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安徽省蚌埠市2014届高三第一次质量检测数学(理)试题


蚌埠市 2014 届高三年级第一次教学质量检查考试

数学试卷(理工类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考 试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的 A、B、C、D 的
四个选项

中,只有一个选项是符合题目要求的,请将正确答案的字母代号涂到答题卷 相应位置.
2 1.已知集合 A ? x x ? 1 ? 0 ,集合 B ? x x ? 1 ? 0 ,则 (CU A) I B ?

?

?

?

?

A. x x ? 1 2.复数 z ?

?

?

B. x ?1 ? x ? 1 C. x ? ?1 ? x ? 1

?

?

?

?

D. x x ? ?1

?

?

2 的虚部为 ?1 ? i A.—1 B. ?i 3.下列命题的否定为假命题的是
A. ?x ? R, x2 ? 2 x ? 2 ? 0 C.所有能被 3 整除的整数都是奇数

C.1

D. i

B.任意一个四边形的四个顶点共圆 D. ?x ? R,sin 2 x ? cos2 x ? 1

4.已知 m, n 为异面直线, m ? 平面 ? , n ? 平面 ? .直线 l 满足 l ? m, l ? n, l ? ? , l ? ? ,则 A. ? / / ? ,且 l / /? C. ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l 5.已知等差数列{ an }中, a7 ? A. ? B. ? ? ? ,且 l ? ? D. ? 与 ? 相交,且交线平行于 l

? ,则 tan( a6 ? a7 ? a8 )等于 4
D .1

3 B. ? 2 C.-1 3

6.按下面的流程图,可打印出一个数列,设这个数列为 {xn } , 则 x4 ? A,.

3 4

B.

5 8

C.

11 16

D.

21 32

2 ? x3+sin x,-1≤x≤1 7.若 f(x)= ? ,则 ? f ( x)dx = -1 1<x≤2 ?2,

A.0 8.设 a ?

B.1
1 0.5 2 , b

C.2

D.3
P

?

1 0.9 4 , c

? log5 0.3 ,则 a, b, c 的大小关系是

N A M O B

C

A. a ? c ? b B. c ? a ? b C. a ? b ? c D. b ? a ? c 9.如图,三棱锥 P ? ABC 的高 PO ? 8 ,AC=BC=3,?ACB ? 300 ,M , N 分别在 BC 和 PO 上, 且 CM ? x, PN ? 2CM ,则下列四个图象中大致描绘了三棱锥 N ? AMC 的体积 V 与

x( x ? (0,3]) 之间的变化关系的是
V
2

V
3 2 2 3

V
2

V
3 2 2 3

O

x O B.

3

x O

x O D.

3

x

A.

C.

10.已知函数 g ( x) 在 R 上可导,其导函数为 g ?( x ) ,若 g ( x) 满足: ( x ? 1)[ g ?( x) ? g ( x)] ? 0 ,

g (2 ? x) ? g ( x)e2?2 x ,则下列判断一定正确的是
A. g (1) ? g (0) B. g (3) ? e3 g (0) C. g (2) ? eg (0) D. g (4) ? e4 g (0)

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卷相应横线上.
11.若 loga2=m,loga3=n,则 a2m n=________.


12.在 (2 x ?
2

1 10 ) 的二项展开式中,常数项等于. x

13.等腰三角形 ABC 中, AB ? AC ? 5, ?B ? 30? , P为BC 边中线上任意一点,则 CP ? BC 的值 为 14.已知点 P (a, b) 与点 Q(1, 0) 在直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的两侧,且 a ? 0 且 a ? 1 , b ? 0 ,

uur uuu r



b 的取值范围是 a ?1

15.在直角坐标系 xOy 中,已知任意角 ? 以坐标原点 O 为顶点,以 x 轴的正半轴为始边, 若终边经过 P( x0 , y0 ) 且 OP ? r (r ? 0) ,定义: sos? ?

函数”,对于“正余弦函数” y ? sos x ,有同学得到以下性质: ①该函数的值域为 ? ? 2, 2 ? ;

y0 ? x0 ,称“ sos? ”为“正余弦 r

?

?

②该函数的图像关于原点对称; ③该函数的图像关于直线 x ?

3? 对称; 4

④该函数为周期函数,且最小正周期为 2? ; ⑤该函数的单调递增区间为 ? 2k? ?

? ?

3? ?? , 2k? ? ? , k ? Z . 4 4?

