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高中数学必修4【备课资源】第1章1.2.3 三角函数的诱导公式(1)


1.2.3
一、填空题

三角函数的诱导公式(1)

1.sin 585° 的值为________. sin?nπ+α? 2.若 n 为整数,则代数式 的化简结果是________. cos?nπ+α? 1 3 3.若 cos(π+α)=- , π<α<2π,则 sin(2π+α)=________. 2 2 sin?2π-α?sin?π+α?cos?-π-α? 4.化简: =________. sin?3π-α?· cos?π-α? 5.记 cos(-80° )=k,那么 tan 100° =________. 1 ? ? ? 6.若 sin(π-α)=log8 ,且 α∈ ? ? ,0 ? ,则 cos(π+α)的值为________. 4 2

?

?

7.代数式

1+2sin 290° cos 430° 的化简结果是______. sin 250° +cos 790°

8.已知 sin ? x ? 二、解答题

? ?

??

? 5? ? 7? ? 1 ? 2 ? x ? 的值为________. ? =4,则 sin ? x ? ? +cos ? ? 6 ? 6? 6 ? ?

2 4 9.化简:sin(nπ- π)·cos(nπ+ π),n∈Z. 3 3

sin?α-2π?+sin?-α-3π?cos?α-3π? 2 10.若 cos(α-π)=- ,求 的值. 3 cos?π-α?-cos?-π-α?cos?α-4π?

11.已知 sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tan β=0.
1

三、探究与拓展 12.在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三 个内角.

2

参考答案
1.- 2 2 2.tan α 3.- 3 2 4.sin α 5.- 1-k2 5 6.- k 3 7.-1 11 8. 16

9.解 当 n 为偶数时,n=2k,k∈Z. 2 4 原式=sin(2kπ- π)·cos(2kπ+ π) 3 3 =sin ? ? 2 ? 2? ? ? 4? ? ?? ? cos ? cos ? ? ? ? ?· ? =(-sin 3π)· ? 3 ? ? 3 ? ?3 ?

2 π π π 3 1 3 =sin π· cos =sin · cos = × = . 3 3 3 3 2 2 4 当 n 为奇数时,n=2k+1,k∈Z. 2 4 原式=sin(2kπ+π- π)·cos(2kπ+π+ π) 3 3

2? ? 4? ? ? cos ? ? ? ?· ? 3 ? 3 ? ? ?? π ? =sin · cos ? 2? ? ? 3 3? ?
=sin ? ? ?

? ?

π π 3 1 3 =sin ×cos = × = . 3 3 2 2 4 2 4 3 ∴sin(nπ- π)· cos(nπ+ π)= ,n∈Z. 3 3 4 -sin?2π-α?-sin?3π+α?cos?3π-α? 10.解 原式= -cos α-?-cos α?cos α sin α-sin αcos α sin α?1-cos α? = = =-tan α. -cos α+cos2α -cos α?1-cos α? 2 ∵cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=- , 3 2 ∴cos α= . 3 ∴α 为第一象限角或第四象限角. 2 当 α 为第一象限角时,cos α= , 3 5 sin α= 1-cos2α= , 3 sin α 5 5 ∴tan α= = ,∴原式=- . cos α 2 2 2 当 α 为第四象限角时,cos α= , 3 5 sin α=- 1-cos2α=- , 3 sin α 5 5 ∴tan α= =- ,∴原式= . cos α 2 2 5 综上,原式=± . 2

11.证明 ∵sin(α+β)=1,
3

π ∴α+β=2kπ+ (k∈Z), 2 π ∴α=2kπ+ -β (k∈Z). 2 tan(2α+β)+tan β =tan ?2? 2k? ?

? ? ? ?

?

? ? ? ? ? ? ? ? +tan β 2 ? ?

=tan(4kπ+π-2β+β)+tan β =tan(4kπ+π-β)+tan β =tan(π-β)+tan β =-tan β+tan β=0, ∴原式成立. 12.解 由条件得 sin A= 2sin B, 3cos A= 2cos B, 2 平方相加得 2cos2A=1,cos A=± , 2 π 3 又∵A∈(0,π),∴A= 或 π. 4 4 3 3 当 A= π 时,cos B=- <0, 4 2 ∴B∈ ?

?? ? ,? ? , ?2 ?

∴A,B 均为钝角,不合题意,舍去. π 3 π ∴A= ,cos B= ,∴B= , 4 2 6 7 ∴C= π. 12

4


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