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【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修4-5单元测评一 不等式和绝对值不等式


高中·新课标 A 版·数学·选修 4-5

单元测评(一)

不等式和绝对值不等式

(时间:90 分钟 满分:120 分) 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,共 50 分. 1 1 1.若a<b<0,则下列结论不正确的是( A.a2<b2 b a C.a+b>2 B.ab<b2 D.|a

|-|b|=|a-b| )

解析:方法一(特殊值法):令 a=-1,b=-2,代入 A、B、C、D, 知 D 不正确. 1 1 方法二:由a<b<0,得 b<a<0, 所以 b2>ab,ab>a2,故 A、B 正确. b a b a b a 又由a>1,b>0,且a≠b,即a+b>2 正确,C 正确.对于 D,由 b<a <0?|a|<|b|,即|a|-|b|<0,而|a-b|≥0,故 D 错. 答案:D 2.“|x|≤2”是“|x+1|<1”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:|x+1|<1?-1<x+1<1?-2<x<0?|x|<2?|x|≤2.反之不成 立,故选 B. 答案:B
1

)

高中·新课标 A 版·数学·选修 4-5 3.设 a,b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中正确的是( A.b-a>0 C.b+a>0 B.a2+b2<0 D.a2-b2<0 )

解析:由 a-|b|>0 知 a>|b|≥-b,于是 a+b>0,故选 C. 答案:C 4.若 c>1,且 a= c+1- c,b= c- c-1,则( A.a>b C.a<b 解析:a= c+1- c= b= c- c-1= 1 c+ c-1 B.a=b D.不能确定 1 , c+1+ c . )

∵ c+1+ c> c+ c-1>0,∴a<b. 答案:C
? 1 ? 5.函数 y=log2?x+x-1+5?(x>1)的最小值为( ? ?

)

A.-3 C.4
?

B.3 D.-4
?

? 1 ? 解析:x>1?x-1>0,y=log2?x+x-1+5?= ? 1 ? log2?x-1+x-1+6?≥log2(2+6)=log28=3. ? ?

答案:B a3+a9 6.已知等比数列{an}的各项均为正数,公比 q≠1,若 P= 2 ,Q = a5a7,则 P 与 Q 的大小关系是( A.P>Q
2

) B.P<Q

高中·新课标 A 版·数学·选修 4-5 C.P=Q D.无法确定 a3+a9 2 ,且 a3>0,

解析:由等比知识,得 Q= a5a7= a3· a9,而 P= a9>0,a3≠a9. a3+a9 从而 2 > a3· a9,即 P>Q. 答案:A 3 7.函数 y=x2+x (x>0)的最小值是( 33 A.2 18 3 C. 18
2

)

3 B.2 2 3 D.3 18

3 3 9 33 3 2 3 3 9 3 2 2 解析: y=x +x=x +2x+2x≥3 x ×4x2=3 = 18 , 当 x = 4 2 2x, 13 即 x=2 12时,取等号. 答案:A 8.若不等式|ax+2|<6 的解集为(-1,2),则实数 a 等于( A.8 B.2 C.-4 D.-8 解析:由|ax+2|<6?-8<ax<4. 8 4 当 a>0 时,-a<x<a. 8 ? - ? a=-1, ∵解集是(-1,2),∴? 4 ? ?a=2,
3

)

? ?a=8, 解得? 两值矛盾. ?a=2, ?

高中·新课标 A 版·数学·选修 4-5 4 ? =-1, 4 8 ?a 当 a<0 时,a<x<-a.由? 8 ? - ? a=2 答案:C 1+cos2x+8sin2x π 9.当 0<x<2时,函数 f(x)= 的最小值为( sin2x A.2 C.4 B.2 3 D.4 3 )

?a=-4.

2cos2x+8sin2x 1+4tan2x 解析:f(x)= 2sinxcosx = tanx 1 =4tanx+tanx≥4, 1 这里 tanx>0,且当 tanx=2时取等号,故选 C. 答案:C 10.下列四个命题: ①若 a>b,c>1,则 algc>blgc;②若 a>b,c>0,则 algc>blgc;③ c c 若 a>b,则 a· 2c>b· 2c;④若 a<b<0,c>0,则a>b. 其中正确命题的个数为( A.1 个 C.3 个 ) B.2 个 D.4 个

解析:①正确,c>1,lgc>0;②不正确;当 0<c<1 时,lgc<0;③ 1 1 正确,2c>0;④正确,a<b<0?0>a>b. 答案:C 第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分)
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高中·新课标 A 版·数学·选修 4-5 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 2 11.不等式|x|> 的解集为__________. x-1 解析:方法一:当 x<1 时, 2 <0,不等式成立. x-1

2 当 x>1 时,原不等式化为 x> , x-1 x2-x-2 ?x-2??x+1? 2 即 x- >0, >0, >0, x-1 x-1 x-1 解得-1<x<1,或 x>2. 故原不等式的解集为{x|x<1,或 x>2}.

