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4-1.1 圆的标准方程


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复习引入
问题一:什么是圆?初中时我们是怎样给圆 下定义的? 平面内与定点距离等于定长的点的集合( 轨迹)是圆。 问题二:平面直角坐标系中,如何确定一个 圆? 圆心:确定圆的位置 半径:确定圆的大小

问题三:
(1)我们知道直线可以用 一个

方程表示,圆是否也可 以用一个方程来表示呢? (2)怎样建立坐标系求圆 的方程呢?

圆的方程
符合上述条件的圆的集合是什么?你能用描述法 来表示这个集合吗? 符合上述条件的圆的集合:

p ? ?M || MA |? r ?
y M (x, y) r O

A(a,b) x

圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能 用什么公式表示?

根据两点间距离公式:P 1P 2 ? 则点M、A间的距离为:MA ?
即:

?x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

.

?x ? a ?2 ? ? y ? b?2 .

p ? ?M | MA |? r ?
( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r

( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2

圆的标准方程
( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

是否在圆上的点都适合这个方程?是否适合这 个方程的坐标的点都在圆上?

点M(x, y)在圆上,由前面讨论可知,点M的坐 标适合方程;反之,若点M(x, y)的坐标适合方程, 这就说明点 M与圆心的距离是 r ,即点M在圆心为A (a, b),半径为r的圆上.
把这个方程称为圆心为A(a, b),半径长为r 的圆 的方程,把它叫做圆的标准方程.

知新:
圆的标准方程
(x- a) 2 + (y-b) 2 = r 2

y
r

M(x,y)

O

A(a,b)

x

问题:观察圆的标准方程,它的特点有哪些?
1、 明确给出了圆心坐标和半径。 特点: 2、确定圆的标准方程必须具备三个独立条件, 即 a、 b 、 r .
3、是关于x,y的二元二次方程。

变式:判断下列方程表示的图形 (x- a) 2 + (y-b) 2 = r 2
(1)
2 x ? 1 ? y ? 6 圆 心 在 点 ? 1 , 0 ? 半 径 长 为 6的 圆 ? ? 2
2 2

(2) ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 9 圆心在点(-1,2),半径长是3的圆
2 x ? a ? y ?m (3)? ? 2

当m ? 0时,方程表示圆心在点? ?a, 0?,半径为 m的圆

当m ? 0时,方程表示点(-a,0) 当m ? 0时,无图形

特殊位置的圆方程

圆心在坐标原点,半径长为r 的圆的方

程是什么?
因为圆心是原点O(0, 0),将x=0,y=0和半径 r 带入圆的标准方程:

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

得: 整理得:

( x ? 0) ? ( y ? 0) ? r
2 2

2

x ?y ?r
2 2

2

特殊位置的圆的方程:

圆心在原点 : 2 + y2 = r2 (r≠0) ( x a ) 圆心在x轴上: ± 圆心在y轴上: x2+ (y ± b)2 = r2 (r≠0)

x2 + y2 = r2 (r≠0)

圆过原点: (x ± a)2 + (y±b)2 = a2+b2

例、求以c(1,3)为圆心,并和直线 3x - 4y - 6 =0相切的圆的方程。
解:
Y

设所求圆的方程为 : ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? r
2 2 2

C(1、3)

圆心C(1,3)到直线3x ? 4 y ? 6 ? 0的距离 0

X

r?

| 3 ?1 ? 4 ? 3 ? 6 | 3 ?4
2 2

3x-4y-6=0

? 3,
2 2

故所求圆的方程为 : ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 9

典型例题

) 例1 写出圆心为 A(2,?3,半径长等于 5的圆的方程, 并判断点 M1 (5,?7),M 2 (? 5 ,?1) 是否在这个圆上.
解:圆心是 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的标准 方程是:

( x ? 2 ) ? ( y ? 3) ? 25
2 2
2 2 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 25 把 M1 (5,?7) 的坐标代入方程 左右两边相等,点M 1 的坐标适合圆的方程,所以点

M 1在这个圆上;
把点 M 2 (? 5 ,?1) 的坐标代入此方程,左右两边 不相等,点M 2的坐标不适合圆的方程,所以点 M 2不 在这个圆上.

知识探究二:点与圆的位置关系 探究:在平面几何中,如何确定点与圆的位置关 系? 几何表示 M M M

O
|OM|<r 点在圆内

O

O

|OM|=r
点在圆上

|OM|>r
点在圆外

思考3:在直角坐标系中,已知点M(x0 2 2 2 ,如何 ,y0)和圆C: ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r 判断点M在圆外、圆上、圆内? (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;

(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.

重要结论:
点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系:

(x0-a)2+(y0-b)2=r2? 点p(x0,y0)在圆上? (x0-a)2+(y0-b)2>r2? 点p(x0,y0)在圆外 (x0-a)2+(y0-b)2<r2? 点p(x0,y0)在圆内?

