C,13A,13B,13C,1AB,1AC,1BC, 23A,23B,23C,2AB,2AC,2BC, 3AB,3AC,3BC, ABC,???????????????????????4 分 其中拥有“优先挑战权”的选手恰有 1 名的情况共 9 种,如下: 1AB,1AC,1BC,2AB,2AC,2BC,3AB,3AC,3BC, ∴所求概率为 P ?
9 . ?????????????????????????6 分 20

?

?

? 12 分

(Ⅱ) 2 ? 2 列联表: 甲班 签约歌 手 未签约 歌手 合计 20 20
·7·

乙班 10

合计 13

3

17

10

27

40

???????????????9 分
根据列联表中的数据,得到 k ? 40(3 ? 10 ? 10 ? 17)2 ? 5.584 ? 5.024, 13 ? 27 ? 20 ? 20

因此在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为成为‘签约歌手’与选择的导师有关. ???????????????????12 分 19.(1)证明略 (2) ? ?

1 4

20.1)

x2 ? y2 ?1 4

(2) E (

17 ,0) 8

定值

33 64

21.(本小题满分 12 分)解:(Ⅰ)函数的定义域为 (0, ??) .
当a

? 1 时, f ( x) ? x ? ln x, f ' ( x) ? 1 ? x ? 1时, f ' ( x) ? 0; 当 x ? 1 时,
'

当0?

1 x ?1 ? ,? 2 分 x x f ' ( x) ? 0. ? f ( x)极小值 =f (1) ? 1, 无极大值. ?? 4 分

(1 ? a) x 2 ? ax ? 1 1 ? (Ⅱ) f ( x) ? (1 ? a ) x ? a ? x x 1 (1 ? a)( x ? )( x ? 1) a ?1 ?? 5 分 ? x (1 ? x) 2 1 ? 0, f ( x) 在定义域上是减函数; 当 ? 1 ,即 a ? 2 时, f ' ( x) ? ? x a ?1 1 1 当 或 x ? 1; ? 1 ,即 a ? 2 时,令 f ' ( x) ? 0, 得 0 ? x ? a ?1 a ?1 1 1 1 ' 令 f ( x) ? 0, 得 ? x ? 1. 当 ? 1 ,即 1 ? a ? 2 时,令 f ' ( x) ? 0, 得 0 ? x ? 1 或 x ? ; a ?1 a ?1 a ?1 1 ' 令 f ( x) ? 0, 得 1 ? x ? 综上,当 a ? 2 时, f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数; . a ?1 1 1 当 a ? 2 时, f ( x) 在 (0, ) 和 (1, ??) 单调递减,在 ( ,1) 上单调递增; a ?1 a ?1 1 1 当 1 ? a ? 2 时, f ( x) 在 (0,1) 和 ( , ??) 单调递减,在 (1, ) 上单调递增; ?? 8 分 a ?1 a ?1
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? (3, 4) 时,

f ( x) 在 [1, 2] 上单减, f (1) 是最大值, f (2) 是最小值. a 3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (2) ? ? ? ln 2 10 分 2 2
·8·

(a 2 ? 1) a 3 m ? ln 2 ? ? ? ln 2 ? 2 2 2 a ?3 a ?3 1 1 而 a ? 0 经整理得 m ? 2 ,由 3 ? a ? 4 得 0 ? 2 ? ,所以 m ? . 12 分 a ?1 a ? 1 15 15 ? ? 22. (1)证明: AB 为直径,? ?ACB ? , ??CAB ? ?ABC ? , 2 2
? ?PAC ? ?ABC,??PAC ? ?CAB ?

?

2

, …………………………………4 分

? PA ? AB, AB 为直径,? PA 为圆的切线.
(2) CE ? 6k , ED ? 5k , AE ? 2m, EB ? 3m ,

? AE ? EB ? CE ? ED,? m ? 5k ,

BD 3m ………………6 分 ? ,? BD ? 4 5 . 8 6k BC CE 2 2 连 AD,由 ?CEB ∽ ?AED ,? . 在 Rt?ABC , Rt?ADB 中, BC ? 25m ? 64 , ? AD AE
连 DB,由 ?AEC ∽ ?DEB ,?

25 m 2 ? 64 3k 2 9 AD ? 25m ? 80 ,于是有 =( ) ? , 25 m 2 ? 80 m 5
2 2

?m ? 2 ,? AB ? AE ? EB ? 10 .

…………………………… 10 分

23. 24.

·9·


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