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福建省厦门市2012届高三适应性考试题数学理(2012厦门5月质检)


福建省厦门市 2012 年高中毕业班适应性考试

数学(理)试题
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷内填写 学校、班级、学号、姓名; 2.本试卷分为第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考 试时间 120 分钟. 参考公式: 锥体体积公式: V ?

1 Sh (其中 S 为底面面积,h 为高) 3

第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中只有一 项符合要求. 1.复数 z ?

2 ? 4i (i 为虚数单位)的共轭复数等于 1? i

A.1+3i B.1- 3i C.-1 +3i D.-1 -3i 2. “2<x<3”是“x(x-5)<0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.某赛季甲、乙两名篮球运动员各 6 场比赛得分情况用茎叶图 记录,下列四个结论中,不正确的是 A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B.甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C.甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 4.已知圆 C:(x+l)2+y2=1,过点 P( -3,0)作圆的两条切线,切点为 A,B,则四边形 PACB 的面积等于 A.

3 2

B. 3

C.2

D.2 3

5.等差数列{ an }中, an ? an?1 ? 4n(n ? N *) ,则其公差 d 等于 A.2 B.4 C.±2 D.+4

6.某校 3 名艺术生报考三所院校,其中甲、乙两名学生填报不同院校,则填报结果共有 A.18 种 B.19 种 C.21 种 D.24 种 7.已知一空间几何体的三视图如图所示,则该几何 体中相互垂直的棱共有 A.3 对 B.4 对 C.5 对 D.6 对 8.函数 y ? a x , y ? sin ax (a>0 且 a≠1)在同一个直角坐标系中 的图象可以是

x2 y 2 9.已知 F1,F2 分别是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,以 F1F2 为直径的圆 a b
与双曲线 C 在第二象限的交点为 P,若双曲线的离心率为 5,则 cos ?PF2 F 等于 1 A.

3 5

B.

3 4

C.

4 5

D.

5 6

10.将 y ? ln x 的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转角 ? 后第一次与 y 轴相切,则角 ? 满足的条 件是 A.esin ? = cos ? B.sin ? = ecos ? C.esin ? =l D.ecos ? =1

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11.执行右边的程序,输出的结果是 . 12.已知函数 f ( x) ? 1 ? 3sin 2x ? 2cos2 x , 则函数 y ? f ( x) 的单调递减区间是 13.已知△ABC 外接圆的圆心为 O, 且 OA ? 3OB ? 2OB ? 0, 则∠AOC= 14.如图,射线 y= 3x( x ? 0) 上的点 A1,A2,?, An,其中 A1(1, 3 ) 2(2,2 3 ) ,A , 且 | An An ?1 |? .

??? ?

??? ?

??? ?

?



1 | An ?1 An | (n ? 2,3, 4,...).则An 2

的横坐标是



15.定义在 R 上的函数 f ( x ) ,其图象是连续不断的,如果存在非零常数 ? ( ? ∈R,使得 对任意的 x ? R,都有 f(x+ ? )= ? f(x) ,则称 y=f(x)为“倍增函数” ? 为“倍增系 , 数” ,下列命题为真命题的是____(写出所有真命题对应的序号) . ①若函数 y ? f ( x) 是倍增系数 ? =-2 的倍增函数,则 y ? f ( x) 至少有 1 个零点; ②函数 f ( x) ? 2 x ? 1 是倍增函数,且倍增系数 ? =1; ③函数 f ( x) ? e? x 是倍增函数,且倍增系数 ? ∈(0,1) ; ④若函数 f ( x) ? sin(2? x)(? ? 0) 是倍增函数,则 ? ?

k? (k ? N *) . 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 为适应 2012 年 3 月 23 日公安部交通管理局印发的 《加强机动车驾驶人管理指导意见》 , 某驾校将小型汽车驾照考试科目二的培训测试调整为:从 10 个备选测试项目中随机抽取 4 个,只有选中的 4 个项目均测试合格,科目二的培训才算通过.已知甲对 10 个测试项目测 试合格的概率均为 0.8;乙对其中 8 个测试项目完全有合格把握,而对另 2 个测试项目却 根本不会. (I)求甲恰有 2 个测试项目合格的概率; (Ⅱ)记乙的测试项目合格数力 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E ? .

17. (本小题满分 13 分) 如图,三棱柱 ADF— BCE 中,所有棱长均为 2,∠ABC=60°,∠ABE=90°,平面 ABCD ⊥平面 ABEF,M,N 分别是 AC,BF 上的动点. (I)若 M,N 分别是 AC,BF 的中点,求证:MN∥平面 ADF; (Ⅱ)若 AM=FN =a(0≤a≤2) ,当四面体 AMNB 的体积最大时,求实数 a 的值.

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ), 其中 A≠0, ? ? (0, (I)若函数 f ( x ) 的图象过点 E (?

?
2

) ,试分别解答下列两小题.

,1), F ( , 3) ,求函数 y ? f ( x) 的解析式; 12 6

?

?

(Ⅱ)如图,点 M,N 分别是函数 y ? f ( x) 的图象在 y 轴两侧与 x 轴的两个相邻交点,

函数图象上的一点 P(t,

???? ???? ? 2 ? 3? , 求函数 f(x)的最大值. )满足 PN ? MN ? 16 8

19. (本小题满分 13 分) 如图,在一段笔直的国道同侧有相距 120 米的 A,C 两处,点 A,C 到国道的距离分别 是 119 米、47 米,拟规划建设一个以 AC 为对角线的平行四边形 ABCD 的临时仓库,且四周 围墙总长为 400 米,根据公路法以及省公路管理条例规定:建筑物离公路距离不得少于 20 米.若将临时仓库面积建到最大,该规划是否符合规定?

20. (本小题满分 14 分)

已知函数 f(x)=21nx+ax2 -1 (a ? R) (I)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 a=l,试解答下列两小题. (i)若不等式 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? m 对任意的 0<x<l 恒成立,求实数 m 的取值范围; (ii)若 x1,x2 是两个不相等的正数,且以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 求证: x1 ? x2 ? 2. 21.本小题设有(1) (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选两题作答,满分 14 分, (2) 如果多做,则按所做的前两题计分. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知 e1 ? ? ? 是矩阵 M ? ? (I)求矩阵 M; (Ⅱ)若 a ? ? ? ,求 M 10 a . (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,A(l,0) ,B(2,0)是两个定点,曲线 C 的参数方程为

? 1? ? 1?

?a ?0

1? ? 属于特征值 ?1 ? 2 的一个特征向量. b?

? 2? ?1 ?

? x ? 2 ? cos ? . (? 为参数) ? ? y ? sin ?
(I)将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (Ⅱ)以 A(l,0 为极点,| AB |为长度单位,射线 AB 为极轴建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程. (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 (I)试证明柯西不等式: (a2 ? b2 )( x2 ? y 2 ) ? (ax ? by)2 (a, b, x, y ? R); (Ⅱ)若 x2 ? y 2 ? 2, 且 | x |?| y |, 求

??? ?

1 1 的最小值. ? 2 ( x ? y) ( x ? y)2


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