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2.3.2-2变量间的相关关系(2)


一、复习: 1、散点图
A、定义;B、正相关、负相关。 2、回归直线方程 (1)回归直线:观察散点图的特征,如果各点 大致分布在一条直线的附近,就称两个变量之间 具有线性相关的关系,这条直线叫做回归直线。

(2)最小二乘法

一、相关关系的判断
例1:5个学生的数学和物理成绩如下表:

A
数学 物理 80 70

B
75 66

C
70 68

D
65 64

E
60 62

画出散点图,并判断它们是否有相关关系。
解:
80 75 70 65 60 55 50 40 50 60 70 80 90 物理成绩

数学成绩

由散点图可见,两者之间具有正相关关系。

小结:用Excel作散点图的步骤如下 : (结合软件边讲边练)
(1)进入Excel,在A1,B1分别输入“数学成 绩”、“物理成绩”,在A、B列输入相应的数据。 (2)点击图表向导图标,进入对话框,选择“标准 类型”中的“XY散点图”,单击“完成”。 (3)选中“数值X轴”,单击右键选中“坐标轴格 式”中的“刻度”,把“最小值”、“最大值”、 “刻度主要单位”作相应调整,最后按“确定”。y 轴方法相同。

二、求线性回归方程
例2:观察两相关变量得如下表:

x
y

-1
-9

-2
-7

-3
-5

-4
-3

-5
-1

5
1

3
5

4
3

2
7

1
9

求两变量间的回归方程
解1: 列表:

x y xy
i

i

1 -1 -9
i

2 -2 -7 14

3 -3 -5 15

4 -4 -3 12
10

5 -5 -1 5

6 5 1 5
2 i

7 3 5 15
10

8 4 3 12

9 2 7 14

10 1 9 9

i

i

9

计算得:
10

x ? 0, y ? 0
i i

?x
i ?1

? 110 , ? xi
i ?1

y

i

? 110

b?

?x y
i ?1 10

? 10x y
2

?x
i ?1

?

2 i

? 10 x

110 ? 10 ? 0 ?1 110 ? 10 ? 0

a ? y ? bx ? 0 ? b ? 0 ? 0

∴所求回归直线方程为 ^ y=x

小结:求线性回归直线方程的步骤: 第一步:列表 x , y , x y ;
i i i i

第二步:计算

x, y, ? xi , ? xi y
2 i ?1 i ?1

n

n

i



第三步:代入公式计算b,a的值;

第四步:写出直线方程。

解2:用Excel求线性回归方程,步骤如下:
. (1)进入Excel作出散点图。
(2)点击“图表”中的“添加趋势线”,单击“类 型”中的“线性”,单击“确定”,得到回归方程。 (3)双击回归直线,弹出“趋势线格式”,单击 “选项”,选定“显示公式”,最后单击“确定”。

三、利用线性回归方程对总体进行估计
例:有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气 温对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出的 热饮杯数与当天气温的对比表:
摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36

热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54

(1)画出散点图;

(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一
般规律; (3)求回归方程; (4)如果某天的气温是 2 C,预测这天卖出的热饮杯数。
0

解: (1)散点图
160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 -10 0

热饮杯数

温度
10 20 30 40

(2)气温与热饮杯数成负相关,即气温越高, 卖出去的热饮杯数越少。

(3)从散点图可以看出,这些点大致分布 在一条直线附近。
160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 -10 0 10

^ Y=-2.352x+147.767

20

30

40

^ (4)当x=2时,y=143.063, 因此,这天大 约可以卖出143杯热饮。

练习:P86第三题 小结:
(1)判断变量之间有无相关关系,简便方 法就是画散点图。 (2)当数字少时,可用人工或计算器,求 回归方程;当数字多时,用Excel求回归方 程。 (3)利用回归方程,可以进行预测。


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