其中上述性质正确的是_________(填上所有正确性质的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)

在锐角△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 (1) 确定角 C 的大小; (2)若 c = 7 ,且△ ABC 的面积为

a 2c . ? sin A 3

3 3 求 a ? b 的值. 2 ,

17.(本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,面 CDEF 为正方形,面 ABCD 为等腰梯形, AB // CD , AC ? 3 , AB ? 2 BC ? 2 ,

AC ? FB .
(1)求证: AC ? 平面 FBC ; (2)线段 AC 上是否存在点 M ,使 EA //平面 FDM ? 证明你的结论. 18.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和是 Sn ,且 S n ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

1 a n ? 1 (n ? N ? ) . 2

(2)设 bn ? log3 (1 ? Sn?1 ) (n ? N ? ) ,求适合方程

1 1 1 25 ? ? ... ? ? 的正 b1b2 b2b3 bnbn ?1 51

整数 n 的值. 19. (本小题满分 13 分) 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球与编号为 1,2,3,4 的 4 个白球,从中任意取出 3 个球. (1)求取出的 3 个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率; (2)记 X 为取出的 3 个球中编号的最大值,求 X 的分布列与数学期望. 20. (本小题满分 12 分) 某产品原来的成本为 1000 元/件, 售价为 1200 元/件, 年销售量为 1 万件 , 由于市场饱和, .. 顾客要求提高,公司计划投入资金进行产品升级,据市场调查,若投入 x 万元 ,每件产品的 .. 成本将降低

3x 2 元,在售价不变的情况下,年销售量将减少 万件 ,按上述方式进行产品升级 4 x ..

和销售,扣除产品升级资金后的纯利润记为 f ( x) (单位:万元 ),(纯利润=每件的利润× .. 年销售量-投入的成本)

(1)求 f ( x) 的函数解析式; (2)求 f ( x) 的最大值,以及 f ( x) 取得最大值时 x 的值. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 ? ln x x 1 4

(1)若函数 f ( x ) 在区间 (2 a ? 1, a ? ) 内有极值,求实数 a 的取值范围; (2)当 x ? 1 时,不等式 f ( x ) ?

k 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1
n ? 2? 2 n ?1

2 (3)求证: [(n ? 1)!] ? (n ? 1)e

(n ? N ? , e 为自然对数的底数,e≈2.71828…)

蚌埠市 2014 届高三年级第一次教学质量检查考试

数学试卷(理工类)参考答案及评分标准
一、选择题:
题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 D 5 C 6 C 7 C 8 D 9 A 10 B

二、填空题:
11. 12 12.18013. ?

75 1 2 14. ( ??, ? ) ? ( , ??) 15.①④⑤ 2 3 3

三、解答题:
16.(本小题满分 12 分) 解:(1)∵

a 2c ? 由正弦定理得 a ? c ? c sin A 3 sin A 3 sin C
2

………………………2 分

∴ sin C ?

3 ……………………………………………………………………4 分 2

∵ ?ABC 是锐角三角形,∴ C ? (2) c ? ∴ ab ? 6

?
3

……………………………………6 分

7, C ?

?
3

由面积公式得

1 ? 3 3 absin ? ………………………8 分 2 3 2

………………………………………………………………………9 分
2 2

由余弦定理得 a ? b ? 2ab cos ∴ a ? b ? 13
2 2

?
3

? 7 ………………………………………10 分

?a ? b?

2

? a 2 ? b 2 ?2ab ? 25 ∴ a ? b ? 5 ………………………………12 分

17.(本小题满分 12 分) 解:(1)证明:在△ ABC 中, 因为 AC ? 3 , AB ? 2 , BC ? 1 , 所以 AC ? BC . ……………………………………………………………3 分 又因为 AC ? FB , 所以 AC ? 平面 FBC .………………………………………………………6 分 (2)线段 AC 上存在点 M ,且 M 为 AC 中点时,有 EA // 平面 FDM ,证明如下: ………………………………8 分 连结 CE ,与 DF 交于点 N ,连接 MN .

因为 CDEF 为正方形,所以 N 为 CE 中点.………………………………10 分 所以 EA // MN . 因为 MN ? 平面 FDM , EA ? 平面 FDM , 所以 EA //平面 FDM . 所以线段 AC 上存在点 M ,使得 EA //平面 FDM 成立.………………12 分 18.(本小题满分 12 分)

解:(1)当 n ? 1 时, a1 ? s1 ,由 s1 ?

1 2 a1 ? 1 ,得 a1 ? ……………………………1 分 2 3 1 1 当 n ? 2 时,∵ sn ? 1 ? an , sn ?1 ? 1 ? an ?1 ,…………………………2 分 2 2 1 1 ∴ sn ? sn ?1 ? ? an ?1 ? an ? ,即 an ? ? an ?1 ? an ? 2 2

∴ an ?

