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2013届高三数学第一轮复习 第13章推理与证明


第十三章 推理与证明 本章知识要点
【考纲要求】 1. 了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现 中的作用。 2. 了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理。 3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异。 4. 了解直接证明和间接证明的两种基本方法—分析法和综合法;了解分析法和综合法的思 考过程、特

点。 5. 了解间接证明的一种基本方法—反证法;了解反证法的思考过程、特点。 【知识回顾】 1.设 f 0 ( x ) ? sin x , f 1 ( x ) ? f 0? ( x ), f 2 ( x ) ? f 1?( x ), ? , f n ?1 ( x ) ? f n? ( x ), n ? N ,则 f 2 0 0 8 ( x ) =___ sin x ______ 2.已知数列 1,
1 2 1 2 3 1 2 3 4 8 , , , , , , , , , ? ,则 是该数列的第 2 1 3 2 1 4 3 2 1 9

128 项

3. 在 平 面 几 何 里 , 由 勾 股 定 理 : 设 ? ABC 的 两 边 A B, A C 相 垂 直 , 则 “ 互 , 类比平面几何勾股定理, 可以得到的正确的结论是: “设 AB ? AC ? BC ” 拓展到空间,
2 2 2

三 棱 锥 A ? B C 的 三 个 侧 面 ABC , ACD , ADB 两 两 互 相 垂 直 , 则 D
S ?BCD ? S ?ABC ? S ?ACD ? S ?ABD .
2 2 2 2

4.观察下列两等式的规律,请写出一个(包含下面两命题)一般性的命题: ① sin 30 ? sin 90 ? sin 150
2 0 2 0 2 0

?

3 2



② sin 5 ? sin 65 ? sin 125
2 0 2 0 2

0

?

3 2

sin

2

x ? sin ( x ? 60 ) ? sin ( x ? 120 ) ?
2 0 2 0

3 2

【方法回顾】 例 1.已知, a , b , c ? (0,1) ,求证: (1 ? a ) b , (1 ? b ) c , (1 ? c ) a 不能同时大于 证法一:假设三式同时大于
1 4 1 4 1 4 1 64



,即 ? 1 ? a ? b ?

1 4

, ?1 ? b ? c ?

1 4

, ?1 ? c ? a ?

? a , b , c ? ? 0,1 ? , ? 三 式 同 向 相 乘 得
2

?1 ? a ? b ?1 ? b ? c ?1 ? c ? a ?

, 又

1 1 1 ?1? a ? a ? ?1 ? a ? a ? ? ? ? 同理 ? 1 ? b ? b ? , ? 1 ? c ? c ? 2 4 4 4 ? ? ? ?1 ? a ? b ?1 ? b ? c ?1 ? c ? a ? 1 64
~ 234 ~

,这与假设矛盾,故原命题得证。

证法二: 假设三式同时大于

1 4

, 0 ? a ? 1? 1 ? a ? 0 , ?

?1 ? a ? ? b
2

?

?1 ? a ? b

?

1 4

?

1 2

,

同理

?1 ? b ? ? c
2

?

1 2

,

?1 ? c ? ? a
2

?

1 2

, 三式相加得

3 2

?

3 2

,这是矛盾的,故假设错误,所以

原命题正确 点评: “不能同时大于
1 4

”包含多种情形,不易直接证明,可用反证法证明。即正难则反

(1)当遇到否定性、唯一性、无限性、至多、至少、等类型问题时,常用反证法。
?与 公 理 矛 盾 ? (2)用反证法的步骤是:①否定结论 ? A ? B ? C ②而 C 不合理 ? 与 题 设 矛 盾 ? ?与 假 设 自 相 矛 盾

③因此结论不能否定,结论成立 高考资 例 2. 我 们知道 :圆 的任 意一条 弦的 中点和 圆心 的连线 与该 弦垂直 。那 么,若 椭圆
b x ?a y
2 2 2 2

? a b 的一弦中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在,你能得到什么结
2 2

论?请予以证明。 椭圆的弦中点与原点的连线及弦所在直线的斜率都存在, 那么它们的斜率的积为 ?
b a
2 2

或?

a b

2 2

84.合情推理与演绎推理
【基础训练】 1.数列 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5 ?的第 1000 项是
2 2 2

.

