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河南大学附属中学10-11学年高二数学上学期期中考试 文 新人教A版(本部)【会员独享】


河大附中 2010-2011 学年上学期期中考试高二年级数学试题(文科)

一、选择题 (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.在等比数列 {a n } 中, a 2012 ? 8a 2009 ,则公比 q 的值为 A.2 B.3 C.4
2 2

D.8

r />
2. 对于实数 a, b, c , a ? b ”是“ ac ? bc ”的 “ A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.在等差数列 {a n } 中, a3 ? a 4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a7 = A.3 B.4 C.8 D.12

4.在 ?ABC 中, a ? 15, b ? 10, A ? 60? ,则 cos B = A. ?

2 2 3

B.

2 2 3

C. ?

6 3

D.

6 3

?x ? 3y ? 3 ? 0 ? 5.已知实数 x, y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ,则 x ? y 的最大值是 ? x ? y ?1 ? 0 ?
A.9 B.

15 7

C.1

D.

7 15

6.下列四个命题中, ① ?x ? R , 2
?

x ?1

?0
2

② ?x ? N , ( x ? 1) ? 0 ③ ?x0 ? Z , y 0 ? Z ,使 3x0 ? 2 y 0 ? 10 真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

7.某班设计了一个八边形的班徽(如图) ,它由腰长为 1,顶角为 ? 的四 个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成,则该八边形的面积为

用心

爱心

专心

-1-

A. 2 sin? ? 2 cos? ? 2 C. 3 sin ? ? 3 cos? ? 1

B. sin ? ? 3 cos? ? 3 D. 2 sin ? ? cos? ? 1

8.一个直角三角形的三条边长为 a, b, c ,若 t ? 0 , 则边长是 a ? t , b ? t , c ? t 的三角形的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定

9. 已知等比数列 {a n } 的前 n 和为 S n , 如果 a 2 ? a3 ? 2a1 , a 4 与 2a7 的等差中项为 且 A.29 B.31 C.33 D.35

5 , S5 = 则 4

10.已知 x ? 0, y ? 0, x ? 2 y ? 2 xy ? 8 ,则 x ? 2 y 的最小值是 A.3 B.4 C.

9 2

D.

11 2

11.设 a ? 0, b ? 0 ,则以下不等式不恒成立的是

1 1 ? )?4 a b C. a ? 3 ? a ? 1 ? a ? 2 ? a
A. (a ? b)( 12.在数列 {a n } 中, a1 ? 2 , a n ?1 ? 1 ? B. ? 1

1 ?2 a ?b D. a ? b ? a ? b
B. a ? b ?

1 ,则 a 2010 = an

A.1

C.

1 2

D.2

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 设数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? n ,则 a10 = ____________.
2

14. 已知关于 x 的不等式 ax ? 1 ? 0 的解集是 (1,??) , 则关于 x 的不等式 ( x ? 2)(ax ? 1) ? 0 的 解集是 .

15.在 ?ABC 中, D 为 BC 边上一点, BC ? 3BD , AD ?

2 , ?ADB ? 135 ? ,

AC ? 2 AB ,
则 BD = .

16.已知 x ? 0 ,则使不等式

x 2 ? 3x ? 1 ? a 恒成立的 a 取值范围是 x



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分) 在等差数列 {a n } 中,已知 a3 a7 ? ?16, a 4 ? a6 ? 0 ,求 {a n } 的前 n 项和 S n .

用心

爱心

专心

-2-

18. (本小题满分 12 分) 已知 a, b,? R ,求证: 2a ? 5b ? 1 ? 4ab ? 2b
2 2

19. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, ?B ? 45?, AC ? 10 , cosC ? (1)求 sin A 的值和边 AB 的长; (2)设 AB 的中点为 D ,求中线 CD 的长.

2 5 5

用心

爱心

专心

-3-

20. (本小题满分 12 分) 设命题 p :函数 y ? c 在 R 上单调递减
x

1 ? 2c 对于 x ? ?1 恒成立 x ?1 如果 p ? q 是真命题, p ? q 是假命题,求 c 的范围.
命题 q :关于 x 不等式 x ?

21. (本小题满分 12 分) 在数列 {a n } 中,已知 a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? 2 (1)设 bn ?
n

an , ,证明数列 {bn } 是等差数列; 2 n?1

(2)求数列 {a n } 的前 n 项和为 S n .

用心

爱心

专心

-4-

22. (本小题满分 12 分) 设二次函数 f ( x) ? x ? ax ? a ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两根 x1 , x 2 满足 0 ? x1 ? x2 ? 1
2

(1)求实数 a 的取值范围; (2)试比较 f (0) ? f (1) ? f (0) 与

1 的大小,并说明理由. 16

用心

爱心

专心

-5-

参考答案
一、选择题 1-5 ABCDA 二、填空题 13、19 6-10 CAABB 11-15 BB

14、 (??, ?1) ? (2, ??) 或写成 x x ? ?1或x ? 2

?