例2

?ABC

的三个顶点的坐标分别A(5,1),

B(7,-3),C(2, -8),求它的外接圆的方程.
分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆,三角 形有唯一的外接圆. 2 2 2 解法一:设所求圆的方程是 (1)

(x ? a) ? ( y ? b) ? r

因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆上,所以它们的坐 标都满足方程(1).于是
2 2 2 ( 5 ? a ) ? ( 1 ? b ) ? r ? ? 2 2 2 ?(7 ? a) ? (?3 ? b) ? r ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ?

例2 ?ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,-3),
C(2, -8),求它的外接圆的方程.
分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆,三角 形有唯一的外接圆.
解: 解此方程组,得:

?a ? 2, ? , ?b ? -3 ? 2? 25. ?r
所以,?ABC 的外接圆的方程 ( x ? 2)
2

待 定 系 数 法
? ( y ? 3) ? 25 .
2

y
L2

A(5,1) R
O
7

D

x B(7,-3)

L1

E
C(2,-8)

4

解法二:
因为A(5,1)和B(7,-3),所以线段AB 的中点的坐标为(6,-1),直线
-15 -10 -5

2

A
5 10

-2

O E C

D B

AB的斜率 k AB ?

1? 3 ? ?2 5?7

l1

-4

因此线段AB的垂直平分线 l1 的方 程是:
y ?1 ?

-6

-8

l2

即:

x ? 2y ?8 ? 0

1 ? x ? 6? 2

△ABC的外接圆的圆心O的坐
-10

因为B(7,-3)和C(2,-8) ,所以线段 BC的中点的坐标为(4.5,-5.5),直 线BC的斜率 k BC ? ?3 ? 8 ? 1
7?2

?x ? 2 y ? 8 ? 0 标是方程组 ? 的解 ? x ? y ?1 ? 0
-12 -14

解得:

圆O的半径长:
r ? OA ?

-16 2 ?x ? ? ? y ? ?3

即 O(2,-3)
2

因此线段BC的垂直平分线 l2 的方 程是:
即:

? 2 ? 5?
2

? ? ?3 ? 1? ? 5
2

x ? y ?1 ? 0

y ? 5.5 ? ?1? ? x ? 4.5?

所以,圆心为C的圆的标准方程是:

? x ? 2?

? ? y ? 3? ? 25
2

两种方法比较
?(1)待定系数法:优点:思路简单

,容易想到 ?缺点:计算繁琐,容易出错 ?(2)几何性质法:优点:利用直线 方程,偏于计算 ?缺点:须知道三角形外心的性质才可 以解题

. 练习: 求过点C(?1,1)和D(1,3),圆心在x轴上的圆的方程

为( x ? a) ? y ? r . 解: 依题意设所求圆的方程
2 2 2

解方程组:

(?1 ? a) ? 1 ? r 2 2 2 (1 ? a) ? 3 ? r
2 2

2

得a ? 2, r ? 10,
2

故所求圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 10.
2 2

典型例题

例3 .已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),且 圆心C在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C的圆的 标准方程.
分析:已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大 小.圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),由于圆心C与A, B 两点的距离相等,所以圆心C在线段AB的垂直平分线 l ' 上.又 ' 圆心C在直线l 上,因此圆心C是直线l与直线 l 的交点,半径 长等于|CA|或|CB|. 解:因为A(1, 1)和B(2, -2),所以线段AB的中点D的坐标
3 1 ( ,? ), 直线AB的斜率: 2 2

k AB

? 2 ?1 ? ? ?3 2 ?1

例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2), 且圆心C在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C的圆的标 准方程.
解:因此线段AB的垂直平分线 l 的方程是
'



x ? 3y ? 3 ? 0

1 1 3 y ? ? (x ? ) 2 3 2

圆心C的坐标是方程组

?x ? 3 y ? 3 ? 0 ? ?x ? y ? 1 ? 0
的解.

? x ? ?3, 解此方程组,得 ? ? y ? ?2.
所以圆心C的坐标是 (?3,?2) 圆心为C的圆的半径长

r ?| AC |? (1 ? 3) ? (1 ? 2) ? 5
2 2

所以,圆心为C的圆的标准方程是

( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 25
2 2

例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程.
2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r , 解2:设圆C的方程为

∵圆心在直线l:x-y+1=0上

待定系数法

圆经过A(1,1),B(2,-2) ?a ? b ? 1 ? 0 ? a ? ?3 ? ? 2 2 2 ? ?(1 ? a ) ? (1 ? b) ? r ? ?b ? ? 2 ?(2 ? a ) 2 ? (?2 ? b) 2 ? r 2 ?r ? 5 ? ?
?圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25.

小结:
一、

( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 圆的标准方程
2 2

2

y

M

C
O

x

圆心C(a,b),半径r

x 特别的若圆心为O(0,0),则圆的标准方程为: 二、点与圆的位置关系: 2 2 2 ? x ? a ? y ? b ? r ?0 ? ? 0 ? (1)点P在圆上
2 ? x ? a ? y ? b ? r ? ? ? ? (2)点P在圆内 0 0 2 2 2 ? x ? a ? y ? b ? r (3)点P在圆外 ? 0 ? ? 0 ? 2 2

2

?y ?r
2

2

三、求圆的标准方程的方法:
1 代数方法:待定系数法求 2 几何方法:数形结合


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