2.从 1 ? 1 , 2 ? 3 ? 4 ? 3 ,3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 5 中,得出的一般性结论是 3.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a” ; ②“ (m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c” ; ③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“ (a·b) ·c=a· (b·c); ” ④“t≠0,mt=xt ? m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p ? a=x”; ⑤ “|m· n|=|m|· |n|” 类比得到 “|a· b|=|a|· |b|” ⑥ ; “
ac bc

=

a b

” 类比得到 ? “

? ? ? a?c a . ?= ? ” b ?c b

以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是 . 4.已知整数的数对如下: (1,1),(1,2), (2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),?,则 第 60 个数对是 .

~ 235 ~

【例题分析】 例 1.观察下列算式,猜测由此表提供的一般法则,用适当的数学式子表示它. 1=1 3+5=8 7+9+11=27 13+15+17+19=64 21+23+25+27+29=125 ?? 则这个式子为 例 2.观察
(1) tan 10 tan 20 ? tan 20 tan 60
0 0 0 0

? tan 60 tan 10
0 0 0

0

?1

(2) tan 5 tan 10 ? tan 10 tan 75
0 0 0

0

? tan 75 tan 5

?1

由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论并证明.

例 3.已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上任意 一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM,kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 的位 置无关的定值.试对双曲线
x a
2 2 2 2

?

y b

=1,写出具有类似特性的性质,并加以证明.

例 4. “已 知 ? A (1) B C

的 周 长 为 , 面S 为 , 内 切 圆 半 径 为 r , 则 有 ? l 积 r

2S l

” ,将此结

论推广到空间,如果正确请证明你的结论. (2) “设 ? SAB 的两边 SA 、 SB 互相垂直,则 正确请证明你的结论.
SA
2

? SB

2

? AB ” 。将此结论推广到空间,如果
2

【拓展提升】 例 5.等差数列的首项为 a 1 ,公差为 d ,用记号 S n ? m 表示这个数列的第 n 项到第 m 项共
m ? n ? 1 项的和.

(1)证明: S 3? 6 , S 5? 8 , S 7 ? 10 也成等差数列; (2)由(1)的启发,写出你发现的一般规律并予以证明

~ 236 ~

85.直接证明与间接证明
【基础训练】 1.对“ a 、 b 、 c 是不全相等的正数” ,给出下列判断: ① ③
( a ? b ) ? ( b ? c ) ? ( c ? a ) ? 0 ;②
2 2 2

a ? b 与 a ? b 及 a ? b 中至少有一个成立;

a ? b , b ? c , a ? c 不能同时成立,其中判断正确的个数是
1 2

.

2.设函数 f ( x )( x ? R ) 为奇函数, f (1) ?

, f ( x ? 2 ) ? f ( x ) ? f ( 2 ), 则 f ( 5 ) ?

.

3. f ( x ) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f ( 2 ) ? 0 在区间 ? 0, 6 ? 内解的个数的最小 值是 .
S1 ? S 2 ? ? ? S n n

4.设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,令 T n ?

,称 T n 为数列 a1 ,a 2 ,??,a n

的 “理想数” 已知数列 a1 ,a 2 , , ??,a 500 的 “理想数” 2004 , 为 那么数列 2 ,a1 ,a 2 , ??,
a 500 的“理想数”为

.

【例题分析】 例 1.设集合 M ? ?x x ? 1? ,在集合 M 中定义一种运算 ? ,使得 a ? b ?
a?b 1 ? ab

(1)证明:若 a ? M , b ? M , 则 a ? b ? M ; (2)证明: ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ) .

~ 237 ~

例 2.记 min ?x 1 , x 2 ,? ? ? x n ?为 x 1 , x 2 ,? ? ? x n 中最小的一个,求证: (1)设 x ? R , min ?x 2 , x ? 1? ? x ? 1 ; (2)设 a , b ? R , min ? a ,
?
?

?

? 1 ? ? . 4a ? b ? 2 b
2 2

例 3.用数学归纳法证明 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

n ( n ? 1)( 2 n ? 1) 6

, (n ? N ? )

【拓展提升】
3 2 例 4.函数 f ( x ) ? ax ? 2 bx ? cx ? 4 d ( a , b , c , d ? R ) 的图象关于原点对称,且 x ? 1 时,

f ( x ) 取极小值为 ?

2 3

.

(1)求 a , b , c , d 的值; (2)证明:当 x ? [ ? 1,1] 时,图象上不存在两点使得过此两点处的切线互相垂直; (3)若 x1 , x 2 ? [ ? 1,1] 时,求证: | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |?
4 3

.

~ 238 ~


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