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数学卷·2015届北京市东城区高一下学期期末考试试题


北京市东城区(南片)2012-2013 学年下学期高一期末考试 数学试卷
一、选择题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1. 直线 l 经过原点和点(- 3 ,1),则它的斜率为 A. - 3
2

B. -

3 3

C.


3 3

D.

3

2. 不等式 2x -x-1>0 的解集是 A. ( -

1 , 1) 2

B. (1, +∞)

C. (-∞, 1)∪(2, +∞)

D. (-∞,-

1 )∪(1, +∞) 2

3. 在 ΔABC 中,已知 D 是 AB 边上一点, CD ? A. -

1 CA ? ? CB ,则实数 λ= 3

2 3

B. -

1 3

C.

1 3

D.

2 3

4. 已知点 A(1,1,1),点 B(-3,-3,-3),则线段 AB 的长为 A. 4 3 5. B. 2 3 C. 4 2 D. 3 2

sin 47? ? sin 17? cos30? ? cos17?
A. -

3 2

B. -

1 2

C.
2

1 2
2

D.

3 2

6. 直线 l:y=kx-3k 与圆 C:x +y -4x=0 的位置关系是 A. l 与 C 相交 B. l 与 C 相切 C. l 与 C 相离 D. 以上三个选项均有可能

2 7. 已知等比数列{a n }的公比为正数,且 a 3 · a 9 =2a 5 ,a 2 =1,则 a 1 =

A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D. 2

8. 设 sin(

?
4

??) ?

1 ,则 sin2θ= 3 1 9
C.

A. -

7 9

B. -

1 9

D.

7 9

9. 设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC2 ? 16 , | AB ? AC |?| AB ? AC | , 则 | AM |? A. 8 B. 4 C. 2 D. 1

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10. 设 a,b 为正实数,下列结论正确的是 ①若 a -b =1,则 a-b<1; ③若 | a ? b |? 1 ,则|a-b|<1; A. ①② B. ②④ C. ①③
2 2

②若
3

1 1 ? ? 1 ,则 a-b<1; b a
3

④若|a -b |=1,则|a-b|<1. D. ①④

二、填空题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分. 11. 过点(-3,-1),且与直线 x-2y=0 平行的直线方程为________. 12. 若 x>0,则函数 y ?

x2 ? 1 的最小值是________. x
1 ,a 1 +a 2 +a 3 ,则 S n =________. 2

13. 已知{a n }为等差数列,S n 为其前 n 项和,若 a 1 =
2 2

14. 过点(-1,6)与圆 x +y +6x-4y+9=0 相切的直线方程是________. 15. 等比数列{a n }中,a 1 +a 3 =5,a 2 +a 4 =4,则 a 4 +a 6 =________. 16. 已知△ABC 的一个内角为 120° ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的 面积为________. 三、解答题共 6 小题,共 52 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17. (本小题共 9 分) 已知向量 a=(1,2),b=(-2,m),m∈R. (Ⅰ)若 a∥b,求 m 的值; (Ⅱ)若 a⊥b,求 m 的值.

18. (本小题共 9 分) 某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千 克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克,B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元,每 桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A、B 原料都不 超过 12 千克.求该公司从每天生产的甲、乙两种产品中,可获得的最大利润. 19. (本小题共 9 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且满足 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 3 sin A ? cos( B ?

sin A a ? . cos C c

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A 的大小.
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20. (本小题共 9 分) 已知 O 为平面直角坐标系的原点,过点 M(-2,0)的直线 l 与圆 x +y =1 交于 P、Q 两 点,且 OP ? OQ ? ? . (Ⅰ)求∠PDQ 的大小;(Ⅱ)求直线 l 的方程.
2 2

1 2

21. (本小题共 8 分) 已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ,且 S n =-n +20n,n∈N . (Ⅰ)求通项 a n ; (Ⅱ)设{b n -a n }是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列{b n }的通项公式及其前 n 项 和 Tn .
2 ?

22. (本小题共 8 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x -6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)试判断是否存在斜率为 1 的直线,使其与圆 C 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,若存在, 求出该直线方程,若不存在,请说明理由.
2

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参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分. 1. B 6. A 2. D 7. B 3. D 8. A 4. A 9. C 5. C 10. D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分. 11. x-2y+1=0 12. 2 13. s n ? 15.

1 2 1 n ? n 4 4
16. 15 3

14. 3x-4y+27=0 或 x=-1.

64 25

三、解答题:本大题共 6 小题,共 52 分. 17. (共 9 分) 解(Ⅰ)因为 a∥b, 所以 1· m-2(-2)=0,m=-4. (Ⅱ)因为 a⊥b,所以 a· b=0, 所以 1· (-2)+2m=0,m=1. …………………………………9 分 18. (共 9 分) 解:设公司每天生产甲种产品 x 桶,乙种产品 y 桶,公司共可获得利润为 z 元/天,则 由已知,得 z=300x+400y. ……………………………5 分

? x ? 26 ? 12, ?2 x ? y ? 12, ? 且? ? x ? 0, ? ? y ? 0.
画可行域如图所示,

目标函数 z=300x+400y 可变形为

3 z y?? x? . 4 400
解方程组 ?

?2 x ? y ? 12, ? x ? 26 ? 12.

得, ?

?x ? 4 即 A(4,4). ?y ? 4
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所以,Z max =1200+1600=2800. 所以,该公司从每天生产的甲、乙两种产品中,可获得的最大利润为 2800 元.………9 分 19. (共 9 分) 解:(Ⅰ)由正弦定理得 因为 0<A<π,0<C<π. 所以 sinA>0. 从而 sinC=cosC. 又 cosC≠0,所以 tanC=1,则 C ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 B=

sin A sin A ? . cos C sin C

?
4

.…………………………………………………5 分

3? -A. 于是 4

3 sin a ? cos( B ?

?
4

)

= 3 sin a ? cos(? ? A) = 3 sin A ? cos A = 2 sin( A ? 因为 0<A< 所以当 A ?

?
6

).

3? ? ? 11? ,所以 ? A ? ? , 4 6 6 12

?
6

?

?
2

,即 A=

? ? 时, 2 sin( A ? ) 取最大值 2. 6 3

综上所述, 3 sin A ? cos( B ? 20. (共分)

?
4

) 的最大值为 2,此时 A=

? .………………………9 分 3

解:(Ⅰ)因为 P、Q 两点在圆 x +y =1 上,所以 | OP |?| OQ |? 1 ,
2 2

因为 OP ? OQ ? ?

1 1 ,所以 OP ? OQ ?| OP || OQ | ? cos ?POQ ? ? . 2 2

所以∠POQ=120° . …………………………………………………………………………5 分 (Ⅱ)依题意,直线 l 的斜率存在, 因为直线 l 过点 M(-2,0),可设直线 l:y=k(x+2). 由(Ⅰ)可知 O 到直线 l 的距离等于

1 . 2

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