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2014年自主招生考试模拟试题 数学


2014 年自主招生考试数学模拟试题
—— “华约”模式
一、一个赛跑机器人有如下特性: (1) 步长可以人为地设置成 0.1 米,0.2 米,…,1.8 米或 1.9 米; (2) 发令后,机器人第一步立刻迈出设置的步长,且每一步的行走过程都在瞬时完成; (3) 当设置的步长为 a 米时,机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔 a 秒. 试问:机器人跑 50 米(允许超出 50 米)所需的最少时间是多少秒?

二、在 ? ABC 中,求三角式 sin A + 2 2 ( sin B + sin C )的最大值。

x2 y 2 6 三、已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦点 3 a b
构成的三角形的面积为

5 2 .已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点. 3

(1)若线段 AB 中点的横坐标为 ?

1 ,求斜率 k 的值; 2
1

(2)若点 M (? , 0) ,求证: MA ? MB 为定值.

7 3

???? ????

四、经统计,某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下: 排队人数 概 率 0—5 0.1 6—10 0.15 11—15 0.25 16—20 0.25 21—25 0.2 25 人以上 0.05

(1)每天不超过 20 人排队结算的概率是多少? (2)一周 7 天中,若有 3 天以上(含 3 天)出现超过 15 人排队结算的概率大于 0.75, 商场就需要增加结算窗口,请问该商场是否需要增加结算窗口?

五、数列 ?a n ?中,设 a1 ? 1, a2 ? 3 ,且对所有自然数 n ? N ,有
?

an? 2 ? (n ? 3)an?1 ? (n ? 2)an .
(1)求通项 a n ; (2)求使 a n 能被 11 整除的所有自然数 n 之值.

2

六、 已知 f ( x) ?

a ? x ln x , g ( x) ? x3 ? x 2 ? 3 . x

(1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)如果存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整数

M;
(3)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f ( s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围.

1 2

七、设 a, b, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 3 ,求满足

a 2b ? b2c ? c 2 a ? ? abc ? 4
的实数 ? 的最大值。

八、求证:三角形三边的垂直平分线交于一点。
A

D

F

O B C

3

E

九、某建筑物内有一个水平直角型过道如图 4 所示,两 过道的宽度均为 3 米,有一个水平截面为矩形的设备需要水平 移进直角型过道,若该设备水平截面矩形的宽为 1 米,长为 7 米. 问:该设备能否水平移进拐角过道?

3m

D

A
O

M
C
3m

B

十、有一种彩票,购买者在每注彩票上填写六位数字(首项可以为 0) abcdef ,开奖时,开奖 人随机填写一个六位数 a0b0 c0 d 0 e0 f 0 ,并且规定只要:

ab ? a0b0 , bc ? b0c0 , cd ? c0 d0 , de ? d0e0 , ef ? e0 f 0
中至少有一个成立, 则称该彩票中奖, 请问至少要购买多少张彩票才能保证其中至少有一张 彩票中奖?

4



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