?

15、 BD ? 2 ? 5 16、 (??,5] 三、解答题 17、 解答:考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式 因为 a4 ? a6 ? 2a5 ? 0 ,所以 a5 ? 0

故 {a n } 的前 n 项和 Sn ? n ? 9n 或 S n ? ? n ? 9n
2 2

18、 解答:考查比较两数大小最常用的方法 因为 a ? 0 , a ? 1 所以 (a ? ) ? ( a ?
2

比较法

1 a

1 a ?1 2 )= (a ? a ) ? 2 2 a a

(a ? 1)(a3 ? 1) (a ? 1) 2 (a 2 ? a ? 1) ?? ?? ?0 a2 a2
即a? 注:对于 ?

1 1 ? a2 ? 2 a a

(a ? 1)(a3 ? 1) (a ? 1)(a3 ? 1) ?0 亦可讨论 0 ? a ? 1或 a ? 1 证明 ? a2 a2

19、解答:考查三角公式、正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用 (1) 因为 cos C ?

2 5 5

, 所以 C 为锐角

sin C ? 1 ? cos 2 C ?

5 5

又 A ? B ? C ? 180? , 所以, sin A ? sin(135? ? C ) ? sin135? cos C ? cos135? sin C ?

3 10 10

用心

爱心

专心

-6-

因为

AC ? sin C AB AC , 所以 AB ? ? ? sin B sin C sin B

10 ? 2 2

5 5 ?2

AB 2 ) ? x 2 ? BC 2 1 ? x 2 ? 18 x 2 ? 17 cos ?BDC ? 2 ? ? AB 2x 2x 2? ?x 2 (
因为 ?ADC ? ?BDC ? 180? ,所以 cos ?ADC ? cos ?BDC ? 0 即

x 2 ? 9 x 2 ? 17 ? ? 0 , x ? 13 2x 2x
故中线 CD 的长是 13

20、解答:考查逻辑联结词的概念、函数和不等式的应用

p :函数 y ? c x 在 R 上单调递减,即 p : 0 ? c ? 1
因 为

x ? ?1







x ?1 ? 0



x?

1 1 1 ? ( x ? 1) ? ? 1 ? 2 ( x ? 1) ? ?1 ? 1 x ?1 x ?1 x ?1
当 x ?1 ? 故q:c ?

1 1 1 ,即 x ? 0 时 x ? 有最小值 1,所以 2c ? 1 , c ? 2 x ?1 x ?1

1 2

因为 p ? q 是真命题, p ? q 是假命题,所以 p, q 中一个真命题,一个假命题 当 p 是真命题, q 是假命题时

1 ? c ? 1, 2

当 p 是假命题, q 是真命题时 c ? 0 所以, c 的范围是 (??, 0] ? [ ,1)

1 2

用心

爱心

专心

-7-

21、解答:考查数列的通项与前 n 和关系;递推公式在等差数列、等比数列中的应 用

an 1 3 3? 1 n ? ?(n ?1 ) ? ? n 2 2 4 4
故 an ?

(3n ? 1)2n 4

22、解答:考查函数、不等式的综合应用 (1)函数 f ( x) ? x ? bx ? c ,对于任意的 x ? R ,恒有 2 x ? b ? f ( x)
2

即对于任意的 x ? R , x ? (b ? 2) x ? c ? b ? 0 恒成立
2

所以 (b ? 2) ? 4(c ? b) ? 0
2

从而 c ?

b2 ?1 4

b2 ?1 ? b , c ? b ? 0 于是 c ? 1 ,且 c ? 2 4

2c ? b ? c ? (c ? b) ? 0
所以,当 x ? 0 时, ( x ? c) ? f ( x) ? (2c ? b) x ? c(c ? 1) ? 0
2

即 x ? 0 时, f ( x) ? ( x ? c) (2)因为 c ? b ,所以

2

2 2 当 c ? b 时,由 f (c) ? f (b) ? M (c ? b ) 得

M?

f (c) ? f (b) c 2 ? bc ? 2b 2 c ? 2b 1 ? ? =2? 2 2 2 2 b c ?b c ?b b?c 1? c
用心 爱心 专心 -8-

令t ?

b ,因为 c ? b ,所以 ?1 ? t ? 1 c 1 1 3 在区间 (?1,1) 是增函数, 所以 g (t ) ? 2 ? ? 1? t 2 2 3 2

而函数 g (t ) ? 2 ?

这样,当 c ? b 时, M ? 当 c ? b 时,由 c ?

b2 ? 1 可得 b ? ?2, c ? 2 , 4
2 2

这时 f (c) ? f (b) ? 0 或 f (c) ? f (b) ? ?8 , c ? b ? 0

3 f (c) ? f (b) ? (c 2 ? b2 ) 恒成立 2
综上所述, M ?

3 3 , M 的最小值是 2 2

用心

爱心

专心

-9-


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