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2014届高三数学一轮复习专讲专练 :11.2 排列与组合


双基限时练?
巩固双基,提升能力 一、选择题 1.(2012· 辽宁)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家.若每家人坐在一起,则不 同的坐法种数为( A.3×3! C.(3!)4 ) B.3×(3!)3 D.9!

解析:三个家庭分别在 9 个座位中挑选 3 个连排的座位,然后每个家庭中
3 的三个人再分别进行全排列,故坐法种数为 A3·

3· 3· 3=(3!)4. A3 A3 A3

答案:C 2.(2012· 浙江)若从 1,2,3,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和 为偶数,则不同的取法共有( A.60 种 C.65 种 ) B.63 种 D.66 种

解析:要使所取出的 4 个数的和为偶数,则对取出的数字是奇数或偶数的 个数有要求,所以按照取出的数字是奇、偶数的个数分类.1,2,3,?,9 这 9 个 整数中有 5 个奇数,4 个偶数.要想同时取 4 个不同的数其和为偶数,则取法有 3 类: ①4 个都是偶数:1 种;
2 2 ②2 个偶数,2 个奇数:C5C4=60 种; 4 ③4 个都是奇数:C5=5 种.

∴不同的取法共有 66 种. 答案:D 3.(2012· 安徽)6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同 学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知 6 位同学之

间共进行了 13 次交换,则收到 4 份纪念品的同学人数为( A.1 或 3 C.2 或 3 B.1 或 4 D.2 或 4

)

解析: 任意两个同学之间交换纪念品共要交换 C2=15 次, 如果都完全交换, 6 每个人都要交换 5 次, 也就是得到 5 份纪念品, 现在 6 个同学总共交换了 13 次, 少交换了 2 次,这 2 次如果不涉及同一个人,则收到 4 份纪念品的同学有 4 人; 如果涉及同一个人,则收到 4 份纪念品的同学有 2 人,答案为 D. 答案:D 4.(2012· 大纲全国)将字母 a,a,b,b,c,c 排成三行两列,要求每行的字 母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有( A.12 种 C.24 种 B.18 种 D.36 种 )

解析:利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有 C1=3 种;再填写右 3 上角的数为 2 种; 再填写第二行第一列的数有 2 种,一共有 3×2×2=12 种.故 选 A. 答案:A 5.(2012· 山东)现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张. 从中任取 3 张, 要求这 3 张卡片不能是同一种颜色, 且红色卡片至多 1 张, 不同取法的种数为( A.232 C.472 ) B.252 D.484

解析:由题意可知,抽取的三张卡片可以分为两类,一类为不含红色的卡 片,一类是含一张红色的卡片,第一类抽取法的种数为 C3 -3C3=208,第二类 12 4
2 抽取法的种数为 C1· 12=264,故而总的种数为 208+264=472. 4C

答案:C

6.(2012· 课标全国)将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、 乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排 方案共有( A.12 种 C.9 种 ) B.10 种 D.8 种

1 2 解析:因为 2 名教师和 4 名学生按要求分成两组共有2C1C4种分法,再分到 2 1 1 2 2 甲、乙两地有2C2C4A2=12 种,所以选 A. 答案:A 二、填空题 7.(2013· 珠海质检)从 5 名外语系大学生中选派 4 名同学参加广州亚运会翻 译、交通、礼仪三项义工活动,要求翻译有两人参加,交通和礼仪各有 1 人参 加,则不同的选派方法共有__________种. 解析:本题可分三步完成. 第一步:先从 5 人中选出 2 名翻译,共 C2种选法, 5 第二步:从剩余 3 人中选 1 名交通义工,共 C1种选法, 3 第三步:从剩余两人中选 1 名礼仪义工,共 C1种选法, 2
1 所以不同的选派方法共有 C2C1C2=60(种). 5 3

答案:60 8.(2013· 陕西调研)有一个不规则的六面体盒子(六个面大小不同),现要用 红、黄、蓝三种颜色刷盒子的六个面,其中一种颜色刷 3 个面,一种颜色刷两 个面,一种颜色刷 1 个面,则刷这个六面体盒子的刷法有__________种.
1 解析: 可先分组后分配, 即将 6 个面分成 3,2,1 三组共有 C3C2C1种分组方法, 6 3 3 1 然后每一组用三种颜色去刷,各有 A3种,由分步计数原理可知共有 C3C2C1· 3= A3 6 3

360(种)刷法.

答案:360 9.有四位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、 “肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试 一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其 余项目上、下午都各测试一人,则不同的安排方式共有__________种(用数字作 答). 解析:由题意知,每天只能测八人次,上午不测“握力”,只能从其余四
4 项中任由四人选择,共 A4=24 种.