1 a n ?1 ( n ? 2) ………………………………………………………3 分 3 1 2 ∴ ?an ? 是以 为首项, 为公比的等比数列.……………………………4 分 3 3 2 1 n ?1 1 n 故 an ? ? ( ) ? 2 ? ( ) (n ? N ? ) …………………………………………6 分 3 3 3 1 1 n 1 n ?1 (2)1 ? sn ? an ? ( ) , bn ? log 3 (1 ? sn ?1 ) ? log 3 ( ) ? ?n ? 1 ……………8 分 2 3 3 1 1 1 1 ? ? ? ………………………………………9 分 bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? b1b2 b2b3 bnbn ?1 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n ? 2
……………………………………11 分 解方程

1 1 25 ? ? ,得 n ? 100 .…………………………………………12 分 2 n ? 2 51

19. (本小题满分 13 分) 解:(1)设“取出的 3 个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件 A,则

P( A) ?

3? 2 5 ? . 3 C9 84

………………………………………5 分

(2)X 的取值为 2,3,4,5.

P( X ? 2) ?

1 2 2 1 1 2 2 1 C2 C2 ? C2 C2 1 C2 C4 ? C2 C4 4 , ? P ( X ? 3) ? ? , 3 3 C9 21 C9 21 1 2 2 1 C2 C6 ? C2 C6 3 ? , 3 C9 7 1 2 C1 C8 1 ? . ……………9 分 3 C9 3

P( X ? 4) ?

P( X ? 5) ?

所以 X 的分布列为 X P 2 3 4 5

1 21

4 21

3 7

1 3

X 的数学期望 EX ? 2 ?

1 4 3 1 85 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? . ………………13 分 21 21 7 3 21

20.(本小题满分 12 分)

解:(1)依题意,产品升级后,每件的成本为 1000 ? 年销售量为 1 ?

3x 3x 元,利润为 200 ? 元, 4 4
………………………………3 分

2 万件. x

纯利润为 f ( x) ? (200 ?

3x 2 )(1 ? ) ? x . ………………………………5 分 4 x 400 x ? 198 .5 ? ? (万元)………………………………7 分 x 4

(2) f ( x) ? 198.5 ?

400 x 400 x ? ? 198.5 ? 2 ? ? x 4 x 4
=178.5 ……………………………10 分 ……………………………11 分

当且仅当

400 x ? 即 x ? 40 时等号成立. x 4

所以 f ( x) 的最大值是 178.5 万元,且 f ( x) 取得最大值时 x 的值 40. ……………………………12 分
21. (本小题满分 14 分) 解:(1)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x ) ? ?

ln x ,由 f ?( x) ? 0 得: x ? 1 , x2

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上递减, 故函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得唯一的极值,

1 ? a ? ? 2a ? 1 ? 3 ? 4 由题意得: ? ? ? a ? 1, 4 ? 2a ? 1 ? 1 ? a ? 1 ? ? 4
故实数 a 得取值范围为 ( ,1). (2) x ? 1 时,不等式 f ( x ) ?

k 1 ? ln x k ( x ? 1)(1 ? ln x) ? ?k? 化为 , x ?1 x x ?1 x ( x ? 1)(1 ? ln x) 令 g ( x) ? , x x ? ln x 由题意知: k ? g ( x) 在 [1, ??) 上恒成立, g ?( x) ? , x2 1 再令 h( x) ? x ? ln x,( x ? 1) ,则 h?( x ) ? 1 ? ? 0 ,当且仅当 x ? 1 时取等号, x 因此 h( x) ? x ? ln x 在 [1, ??) 上递增,所以 h( x) ? h(1) ? 1 ? 0 ,

3 4

………………………………………4 分

x ? ln x h( x) ? 2 ? 0, 所以 g ( x) 在 [1, ??) 上递增,g ( x)min ? g (1) ? 2 , x2 x 因此 k ? 2 ,即 k 的取值范围为 (??, 2]. ……………………………………9 分 2 1 ? ln x (3)由(2)知,当 x ? 1 时, f ( x ) ? 恒成立,即 …………10 分 ? 2 x ?1 x x ?1
故 g ?( x) ? ∴ ln x ? 1 ?

2 2 ? 1? x ?1 x

…………………………………11 分

令 x ? k (k ? 1), k ? N ? ,则有 ln[k (k ? 1)] ? 1 ?

2 1 1 ? 1 ? 2( ? ), k (k ? 1) k k ?1

分别令 k ? 1, 2,3,L , n , 1 1 1 1 1 则有 ln(1? 2) ? 1 ? 2(1 ? ), ln(2 ? 3) ? 1 ? 2( ? ), L , ln[n(n ? 1)] ? 1 ? 2( ? ), 2 2 3 n n ?1 将这 n 个不等式相加可得:

ln[1? 22 ? 32 ?? ? n 2 (n ? 1)] ? n ? 2(1 ?
故 12 ? 22 ? 32 ??? n2 (n ? 1) ? e
n ?2? 2 n ?1

1 2 ) ? n?2? , n ?1 n ?1
2 n ? 2? 2

n ?1 ,从而 [(n ? 1)!] ? (n ? 1)e . …………………………14 分

(以上各题其它解法请参考以上评分标准酌情赋分)


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