?x> 2 , 2 方法二:|x|> ?? x-1 x-1 ?x≥0
答案:{x|x<1,或 x>2}

?x< 2 , 或? 1-x ?x<0,

解得 x<1,或 x>2.

12. 若不等式|x-3|+|x+1|>a 恒成立, 则 a 的取值范围为__________. 解析:|x-3|+|x+1|=|3-x|+|x+1|≥|3-x+x+1|=4,当且仅当(3- x)(x+1)≥0,即-1≤x≤3 时取“=”, ∴a<4. 答案:(-∞,4) 1 13.已知不等式|x-3|<2(x+a)的解集为 A,且 A≠?,则 a 的取值范围 是__________. 6-a 1 1 1 解析:∵A≠?,∴|x-3|<2(x+a)?-2(x+a)<x-3<2(x+a)? 3 < 6-a x<6+a.从而 3 <6+a,解得 a>-3. 答案:(-3,+∞)
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高中·新课标 A 版·数学·选修 4-5 14.已知 α、β 是实数,给出下列四个论断: ①|α+β|=|α|+|β|;②|α-β|≤|α+β|;③|α|>2 2,|β|>2 2;④|α+β| >5. 以其中的两个论断为条件,其余两个论断作为结论,写出你认为正确 的一个命题__________. 解析:∵①③成立时,|α+β|=|α|+|β|>4 2>5, ∴④成立. 又由①,知 αβ>0,于是|α-β|≤|α+β|成立,即②成立. 同理②③?①④. 答案:①③?②④或②③?①④(写一个即可) 三、解答题:本大题共 4 小题,满分 50 分. 15.(12 分)解不等式|x2-3x-4|>x+2. 解:方法一(分类讨论求解): ①当 x+2<0 时,不等式显然成立. 从而 x<-2 是不等式的解. ②当 x+2=0,即 x=-2 时,|(-2)2-3(-2)-4|=6>0, 得 x=-2 是不等式的解. ③当 x+2>0 即 x>-2 时, |x2-3x-4|>x+2?x2-3x-4>x+2 或 x2-3x-4<-(x+2)?x2-4x -6>0 或 x2-2x-2<0?x<2- 10或 x>2+ 10或 1- 3<x<1+ 3. 故-2<x<2- 10,或 x>2+ 10或 1- 3<x<1+ 3.(10 分) 综合①②③知,原不等式的解集为(-∞,2- 10)∪(1- 3,1+ 3) ∪(2+ 10,+∞).(12 分) 方法二(化归为|ax+b|≥c(c>0)型不等式求解):

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高中·新课标 A 版·数学·选修 4-5 原不等式等价于 x2-3x-4>x+2 或 x2-3x-4<-(x+2)?x2-4x-6 >0 或 x2-2x-2<0?x∈(-∞,2- 10)∪(2+ 10,+∞)∪(1- 3,1+ 3).(12 分) 16.(12 分)已知 a>0,b>0,a+b=3. 求证: 1 a+2+ 1 b+2≤3.

证明:∵a>0,b>0,a+b=3, 1 a+2= 1 b+2= 从而 (12 分) 17.(12 分)设关于 x 的不等式 lg(|x+3|+|x-7|)>a. (1)当 a=1 时,解这个不等式; (2)当 a 为何值时,这个不等式的解集为 R. 解:(1)当 a=1 时,原不等式变为|x+3|+|x-7|>10,其解集为{x|x< -3 或 x>7}.(4 分) (2)∵|x+3|+|x-7|≥|x+3-(x-7)|=10 对任意 x∈R 都成立,∴lg(|x+ 3|+|x-7|)≥lg10=1 对任何 x∈R 都成立,即 lg(|x+3|+|x-7|)>a,当且仅 当 a<1 时,对任何 x∈R 都成立.(12 分) 18.(14 分)围建一个面积为 360 m2 的矩形场地、要求矩形场地的一面 利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上 要留一个宽度为 2 m 的进出口:已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造
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1 1+a+2 1? ? 3 a ?a+ ?≤ 1· = 2 2 4+2,
? ?

1 1+b+2 1? ? 3 b ?b+ ?≤ 1· = 2 2 4+2,
? ?

1 a+2+

1 3 3 1 b+2≤4+4+2(a+b)=3.

高中·新课标 A 版·数学·选修 4-5 价为 180 元/m.设利用的旧墙长度为 x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总 费用为 y(单位:元). (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 解:(1)如图,设矩形的另一边长为 a m,

则 y=45x+180(x-2)+180· 2a =225x+360a-360. 360 由已知 xa=360,得 a= x , 3602 ∴y=225x+ x -360(x>0).(7 分) (2)∵x>0, 3602 3602 2 ∴225x+ x ≥2 225×360 =10 800.当且仅当 225x= x , 即 x=24 m 时, 修建此矩形场地围墙的总费用最小, 最小总费用为 10 800-360=10 440 元.(14 分)

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