下午只测“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”四项, 此时按步完成,可先让上午测了“台阶”的人先选一项,若选到“握力”,则 另外三人只能从“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”中选一项,而上 午这三项他们又各测过一次,故共有两种选择.若上午测了“台阶”的人,从 “身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”中任选一项,有 C1种选法,比如 3 选到“身高与体重”, 此时上午测了“身高与体重”的人可以从“握力”、 “立
1 定跳远”、“肺活量”中任选一项,有 C3种选法,另外两人也就只有一种选择. 4 1 1 1 故 A4×(1×C2+C3×C3)=24×11=264(种).

答案:26 三、解答题 10.(1)3 人坐在有八个座位的一排上,若每人的左右两边都要有空位,则不 同坐法的种数有多少种? (2)有 5 个人并排站成一排,如果甲必须在乙的右边,则不同的排法有多少 种? (3)现有 10 个保送上大学的名额,分配给 7 所学校,每校至少有一个名额, 问:名额分配的方法共有多少种? 解析:(1)由题意知有 5 个座位都是空的,我们把 3 个人看成是坐在座位上

的人,往 5 个空座的空当插,由于这 5 个空座位之间共有 4 个空,3 个人去插, 共有 A3=24(种). 4
5 (2)∵总的排法数为 A5=120(种),

1 ∴甲在乙的右边的排法数为2A5=60(种). 5 (3)方法一:每个学校至少一个名额,则分去 7 个,剩余 3 个名额分到 7 所 学校的方法种数就是要求的分配方法种数. 分类:若 3 个名额分到一所学校有 7 种方法;
2 若分配到 2 所学校有 C7×2=42(种); 3 若分配到 3 所学校有 C7=35(种).

∴共有 7+42+35=84(种)方法. 方法二:10 个元素之间有 9 个间隔,要求分成 7 份,相当于用 6 块挡板插 在 9 个间隔中,共有 C6=84(种)不同方法. 9 所以名额分配的方法共有 84 种. 11.用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的数: (1)能组成多少个五位数? (2)能组成多少个正整数? (3)能组成多少个六位奇数? (4)能组成多少个能被 25 整除的四位数?
1 解析:(1)因为万位上数字不能是 0,所以万位数字的选法有 A5种,其余四 4 4 位上的排法有 A5种,所以共可组成 A1A5=600(个)五位数. 5

(2)组成的正整数,可以是一位、两位、三位、四位、五位、六位数,相应
1 1 2 3 4 的排法种数依次为 A1,A5A1,A5A5,A1A5,A1A5,A1A5, 5 5 5 5 5 5 1 1 2 1 1 所以可组成 A5+A1A5+A1A5+A1A3+A5A4+A5A5=1 630(个)正整数. 5 5 5 5 5 5

(3)首位与个位的位置是特殊位置,0,1,3,5 是特殊元素,先选个位数字,有
1 A3种不同的选法;再考虑首位,有 A1种不同的选法,其余四个位置的排法有 A4 4 4

种.
1 所以能组成 A3A1A4=288(个)六位奇数. 4 4

(4)能被 25 整除的四位数的特征是最后两位数字是 25 或 50,这两种形式的
1 四位数依次有 A3· 3和 A2个, A1 4

所以,能组成 A1A1+A2=21(个)能被 25 整除的四位数. 3 3 4 12.(2013· 枣庄联考)已知平面 α∥β,在 α 内有 4 个点,在 β 内有 6 个点. (1)过这 10 个点中的 3 点作一平面,最多可做多少个不同平面? (2)以这些点为顶点,最多可作多少个三棱锥? (3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积?
2 解析:(1)所作出的平面有三类:①α 内 1 点,β 内 2 点确定的平面,有 C1· 6 4C 1 个;②α 内 2 点,β 内 1 点确定的平面,有 C2· 6个;③α,β 本身. 4C 1 1 ∴所作的平面最多有 C4· 2+C2· 6+2=98(个). C6 4C 1 (2)所作的三棱锥有三类:①α 内 1 点,β 内 3 点确定的三棱锥,有 C4· 3个; C6 2 ②α 内 2 点,β 内 2 点确定的三棱锥,有 C4· 2个;α 内 3 点,β 内 1 点确定的三 C6 1 棱锥,有 C2· 6个. 4C 3 2 1 ∴最多可作出的三棱锥有 C1· 6+C4· 2+C3· 6=194(个). C6 4C 4C

(3)∵当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等,且平面 α∥β,∴体积
2 不相同的三棱锥最多有 C3+C3+C2· 4=114(个). 6 4 6C


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