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直线的倾斜角与斜率导学案


3.1.1 直线的倾斜角与斜率
【学习目标】 1.理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率;熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件。 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式; 3.能用公式和概念解决问题. 【重点】直线的倾斜角和斜率的应用,两条直线平行和垂直的条件。 【难点】斜率概念理解与斜率公式的灵活运用,启发学生, 把研究两条直线的平行或垂 直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题. 一、自主学习 新知 1:当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的 角 ? 叫做 . 关键:① ;② ;③ x 注意:当直线与 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 试试:请描出下列各直线的倾斜角.

. .

反思:直线倾斜角的范围?

2 的 新知 2: 一条直线的倾斜角 试试:已知各直线倾斜角,则其斜率的值为
o ⑴当 ? ? 0 时, 则k
o ⑶当 ? ? 90 时, 则k

? ? (? ? )

叫做这条直线的斜率.记为 k=

.

o o ; ⑵当 0 ? ? ? 90 时, 则k 0 o ; ⑷当 90 ? ? ? 180 时, 则k

; . .

1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 的直线的斜率公式:k= 新知 3:已知直线上两点 P

1

练习: 1.已知直线的倾斜角 ? (? ? 90? ) ,则直线的斜率为 点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 且 x1 ? x2 ,则直线的斜率为 2. 若直线 l 过(-2,3)和(6,-5)两点,则直线 l 的斜率为 ;已知直线上两 .

,倾斜角为 . 3 . 斜 率 为 2 的 直 线 经 过 (3 , 5) 、 (a,7) 、 ( - 1,b) 三 点 , 则 a 、 b 的 值 分 别 为 . 4 . 已 知 l1 , l2 的 斜 率 都 不 存 在 且 l1 , l2 不 重 合 , 则 两 直 线 的 位 置 关 系 . , ? ( m ,? m 2 , 1且 ) 直 线 的 倾 斜 角 为 60? , 则 5 . 已 知 一 直 线 经 过 两 点 A( m, 2 ) B . m? 问题 1:特殊情况下的两直线平行与垂直. 当两条直线中有一条直线没有斜率时: (1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角为 是 . (2) 当另一条直线的斜率为 0 时,一条直线的倾斜角为 为 ,两直线的位置关系是

,两直线位置关系 ,另一条直线的倾斜角 .
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问题 2:斜率存在时两直线的平行与垂直.设直线 l1 和 l 2 的斜率为 k 1 和 k 2 . 两条直线平行的情形.如果 l1 // l 2 ,那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系,反 过来成立吗? y
l1 l2 ?1
O

?2
x

新知 1:两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率 果它们的斜率相等,则它们 ,即 l1 // l2 ?

;反之,如
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注意,上面的等价是在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不存立. 两条直线垂直的情形.如果 l1 ? l2 ,那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系,反过来成立 y y y 吗?
l1 ?2
O

l2 ?1
x

l2 l1 ?1
O

l1 ?1
x
O

l2 ?2
x

?2







新知 2:两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,则它们的斜率 们的斜率 ,则它们互相垂直. 即 l1 ? l2 ?
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;反之,如果它

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二、典型例题 例 1 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的 倾斜角是钝角还是锐角.

动手试试 练. 求经过下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角. ⑴ A(2,3), B(?1, 4) ; ⑵ A(5,0), B(4, ?2) .

例 2、已知 A(2,3), B(?4,0), P(?3,1), Q(?1, 2) ,试判断直线 BA 与 PQ 的位置关系, 并证明你 的结论.

例 3.已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断 四边形 ABCD 的形状,并给出证明.

例 4.已知 A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线 AB 与 PQ 的位置关系.

例 5.已知 A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形 ABC 的形状.

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三、总结提升 (一)学习小结 1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角,直线斜角的范围是 2.直线斜率的求法:⑴ ;⑵
? ⑶ 当直线的倾斜角 ? ? 90 时,直线的斜率
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. ;
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3.直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系: 直线的倾斜角 ? 定 义 直线的斜率 k 直线的斜率公式

取值范围 4. l1 // l2 ? k1 ? k2 或 l1 , l2 的斜率都不存在且不重合. 5. l1 ? l2 ? k1 ?k2 ? ?1 或 k1 ? 0 且 l2 的斜率不存在,或 k2 ? 0 且 l1 的斜率不存在. (二) 课堂检测 1. 下列叙述中不正确的是( ). A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应 B.每一条直线都惟一对应一个倾斜角 C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为 0 或 90
o

?

D.若直线的倾斜角为 ? ,则直线的斜率为 tan? 2. 经过 A(?2,0), B( ?5,3) 两点的直线的倾斜角( A. 45
?

).
?

B. 135

?

C. 90

?

D. 60

3. 过点 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为( A.1 B.4 C.1 或 3 D.1 或 4 4. 下列说法正确的是( ). A.若 l1 ? l2 ,则 k1 ?k2 ? ?1 B.若直线 l1 // l2 ,则两直线的斜率相等

).

C.若直线 l1 、 l2 的斜率均不存在,则 l1 ? l2 D.若两直线的斜率不相等,则两直线不平行 5. 经过 ( m,3) 与 (2, m) 的直线 l 与斜率为 ?4 的直线互助垂直,则 m 值为( 7 7 14 14 A. ? B. C. ? D. 5 5 5 5

).

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